نظرية المؤثرات: الفرق بين النسختين

تصفح التاريخ تفاعلياً

[نسخة منشورة]

تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى

مرئينص الويكي

مضمن

النسخة الحالية 00:05، 28 يونيو 2024

نظرية المؤثرات

في الرياضيات نظرية المؤثرات^[1] هي دراسة المؤثرات الخطية على فضاء الدوال، بدايةً بالمؤثر التفاضلي والمؤثر التكاملي. يمكن تعريف المؤثر بشكل تجريدي من خلال خصائصه، مثل المؤثر الخطي المحدود ^{[الإنجليزية]} أو المؤثر الخطي المغلق ^{[الإنجليزية]}، وأحيانًا توضع المؤثرات غير الخطية في الاعتبار. دراسة المؤثرات تعتمد بشكل كبير على طوبولوجيا فضاءات الدوال وتعتبر إحدى فروع التحليل الدالي.

إذا شكلت مجموعة من المؤثرات جبر على حقل، فإن هذا يعتبر جبر المؤثرات وهو جزء من نظرية المؤثرات.

نظرية المؤثر الواحد

تتعامل نظرية المؤثر الواحد مع خواص وتصنيف المؤثرات عند استخدام واحد منها في كل مرة. كمثال يقع تصنيف المؤثرات العادية ^{[الإنجليزية]} من حيث تحليل طيفها الدالي ^{[الإنجليزية]} ضمن هذه الفئة.

طيف المؤثرات

النظرية الطيفية بشكل عام تدور حول تمثيل المؤثرات الخطية أو المصفوفات في شكل قطري.^[2] توفر النظرية الطيفية شروطًا يمكن بموجبها تقطير أي مؤثر أو مصفوفة (أي يتم تمثيلهم كمصفوفة قطرية في بعض القواعد). يمكن تقطير المؤثرات العاملة في الفضاءات محدودة الأبعاد بصورة مباشرة، ولكنه يتطلب بعض التعديلات في حالات المؤثرات العاملة في الفضاءات اللانهائية الأبعاد. بشكل عام تحدد النظرية الطيفية فئة المؤثرات الخطية التي يمكن نمذجتها باستخدام مؤثرات الضرب ^{[الإنجليزية]}، وهي أبسط المؤثرات التي يمكن التوصل لها.

من المؤثرات التي تنطبق عليها النظرية الطيفية هي المؤثرات الهرمتية، أو بشكل أكثر عمومية المؤثرات العادية ^{[الإنجليزية]} على فضاءات هلبرت.

توفر النظرية الطيفية أيضًا طريقة لتقنين تفكيك المؤثرات والمصفوفات فيما يعرف بـ التفريق الطيفي^[3]، أو تحليل القيمة الذاتية، أو التحليل الذاتي لمصفوفة ^{[الإنجليزية]}، لفضاء المتجه الذي يعمل عليه المؤثر.

المؤثرات العادية

المؤثر العادي على فضاء هيلبرت المركب H هو مؤثر خطي مستمر N : H → H قابل للتبديل مع مرافقه الهرميتي N *، بحيث أن: NN * = N * N.^[4]

المؤثرات العادية مهمة لأنه يمكن تطبيق النظرية الطيفية عليها. اليوم فئة المؤثرات العادية مدروسة بشكل كاف. ومن أمثلة هذه المؤثرات

المؤثرات الواحدية ^{[الإنجليزية]}: N * = N ⁻¹
المؤثرات الهرمتية (أي مؤثرات مرافقة لذاتها^[3]): N * = N ؛ (أيضًا مؤثرات ضد المرافقة الذاتية: N * = - N)
المؤثرات الإيجابية ^{[الإنجليزية]} : N = MM *
المصفوفات النظامية يمكن النظر لها كمؤثرات عادية لو اعتبرنا أن فضاء هيلبرت هو C ⁿ .

انظر أيضًا

نظرية الطيف
نظرية فريدهولم ^{[الإنجليزية]} للمعادلات التكاملية
عامل تفاضلي
المؤثر الإيجابي في فضاء هلبرت
مؤثر غير سلبي في فضاء المتجهات المرتبة جزئيًا ^{[الإنجليزية]}

مراجع

^ معجم مصطلحات الرياضيات، إعداد لجنة مصطلحات الرياضيات في المجمع، أ. د. موفق دعبول، أ. د. خضر الأحمد، أ. د. بشير قابيل، أ. مروان البواب، مجمع اللغة العربية، الجمهورية العربية السورية، 2018، ص 492 (رابط)
^ Sunder, V.S. Functional Analysis: Spectral Theory (1997) Birkhäuser Verlag
^ ^ا ^ب معجم مصطلحات الرياضيات، إعداد لجنة مصطلحات الرياضيات في المجمع، أ. د. موفق دعبول، أ. د. خضر الأحمد، أ. د. بشير قابيل، أ. مروان البواب، مجمع اللغة العربية، الجمهورية العربية السورية، 2018، ص 660 (رابط)
^ Hoffman، Kenneth؛ Kunze، Ray (1971)، Linear algebra (ط. 2nd)، Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc.، ص. 312، MR:0276251

للاستزادة

Conway, J. B.: A Course in Functional Analysis, 2nd edition, Springer-Verlag, 1994, (ردمك 0-387-97245-5)
Yoshino، Takashi (1993). Introduction to Operator Theory. Chapman and Hall/CRC. ISBN:978-0582237438.

روابط خارجية

تاريخ نظرية المؤثرات

نظرية المؤثرات في المشاريع الشقيقة:

صور وملفات صوتية من كومنز.

بوابة رياضيات

[1] معجم مصطلحات الرياضيات، إعداد لجنة مصطلحات الرياضيات في المجمع، أ. د. موفق دعبول، أ. د. خضر الأحمد، أ. د. بشير قابيل، أ. مروان البواب، مجمع اللغة العربية، الجمهورية العربية السورية، 2018، ص 492 (رابط)

[2] Sunder, V.S. Functional Analysis: Spectral Theory (1997) Birkhäuser Verlag

[:0-3] ا ^ب معجم مصطلحات الرياضيات، إعداد لجنة مصطلحات الرياضيات في المجمع، أ. د. موفق دعبول، أ. د. خضر الأحمد، أ. د. بشير قابيل، أ. مروان البواب، مجمع اللغة العربية، الجمهورية العربية السورية، 2018، ص 660 (رابط)

[4] Hoffman، Kenneth؛ Kunze، Ray (1971)، Linear algebra (ط. 2nd)، Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc.، ص. 312، MR:0276251

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ سطر 1: / سطر 1: @@
+[[ملف:Commutative diagram illustrating problem solving via the Fourier transform.svg|تصغير|نظرية المؤثرات]]
-في [[رياضيات|الرياضيات]] '''نظرية المؤثرات'''<ref>معجم مصطلحات الرياضيات، إعداد لجنة مصطلحات الرياضيات في المجمع، أ. د. موفق دعبول، أ. د. خضر الأحمد، أ. د. بشير قابيل، أ. مروان البواب، مجمع اللغة العربية، الجمهورية العربية السورية، 2018، ص 492 ([[iarchive:20200919_20200919_1356/page/n1/mode/1up|رابط]])</ref> هي دراسة [[تحويل خطي|المؤثرات الخطية]] على [[فضاء دالي|فضاء الدوال]]، بدايةً [[مؤثر تفاضلي|بالمؤثر التفاضلي]] والمؤثر التكاملي. يمكن تعريف المؤثر بشكل تجريدي من خلال خصائصه، مثل {{وإو|المؤثر الخطي المحدود|Bounded operator}} أو {{وإو|المؤثر الخطي المغلق|Unbounded_operator#Closed_linear_operators}}، وأحيانًا توضع [[تحويل خطي|المؤثرات غير الخطية]] في الاعتبار. دراسة المؤثرات تعتمد بشكل كبير على [[طوبولوجيا]] فضاءات الدوال وتعتبر احدى فروع [[تحليل دالي|التحليل الدالي]].
+في [[رياضيات|الرياضيات]] '''نظرية المؤثرات'''<ref>معجم مصطلحات الرياضيات، إعداد لجنة مصطلحات الرياضيات في المجمع، أ. د. [[موفق دعبول]]، أ. د. خضر الأحمد، أ. د. بشير قابيل، أ. مروان البواب، مجمع اللغة العربية، الجمهورية العربية السورية، 2018، ص 492 ([[iarchive:20200919_20200919_1356/page/n1/mode/1up|رابط]])</ref> هي دراسة [[تحويل خطي|المؤثرات الخطية]] على [[فضاء دالي|فضاء الدوال]]، بدايةً [[مؤثر تفاضلي|بالمؤثر التفاضلي]] والمؤثر التكاملي. يمكن تعريف المؤثر بشكل تجريدي من خلال خصائصه، مثل {{وإو|المؤثر الخطي المحدود|Bounded operator}} أو {{وإو|المؤثر الخطي المغلق|Unbounded_operator#Closed_linear_operators}}، وأحيانًا توضع [[تحويل خطي|المؤثرات غير الخطية]] في الاعتبار. دراسة المؤثرات تعتمد بشكل كبير على [[طوبولوجيا]] فضاءات الدوال وتعتبر إحدى فروع [[تحليل دالي|التحليل الدالي]].
-إذا شكلت مجموعة من المؤثرات [[جبر على حقل]]، فإن هذا يعتبر {{وإو|جبر المؤثرات|Operator algebra}} وهو جزء من نظرية المؤثرات.
+إذا شكلت مجموعة من المؤثرات [[جبر على حقل]]، فإن هذا يعتبر [[جبر المؤثرات]] وهو جزء من نظرية المؤثرات.
 == نظرية المؤثر الواحد ==
-تتعامل نظرية المؤثر الواحد مع خواص وتصنيف المؤثرات عند استخدام واحد منها في كل مرة. كمثال يقع تصنيف {{وإو|المؤثرات العادية|Normal operator}} من حيث {{وإو|تحليل طيفها الدالي|Spectrum (functional analysis)}}  ضمن هذه الفئة.
+تتعامل نظرية المؤثر الواحد مع خواص وتصنيف المؤثرات عند استخدام واحد منها في كل مرة. كمثال يقع تصنيف {{وإو|المؤثرات العادية|Normal operator}} من حيث {{وإو|تحليل طيفها الدالي|Spectrum (functional analysis)}} ضمن هذه الفئة.
 === طيف المؤثرات ===
-'''النظرية الطيفية''' بشكل عام تدور حول تمثيل [[تحويل خطي|المؤثرات الخطية]] أو  [[مصفوفة (رياضيات)|المصفوفات]] في [[مصفوفة قطرية|شكل قطري]].<ref>Sunder, V.S. ''Functional Analysis: Spectral Theory (1997) Birkhäuser Verlag''</ref> توفر [[مبرهنة|النظرية]] الطيفية شروطًا يمكن بموجبها [[مصفوفة قطورة|تقطير]] أي [[مؤثر]] أو مصفوفة (أي يتم تمثيلهم [[مصفوفة قطرية|كمصفوفة قطرية]] في بعض [[قاعدة (جبر خطي)|القواعد]]). يمكن تقطير المؤثرات العاملة في الفضاءات محدودة الأبعاد بصورة مباشرة، ولكنه يتطلب بعض التعديلات في حالات المؤثرات العاملة في الفضاءات اللانهائية الأبعاد. بشكل عام تحدد النظرية الطيفية فئة [[تحويل خطي|المؤثرات الخطية]] التي يمكن نمذجتها باستخدام {{وإو|مؤثرات الضرب|Multiplication operator}}، وهي أبسط المؤثرات التي يمكن التوصل لها.
+'''النظرية الطيفية''' بشكل عام تدور حول تمثيل [[تحويل خطي|المؤثرات الخطية]] أو [[مصفوفة (رياضيات)|المصفوفات]] في [[مصفوفة قطرية|شكل قطري]].<ref>Sunder, V.S. ''Functional Analysis: Spectral Theory (1997) Birkhäuser Verlag''</ref> توفر [[مبرهنة|النظرية]] الطيفية شروطًا يمكن بموجبها [[مصفوفة قطورة|تقطير]] أي [[مؤثر]] أو مصفوفة (أي يتم تمثيلهم [[مصفوفة قطرية|كمصفوفة قطرية]] في بعض [[قاعدة (جبر خطي)|القواعد]]). يمكن تقطير المؤثرات العاملة في الفضاءات محدودة الأبعاد بصورة مباشرة، ولكنه يتطلب بعض التعديلات في حالات المؤثرات العاملة في الفضاءات اللانهائية الأبعاد. بشكل عام تحدد النظرية الطيفية فئة [[تحويل خطي|المؤثرات الخطية]] التي يمكن نمذجتها باستخدام {{وإو|مؤثرات الضرب|Multiplication operator}}، وهي أبسط المؤثرات التي يمكن التوصل لها.
-من المؤثرات التي تنطبق عليها النظرية الطيفية هي {{وإو|المؤثرات الهرمتية|Self-adjoint operator}}، أو بشكل أكثر عمومية {{وإو|المؤثرات العادية|Normal operator}} على [[فضاء هيلبرت|فضاءات هلبرت]].
+من المؤثرات التي تنطبق عليها النظرية الطيفية هي [[مؤثر مساعد ذاتي|المؤثرات الهرمتية]]، أو بشكل أكثر عمومية {{وإو|المؤثرات العادية|Normal operator}} على [[فضاء هيلبرت|فضاءات هلبرت]].
 توفر النظرية الطيفية أيضًا طريقة لتقنين [[تفكيك مصفوفة|تفكيك]] المؤثرات والمصفوفات فيما يعرف بـ '''التفريق الطيفي<ref name=":0">معجم مصطلحات الرياضيات، إعداد لجنة مصطلحات الرياضيات في المجمع، أ. د. موفق دعبول، أ. د. خضر الأحمد، أ. د. بشير قابيل، أ. مروان البواب، مجمع اللغة العربية، الجمهورية العربية السورية، 2018، ص 660 ([[iarchive:20200919_20200919_1356/page/n1/mode/1up|رابط]])</ref>'''، أو '''تحليل القيمة الذاتية،''' '''أو''' '''{{وإو|التحليل الذاتي لمصفوفة|Eigendecomposition of a matrix}}'''، ل<nowiki/>[[فضاء متجهي|فضاء المتجه]] الذي يعمل عليه المؤثر.
 ==== المؤثرات العادية ====
-'''المؤثر العادي''' على [[فضاء هيلبرت]] المركب ''H'' هو [[تحويل خطي|مؤثر خطي]] [[دالة مستمرة|مستمر]] ''N'' : ''H'' → ''H''  قابل [[مبدل رياضي|للتبديل]] مع {{وإو|مرافقه الهرميتي|Hermitian adjoint}} ''N *''، بحيث أن : ''NN *'' = ''N * N.''<ref>{{استشهاد|last=Hoffman|first=Kenneth|last2=Kunze|first2=Ray|author2-link=Ray Kunze|edition=2nd|place=Englewood Cliffs, N.J.|mr=0276251|page=312|publisher=Prentice-Hall, Inc.|title=Linear algebra|year=1971}}</ref>
+'''المؤثر العادي''' على [[فضاء هيلبرت]] المركب ''H'' هو [[تحويل خطي|مؤثر خطي]] [[دالة مستمرة|مستمر]] ''N'' : ''H'' → ''H'' قابل [[مبدل رياضي|للتبديل]] مع [[مساعد هيرميتي|مرافقه الهرميتي]] ''N *''، بحيث أن: ''NN *'' = ''N * N.''<ref>{{استشهاد|الأخير=Hoffman|الأول=Kenneth|مؤلف2-الأخير=Kunze|مؤلف2-الأول=Ray|مؤلف2-وصلة=Ray Kunze|إصدار=2nd|مكان=Englewood Cliffs, N.J.|mr=0276251|صفحة=312|ناشر=Prentice-Hall, Inc.|عنوان=Linear algebra|سنة=1971}}</ref>
 المؤثرات العادية مهمة لأنه يمكن تطبيق {{وإو|النظرية الطيفية|Spectral theorem}} عليها. اليوم فئة المؤثرات العادية مدروسة بشكل كاف. ومن أمثلة هذه المؤثرات
 * {{وإو|المؤثرات الواحدية|Unitary operator}}: ''N *'' = ''N'' <sup>−1</sup>
-* {{وإو|المؤثرات الهرمتية|Self-adjoint operator}} (أي مؤثرات مرافقة لذاتها<ref name=":0" />): ''N *'' = ''N'' ؛ (أيضًا مؤثرات ضد المرافقة الذاتية: ''N *'' = - ''N'')
+* [[مؤثر مساعد ذاتي|المؤثرات الهرمتية]] (أي مؤثرات مرافقة لذاتها<ref name=":0" />): ''N *'' = ''N'' ؛ (أيضًا مؤثرات ضد المرافقة الذاتية: ''N *'' = - ''N'')
 * {{وإو|المؤثرات الإيجابية|Positive operator}} : ''N'' = ''MM *''
-* [[مصفوفة نظامية|المصفوفات النظامية]] يمكن النظر لها كمؤثرات عادية لو اعتبرنا أن فضاء هيلبرت  هو '''C''' <sup>''n''</sup> .
+* [[مصفوفة نظامية|المصفوفات النظامية]] يمكن النظر لها كمؤثرات عادية لو اعتبرنا أن فضاء هيلبرت هو '''C''' <sup>''n''</sup> .
+== انظر أيضًا ==
-:
-== أنظر أيضا ==
-*
-*
 * [[نظرية طيفية|نظرية الطيف]]
+* {{وإو|نظرية فريدهولم|Fredholm theory}} [[معادلة تكاملية|للمعادلات التكاملية]]
-**
+* [[مؤثر تفاضلي|عامل تفاضلي]]
-** {{وإو|نظرية فريدهولم|Fredholm theory}} [[معادلة تكاملية|للمعادلات التكاملية]]
-** [[مؤثر تفاضلي|عامل تفاضلي]]
-*
-*
 * المؤثر الإيجابي في [[فضاء هيلبرت|فضاء هلبرت]]
 * [[مبرهنة بيرون-فروبانيوس|مؤثر غير سلبي]] في {{وإو|فضاء المتجهات المرتبة جزئيًا|Ordered vector space}}
 == مراجع ==
- {{reflist}}
+{{مراجع}}
 == للاستزادة ==
 * [[جون بي. كونواي|Conway, J. B.]]: ''A Course in Functional Analysis'', 2nd edition, Springer-Verlag, 1994, {{ردمك|0-387-97245-5}}
-* {{استشهاد بكتاب|ISBN=978-0582237438|title=Introduction to Operator Theory|author1=Yoshino|first=Takashi|year=1993|publisher=Chapman and Hall/CRC}}
+* {{استشهاد بكتاب|ISBN=978-0582237438|عنوان=Introduction to Operator Theory|مؤلف1=Yoshino|الأول=Takashi|سنة=1993|ناشر=Chapman and Hall/CRC}}
 == روابط خارجية ==
+* [http://www.mathphysics.com/opthy/OpHistory.html تاريخ نظرية المؤثرات]
+{{روابط شقيقة|commons=Operator theory}}
+{{الرياضيات الصناعية والتطبيقية}}
+{{شريط بوابات|رياضيات}}
+{{ضبط استنادي}}
-* [http://www.mathphysics.com/opthy/OpHistory.html تاريخ نظرية المؤثرات]
+[[تصنيف:نظرية المؤثرات| ]]
-[[تصنيف:نظرية المؤثرات]]