سهم (حساب المثلثات): الفرق بين النسختين
[نسخة منشورة] | [نسخة منشورة] |
عبد الجليل 09 (نقاش | مساهمات) لا ملخص تعديل وسوم: تحرير من المحمول تعديل ويب محمول تعديل المحمول المتقدم |
عبد الجليل 09 (نقاش | مساهمات) لا ملخص تعديل وسوم: تحرير مرئي تحرير من المحمول تعديل ويب محمول تعديل المحمول المتقدم |
||
(42 مراجعة متوسطة بواسطة 4 مستخدمين غير معروضة) | |||
سطر 1: | سطر 1: | ||
{{عن|3=سهم (توضيح)}}{{ملاحظة علوية|ميز عن [[قاطع التمام]]، مقلوب دالة الجيب؛ و[[قوس الجيب]]، الدالة العكسية للجيب.}}{{شريط جانبي حساب المثلثات}} |
|||
{{وضح|3=سهم (توضيح)}} |
|||
⚫ | |||
'''فَرْجَيْب التمام'''<ref>{{استشهاد بويكي بيانات|Q124741809|الصفحة=817}}</ref> أو '''السهم'''<ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف1=قدري حافظ طوقان|مسار=https://archive.org/details/20200721_20200721_2131/|عنوان=تراث العرب العلمي في الرياضيات والفلك|تاريخ=|ناشر=وكالة الصحافة العربية ناشرون|آخرون=تقديم ومراجعة: مدحت رمضان|سنة=2018|مكان النشر=[[الجيزة (مدينة)|الجيزة]]|صفحة=357|لغة=ar|مسار أرشيف=|تاريخ أرشيف=}}</ref><ref name=":0" /> أو '''الجيب المعكوس'''<ref name=":0">{{استشهاد بكتاب|مؤلف=[[محمد علي التهانوي]]|مسار=|عنوان=كشّاف اصطلاحات الفنون والعلوم|ناشر=[[دار الكتب العلمية]]|آخرون=ترجمة: د. عبد الله الخالدي، تحقيق: أحمد حسن بسج|سنة=2013|المجلد=1|مكان النشر=بيروت|صفحة=258|لغة=ar|اقتباس=[[جيب (رياضيات)|الجيب]]: بالفتح وسكون المثناة التحتانية في اللّغة گريبان كما في الصّراح. وعند المهندسين والمنجمين هو نصف وتر ضعف [[قوس (هندسة)|القوس]]. ... وهذا الذي ذكر هو الجيب المستوي. وما وقع من القطر بين جيب القوس وطرف القوس هو '''الجيب المعكوس''' ويسمّى '''بسهم''' القوس أيضا.|مسار أرشيف=|تاريخ أرشيف=|isbn=978-2-7451-0047-4}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف1=[[أبو الوفاء البوزجاني]]|الأول=|مسار=|عنوان=مجسطي أبي الوفاء البوزجاني|تاريخ=|عمل=|ناشر=[[مركز دراسات الوحدة العربية]]|آخرون=إشراف: رشدي رشيد|محرر=علي موسى|محرر1=|طبعة=1|سلسلة=سلسلة تاريخ العلوم عند العرب|مكان=|مكان النشر=بيروت|صفحة=56|لغة=ar|اقتباس='''الجيب المعكوس''': وهو '''سهم''' القوس، أي الخط الذي يقطع كلّ واحد من [[قوس (هندسة)|القوس]] [[وتر دائرة|ووترها]] بنصفين، وهو مساوٍ [[طرح|لتفاضل]] [[جيب التمام|جيب تمام]] القوس ونصف القطر.|مؤلف2=|الأخير3=|الأول2=|الأول3=|isbn=978-9953-82-304-1}}</ref> {{إنج|Versed Sine أو Versine}}، هي [[دوال مثلثية|دالة مثلثية]] موجودة في بعض [[جداول مثلثية|الجداول المثلثية]] القديمة. سهم زاوية هو فرق بين [[جيب التمام|جيب تمام زاوية]] نفسها والواحد، بتعبيرٍ آخر: |
|||
'''دالة السهم''' <ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=تـراث العـرب العـلمي|مسار= https://books.google.dz/books?id=ZOBaDwAAQBAJ&pg=PP145&dq=versed+sine+%D8%AC%D9%8A%D8%A8&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwjps6_r0snnAhVHSBUIHeNkB8kQ6AEIKDAA#v=onepage&q=versed%20sine%20%D8%AC%D9%8A%D8%A8&f=false|ناشر=وكاله الصحافه العربيه|تاريخ=2018-05-01|لغة=ar|مؤلف1=قدري حافظ|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200211182542/https://books.google.dz/books?id=ZOBaDwAAQBAJ&pg=PP145&dq=versed+sine+%D8%AC%D9%8A%D8%A8&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwjps6_r0snnAhVHSBUIHeNkB8kQ6AEIKDAA#v=onepage&q=versed%20sine%20%D8%AC%D9%8A%D8%A8&f=false|تاريخ أرشيف=2020-02-11}}</ref> أو '''الجيب المنكوس'''<ref>{{مرجع ويب |
|||
| url = http://arabiclexicon.hawramani.com/%d8%a7%d9%84%d9%92%d8%ac%d9%8f%d9%8a%d9%8f%d9%88%d8%a8-%d8%a7%d9%84%d9%85%d9%86%d9%83%d9%88%d8%b3%d8%a9/ |
|||
| title = الْجُيُوب المنكوسة - - The Arabic Lexicon |
|||
| language = en-US |
|||
| accessdate = 2020-05-13 |
|||
| مسار الأرشيف = https://web.archive.org/web/20191107122339/http://arabiclexicon.hawramani.com/الْجُيُوب-المنكوسة/ | تاريخ الأرشيف = 7 نوفمبر 2019 }}</ref><ref>{{Cite book|title=القانون المسعودي|date=|publisher=|author1=[[أبو الريحان البيروني]]|author2=|editor1=|language=ar|place=|first=|via=|العمل=|page=321|volume=1}}</ref> {{إنج|Versed Sine أو Versine}} هي [[دوال مثلثية|دالة مثلثية]] موجودة في بعض [[جداول مثلثية|الجداول المثلثية]] القديمة. سهم زاوية هو فرق بين [[جيب التمام|جيب تمام زاوية]] نفسها والواحد، بتعبيرٍ آخر : |
|||
<math>\operatorname{versin} \theta =1 -\cos \theta</math> |
<math>\operatorname{versin} \theta =1 -\cos \theta</math> |
||
هناك العديد من الدوال ذات الصلة، وأبرزها '''سهم التمام''' (Coversine) و '''نصف السهم''' (Haversine). هذه الأخيرة، لها أهمية خاصة في |
هناك العديد من الدوال ذات الصلة، وأبرزها '''سهم التمام''' أو '''الفرجيب''' (Coversine) و '''نصف السهم''' أو '''نصف فرجيب التمام'''<ref>{{استشهاد بويكي بيانات|Q124741809|الصفحة=310}}</ref> (Haversine). هذه الأخيرة، لها أهمية خاصة في [[صيغة نصف السهم|صيغة نصف السهم للملاحة]]. |
||
[[ملف:Unit-circle_sin_cos_tan_cot_exsec_excsc_versin_cvs.svg|تصغير|270x270بك| [[دائرة الوحدة]] مع [[دوال مثلثية|الدوال المثلثية]].]] |
[[ملف:Unit-circle_sin_cos_tan_cot_exsec_excsc_versin_cvs.svg|تصغير|270x270بك| [[دائرة وحدة|دائرة الوحدة]] مع [[دوال مثلثية|الدوال المثلثية]]، بين هذا الرسم سبب تسمية دالة السهم.]] |
||
== نظرة عامة == |
== نظرة عامة == |
||
'''السهم''' هو |
'''السهم''' هو [[دوال مثلثية|دالة مثلثية]] ظهرت سابقا في بعض الجداول المثلثية القديمة. يرمز إليها بالرموز التالية: {{تعبير رياضي|'''versin (θ)'''}}، {{تعبير رياضي|'''sinver (θ)'''}} ، {{تعبير رياضي|'''vers(θ)'''}}، {{تعبير رياضي|'''ver (θ)'''}} أو {{تعبير رياضي|'''siv (θ)'''}}. ب[[اللغة اللاتينية]]، يُعرف بالاسماء التالية: ''sinus versus'' (جيب معكوس)، ''versinus'' ،''versus'' أو ''sagitta'' (السهم). |
||
يكافئ سهم الزاوية العبارات التالية: {{ |
يكافئ سهم الزاوية العبارات التالية: {{تعبير رياضي|1 − cos(θ)}} و |
||
{{ |
{{تعبير رياضي|2 sin<sup>2</sup> {{كبير|(}}{{كسر|θ|2}}{{كبير|)}}}}. |
||
هناك عدة دوال متعلقة بالسهم: |
هناك عدة دوال متعلقة بالسهم: |
||
* '''جيب التمام |
* '''جيب التمام المعكوس''' {{إنج|Versed cosine}}: يرمز لها بالرمز vercos(θ) أو vcs(θ). |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
* ''' |
* '''نصف سهم التمام''' {{إنج|Hacoversed sine}}: يرمز إليها بالرمز hacoversin(θ) أو hcv(θ). |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
== التاريخ والتطبيقات == |
== التاريخ والتطبيقات == |
||
=== السهم وسهم التمام (Coversine) === |
=== السهم وسهم التمام (Coversine) === |
||
[[ملف:Versine.svg|يسار|تصغير| الجيب وجيب التمام، والسهم للزاوية ''θ'' من حيث [[دائرة وحدة|دائرة الوحدة]] مع دائرة نصف قطرها 1، مركزها ''O.'' كما يوضح هذا الرسم هو السبب في تسمية الدالة بـ |
[[ملف:Versine.svg|يسار|تصغير| الجيب وجيب التمام، والسهم للزاوية ''θ'' من حيث [[دائرة وحدة|دائرة الوحدة]] مع دائرة نصف قطرها 1، مركزها ''O.'' كما يوضح هذا الرسم هو السبب في تسمية الدالة بـ «السهم». إذا كان قوس ''ADB'' للزاوية المزدوجة ''Δ'' = 2''θ'' يُنظر إليها على أنها «قوس المحارب» والقطعة ''AB'' [[وتر دائرة|كوترها]]، ومن ثم فإن القطعة المستقيمة ''CD'' هو «عمود السهم». ]] |
||
في بعض الأحيان، كانت تسمى تاريخيا دالة ''[[جيب (رياضيات)|الجيب]]'' العادية ''sinus rectus'' ( |
في بعض الأحيان، كانت تسمى تاريخيا دالة ''[[جيب (رياضيات)|الجيب]]'' العادية ''sinus rectus'' («''الجيب المستقيم''» بالترجمة الحرفية) للتمييز بينها وبين ''السهم'' (''sinus versus''). يكون معنى هذه المصطلحات واضحًا إذا نظر المرء إلى الدوال في السياق الأصلي لتعريفها، وهي [[دائرة وحدة|دائرة الوحدة]]: |
||
بالنسبة [[وتر دائرة|للوتر]] العمودي ''AB'' لدائرة الوحدة، يكون جيب الزاوية ''θ'' (يمثل نصف الزاوية المقابلة ''Δ'') هو المسافة ''AC'' (نصف الوتر). من ناحية أخرى، فإن سهم الزاوية ''θ'' هو المسافة ''CD'' من مركز الوتر إلى مركز القوس. وبالتالي، فإن مجموع {{ |
بالنسبة [[وتر دائرة|للوتر]] العمودي ''AB'' لدائرة الوحدة، يكون جيب الزاوية ''θ'' (يمثل نصف الزاوية المقابلة ''Δ'') هو المسافة ''AC'' (نصف الوتر). من ناحية أخرى، فإن سهم الزاوية ''θ'' هو المسافة ''CD'' من مركز الوتر إلى مركز القوس. وبالتالي، فإن مجموع {{تعبير رياضي|cos (θ)}} (يساوي طول الخط ''OC'') و {{تعبير رياضي|versin (θ)}} (يساوي طول الخط ''CD'') يساوي طول نصف القطر ''OD'' (طوله 1). يتضح بهذه الطريقة بأن الجيب عمودي (''rectus''، حرفيًا «مستقيم») بينما يكون السهم أفقيًا (''versus''، حرفيًا «مقلوب، خارج الموضع»)؛ كلاهما مسافات من ''C'' إلى الدائرة. |
||
كانت التسمية العربية للدالة ترجمة للكلمة الهندية "sara" التي تستخدم للإشارة إلى [[سهم|سهم المحارب]] {{بحاجة لمصدر|date=April 2019}}. إذا كان القوس ''ADB'' للزاوية المزدوجة ''Δ'' = 2''θ'' ينظر إليه على أنه |
كانت التسمية العربية للدالة ترجمة للكلمة الهندية "sara" التي تستخدم للإشارة إلى [[سهم|سهم المحارب]] {{بحاجة لمصدر|date=April 2019}}. إذا كان القوس ''ADB'' للزاوية المزدوجة ''Δ'' = 2''θ'' ينظر إليه على أنه «[[قوس (سلاح)|قوس المحارب]]» واعتبار ''AB'' على أنه «وتر»، والسهم ''CD'' هو عمود السهم. |
||
===نصف السهم (Haversine)=== |
=== نصف السهم (Haversine) === |
||
كانت دالة نصف السهم (<math>\operatorname {haversin} = \frac{\operatorname{versin} x}{2}</math>) مهمًة خاصة في الملاحة لأنها تظهر في صيغة نصف السهم (Haversine formula)، والتي تستخدم لحساب المسافات بدقة على سطح كروي فلكي (طالع [[انتفاخ استوائي|المشكلات المتعلقة بنصف قطر الأرض والشكل الكروي]]) باعتبار إلى المواضع الزاوية (على سبيل المثال، خط الطول ودائرة العرض). يمكن للمرء أيضًا استخدام <math>\sin^2 \ |
كانت دالة نصف السهم (<math>\operatorname {haversin} = \frac{\operatorname{versin} x}{2}</math>) مهمًة خاصة في الملاحة لأنها تظهر في [[صيغة نصف السهم]] (Haversine formula)، والتي تستخدم لحساب المسافات بدقة على سطح كروي فلكي (طالع [[انتفاخ استوائي|المشكلات المتعلقة بنصف قطر الأرض والشكل الكروي]]) باعتبار إلى المواضع الزاوية (على سبيل المثال، خط الطول ودائرة العرض). يمكن للمرء أيضًا استخدام <math>\sin^2 (\tfrac{\theta}{2})</math> مباشرة، ولكن وجود جدول لنصف السهم أزالت الحاجة إلى حساب المربعات والجذور التربيعية.<ref>{{استشهاد ويب|مسار=https://www.du.edu/~jcalvert/math/trig.htm|عنوان=Trigonometry|تاريخ=2007-09-14|language=en|تاريخ الوصول=2015-11-08|مؤلف-الأول=James B.|مؤلف-الأخير=Calvert|سنة النشر الأصلية=2004-01-10|حالة المسار=live|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20071002214133/http://mysite.du.edu/~jcalvert/math/trig.htm|تاريخ أرشيف=2007-10-02}}</ref> |
||
== المتطابقات الرياضية == |
== المتطابقات الرياضية == |
||
سطر 90: | سطر 82: | ||
{| class="wikitable" |
{| class="wikitable" |
||
| <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{versin}(x) = \sin{x}</math> |
| <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{versin}(x) = \sin{x}</math> |
||
| <math>\int\mathrm{versin}(x) \,\mathrm{d}x = x - \sin{x} + C</math> |
| <math>\int\mathrm{versin}(x) \,\mathrm{d}x = x - \sin{x} + C</math> |
||
|- |
|- |
||
| <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{coversin}(x) = -\cos{x}</math> |
| <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{coversin}(x) = -\cos{x}</math> |
||
سطر 98: | سطر 90: | ||
| <math>\int\mathrm{haversin}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{x - \sin{x}}{2} + C</math> |
| <math>\int\mathrm{haversin}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{x - \sin{x}}{2} + C</math> |
||
|} |
|} |
||
=== خصائص أخرى === |
=== خصائص أخرى === |
||
يمكن تعبير تلك الدوال بواسطة [[ |
يمكن تعبير تلك الدوال بواسطة [[متسلسلة ماكلورين]]: |
||
<math>\begin{align} |
<math>\begin{align} |
||
سطر 108: | سطر 99: | ||
\end{align}</math> |
\end{align}</math> |
||
==طالع أيضًا== |
== طالع أيضًا == |
||
* [[عمق قوس]] |
* [[عمق قوس]] |
||
== مراجع == |
== مراجع == |
||
{{مراجع}} |
{{مراجع}} |
||
{{شريط بوابات |
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات|هندسة رياضية}} |
||
⚫ | |||
[[تصنيف:دوال مثلثية]] |
[[تصنيف:دوال مثلثية]] |
||
{{شريط سفلي حساب المثلثات}} |
النسخة الحالية 13:08، 28 أبريل 2024
جزء من سلسلة مقالات حول |
حساب المثلثات |
---|
بوابة رياضيات |
فَرْجَيْب التمام[1] أو السهم[2][3] أو الجيب المعكوس[3][4] (بالإنجليزية: Versed Sine أو Versine)، هي دالة مثلثية موجودة في بعض الجداول المثلثية القديمة. سهم زاوية هو فرق بين جيب تمام زاوية نفسها والواحد، بتعبيرٍ آخر:
هناك العديد من الدوال ذات الصلة، وأبرزها سهم التمام أو الفرجيب (Coversine) و نصف السهم أو نصف فرجيب التمام[5] (Haversine). هذه الأخيرة، لها أهمية خاصة في صيغة نصف السهم للملاحة.
نظرة عامة
[عدل]السهم هو دالة مثلثية ظهرت سابقا في بعض الجداول المثلثية القديمة. يرمز إليها بالرموز التالية: versin (θ)، sinver (θ) ، vers(θ)، ver (θ) أو siv (θ). باللغة اللاتينية، يُعرف بالاسماء التالية: sinus versus (جيب معكوس)، versinus ،versus أو sagitta (السهم).
يكافئ سهم الزاوية العبارات التالية: 1 − cos(θ) و 2 sin2 (θ2).
هناك عدة دوال متعلقة بالسهم:
- جيب التمام المعكوس (بالإنجليزية: Versed cosine): يرمز لها بالرمز vercos(θ) أو vcs(θ).
- سهم التمام أو الجيب المعكوس للتمام (بالإنجليزية: Coversed sine): يرمز لها بالرمز coversin(θ)، أو (covers(θ)، أو cosiv(θ) أو cvs(θ).
- جيب التمام المعكوس للتمام (بالإنجليزية: Coversed cosine): يرمز لها بالرمز covercosin(θ) أو covercos(θ) أو cvc(θ).
توجد أيضًا مجموعة أخرى من أربع دوال «نصف القيمة»:
- نصف السهم (بالإنجليزية: Haversine): يرمز إليها بالرمز haversin(θ) أو hav(θ)
- نصف سهم التمام (بالإنجليزية: Hacoversed sine): يرمز إليها بالرمز hacoversin(θ) أو hcv(θ).
- نصف جيب التمام المعكوس (بالإنجليزية: Haversed cosine): يرمز إليها بالرمز havercosin(θ) أو hvc(θ).
- نصف جيب التمام المعكوس للتمام (بالإنجليزية: Hacoversed cosine): يرمز إليها بالرمز hacovercosin(θ) أو hcc(θ).
التاريخ والتطبيقات
[عدل]السهم وسهم التمام (Coversine)
[عدل]في بعض الأحيان، كانت تسمى تاريخيا دالة الجيب العادية sinus rectus («الجيب المستقيم» بالترجمة الحرفية) للتمييز بينها وبين السهم (sinus versus). يكون معنى هذه المصطلحات واضحًا إذا نظر المرء إلى الدوال في السياق الأصلي لتعريفها، وهي دائرة الوحدة:
بالنسبة للوتر العمودي AB لدائرة الوحدة، يكون جيب الزاوية θ (يمثل نصف الزاوية المقابلة Δ) هو المسافة AC (نصف الوتر). من ناحية أخرى، فإن سهم الزاوية θ هو المسافة CD من مركز الوتر إلى مركز القوس. وبالتالي، فإن مجموع cos (θ) (يساوي طول الخط OC) و versin (θ) (يساوي طول الخط CD) يساوي طول نصف القطر OD (طوله 1). يتضح بهذه الطريقة بأن الجيب عمودي (rectus، حرفيًا «مستقيم») بينما يكون السهم أفقيًا (versus، حرفيًا «مقلوب، خارج الموضع»)؛ كلاهما مسافات من C إلى الدائرة.
كانت التسمية العربية للدالة ترجمة للكلمة الهندية "sara" التي تستخدم للإشارة إلى سهم المحارب [بحاجة لمصدر]. إذا كان القوس ADB للزاوية المزدوجة Δ = 2θ ينظر إليه على أنه «قوس المحارب» واعتبار AB على أنه «وتر»، والسهم CD هو عمود السهم.
نصف السهم (Haversine)
[عدل]كانت دالة نصف السهم () مهمًة خاصة في الملاحة لأنها تظهر في صيغة نصف السهم (Haversine formula)، والتي تستخدم لحساب المسافات بدقة على سطح كروي فلكي (طالع المشكلات المتعلقة بنصف قطر الأرض والشكل الكروي) باعتبار إلى المواضع الزاوية (على سبيل المثال، خط الطول ودائرة العرض). يمكن للمرء أيضًا استخدام مباشرة، ولكن وجود جدول لنصف السهم أزالت الحاجة إلى حساب المربعات والجذور التربيعية.[6]
المتطابقات الرياضية
[عدل]التعريفات
[عدل]الدورات الدائرية
[عدل]المشتقات والتكاملات
[عدل]خصائص أخرى
[عدل]يمكن تعبير تلك الدوال بواسطة متسلسلة ماكلورين:
طالع أيضًا
[عدل]مراجع
[عدل]- ^ أحمد شفيق الخطيب (2001). قاموس العلوم المصور: بالتعريفات والتطبيقات: إنجليزي - عربي (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1). بيروت: مكتبة لبنان ناشرون. ص. 817. ISBN:978-9953-10-218-4. OCLC:50131139. QID:Q124741809.
- ^ قدري حافظ طوقان (2018). تراث العرب العلمي في الرياضيات والفلك. تقديم ومراجعة: مدحت رمضان. الجيزة: وكالة الصحافة العربية ناشرون. ص. 357.
- ^ ا ب محمد علي التهانوي (2013). كشّاف اصطلاحات الفنون والعلوم. ترجمة: د. عبد الله الخالدي، تحقيق: أحمد حسن بسج. بيروت: دار الكتب العلمية. ج. 1. ص. 258. ISBN:978-2-7451-0047-4.
الجيب: بالفتح وسكون المثناة التحتانية في اللّغة گريبان كما في الصّراح. وعند المهندسين والمنجمين هو نصف وتر ضعف القوس. ... وهذا الذي ذكر هو الجيب المستوي. وما وقع من القطر بين جيب القوس وطرف القوس هو الجيب المعكوس ويسمّى بسهم القوس أيضا.
- ^ أبو الوفاء البوزجاني. علي موسى (المحرر). مجسطي أبي الوفاء البوزجاني. سلسلة تاريخ العلوم عند العرب. إشراف: رشدي رشيد (ط. 1). بيروت: مركز دراسات الوحدة العربية. ص. 56. ISBN:978-9953-82-304-1.
الجيب المعكوس: وهو سهم القوس، أي الخط الذي يقطع كلّ واحد من القوس ووترها بنصفين، وهو مساوٍ لتفاضل جيب تمام القوس ونصف القطر.
- ^ أحمد شفيق الخطيب (2001). قاموس العلوم المصور: بالتعريفات والتطبيقات: إنجليزي - عربي (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1). بيروت: مكتبة لبنان ناشرون. ص. 310. ISBN:978-9953-10-218-4. OCLC:50131139. QID:Q124741809.
- ^ Calvert, James B. (14 Sep 2007) [2004-01-10]. "Trigonometry" (بالإنجليزية). Archived from the original on 2007-10-02. Retrieved 2015-11-08.