Driehoeksmeting

Di

Driehoeksmeting of trigonometrie is 'n vertakking van die wiskunde wat oor driehoeke handel. Dit ondersoek veral driehoeke waarvan een hoek 90° is (reghoekige driehoeke), asook die verhoudings tussen hoeke en sylengtes — byvoorbeeld die trigonometriese funksies soos sinus (sin), cosinus (cos) en tangens (tan). Afgesien van gewone driehoeke in 'n plat vlak, word driehoeke op 'n sfeer ook ondersoek in sferiese trigonometrie.

'n Trigonometriese sirkel is 'n sirkel met 'n straal van 1 en die middelpunt as oorsprong van die assestelsel. Die cosinus van die hoek $\alpha \!$ is die waarde van $\alpha \!$ op die sirkel op die x-as en die sinus van $\alpha \!$ is die waarde op die y-as. Daarin word die volgende verwantskappe sigbaar

$\sin(-\alpha \ )=-\sin \alpha \!$

$\cos(-\alpha \ )=\cos \alpha \!$

Die tangens van 'n hoek is gedefinieer as die verhouding tussen die teenoorstaande en die aanliggende sye van 'n reghoekige driehoek en is dus:

$\tan \alpha \ ={\frac {\sin \alpha \ }{\cos \alpha \ }}$

$\tan(-\alpha \ )=-\tan \alpha \!$

Sinus, cosinus en tangens vir reghoekige driehoeke

In reghoekige driehoek ABC is

$\sin A={\frac {a}{c}}={\frac {1}{\csc A}}$  ; $\sin B={\frac {b}{c}}={\frac {1}{\csc B}}$

$\cos A={\frac {b}{c}}={\frac {1}{\sec A}}$  ; $\cos B={\frac {a}{c}}={\frac {1}{\sec B}}$

$\tan A={\frac {a}{b}}={\frac {1}{\cot A}}$  ; $\tan B={\frac {b}{a}}={\frac {1}{\cot B}}$

Om sin, cos en tan te onthou

Sin: “sints” → sin = teenoorstaande oor skuins

Cos: “cosas” → cos = aangrensend oor skuins

Tan: “tanta” → tan = teenoorstaande oor aangrensend

Excel

In Excel word sinus, cosinus en tangens soos volg gebruik:

Sin

• SIN(30*PI()/180) = SIN(RADIANS(30)) = 0.5
• ASIN(0.5)*180/PI() = DEGREES(ASIN(0.5)) = 30

Cos

• COS(60*PI()/180) = COS(RADIANS(60)) = 0.5
• ACOS(0.5)*180/PI() = DEGREES(ACOS(0.5)) = 60

Tan

• TAN(45*PI()/180) = TAN(RADIANS(45)) = 1
• ATAN(1)*180/PI() = DEGREES(ATAN(1)) = 45

Standaardidentiteite

Identiteite is die vergelykings wat geld vir enige waarde van hoek "A".

$\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\$

$\sec ^{2}A-\tan ^{2}A=1\$

$\csc ^{2}A-\cot ^{2}A=1\$

Hoektransformasieformules

$\sin(A\pm B)=\sin A\ \cos B\pm \cos A\ \sin B$

$\cos(A\pm B)=\cos A\ \cos B\mp \sin A\ \sin B$

$\tan(A\pm B)={\frac {\tan A\pm \tan B}{1\mp \tan A\ \tan B}}$

$\cot(A\pm B)={\frac {\cot A\ \cot B\mp 1}{\cot B\pm \cot A}}$

Sinreël en Cosreël vir ongelyksydige driehoeke

In driehoek ABC geld:

Sinreël: ${\frac {a}{sinA}}\ ={\frac {b}{sinB}}\ ={\frac {c}{sinC}}$

Cosreël: $\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

Kyk ook

• Oppervlakte vir die formules vir oppervlaktes van driehoeke en ander figure
• Sinus
• Cosinus
• Tangens