مبرهنة رامزي

في التوافقيات, مبرهنة رمزي تنص على أنه بأي تلوين لأضلاع رسم بياني كامل كبير بما فيه الكفاية, يوجد رسم بياني فرعي كامل أحادي اللون. للونين, تنص مبرهنة رمزي على أنه لكل زوج من الأعداد الصحيحة الموجبة (r,s), يوجد على الأقل عدد صحيح موجب (R(r,s, حيث أنه لأي رسم بياني كامل على (R(r,s رؤوس, ملونة أضلاعة بالأحمر أو الأزرق, إما يوجد رسم بياني فرعي كامل على r رؤوس أضلاعة ملونة بالأزرق, أو رسم بياني فرعي كامل على s رؤوس أضلاعه ملونة بالأحمر. هنا (R(r,s تعبر عن عدد صحيح الذي يعتمد على كل من r و s. ومن المفهوم تمثيل أصغر عدد صحيح الذي تنطبق عليه المبرهنة.

مبرهنة رمزي هي نتيجة تأساسية في التوافقيات. النسخة الأولى من هذه المبرهنة اثبتت على يد الرياضي الانجيزي فرانك رمزي. بدأت هذه المبرهنة نظرية التوافقيات, التي يطلق عليها حاليا نظرية رمزي, التي تبحث الانتظام وسط الفوضى: شروط عامة لوجود مبنى فرعي مع خصائص منتظمة. في هذه الحالة هي مسألة وجود مجموعة فرعية أحادية اللون, والتي هي مجموعة فرعية من أضلاع متصلة ملونة بلون واحد فقط.

إضافة لهذه المبرهنة ينطبق على عدد محدود من الألوان, بدلا من لونين. بصورة أدق, تنص المبرهنة على أنه لكل عدد معطى من الألوان c, ولكل أعداد صحيحة معطاه n1,...,nc, يوجد عدد, (R(n1, ..., nc, حيث أنه اذا تم تلوين أضلاع رسم بياني كامل على (R(n1, ..., nc رؤوس بـ c ألوان مختلفة, يوجد i بين 1 و c, حيث يجب أن يشمل الرسم البياني الكامل على ni رؤوس الذي ملونة جميع أضلاعه بالون i. (بالحالة الخاصة أعلاه c = 2 و n1 = r و n2 = s).

مثال: R(3,3) = 6

تلوين بلونين لـ K₅ (رسم بياني كامل على 5 رؤوس) بدون K₃ أحادي اللون

في المثال التالي, الصيغة (R(3,3 توفر حلا للسؤال الذي يسأل ما هو العدد الأدنى من الرؤوس على شكل بياني أن يحوي, لضمان إما:

(1) على الأقل 3 رؤوس في الشكل البياني متصلة أو

(2) على الأقل 3 رؤوس في الشكل البياني غير متصلة.

لنفترض أن أضلاع الشكل البياني الكامل على 6 رؤوس ملونة بالأزرق والأحمر. نختار رأس v. يوجد 5 أضلاع خارجة من v (لأنه هناك 5 رؤوس غير v, حيث يتصلون مع v كل رأس بضلع) ولذلك حسب مبدأ برج الحمام على الأقل 3 من الأضلاع هم من لون واحد. بدون فقدان العمومية نفترض أن 3 أضلاع منهم, المتصلة مع الرؤوس r, s و t هي ملونة بالأزرق (إذا لم تكن كذلك, نبدّل الأزرق بالأحمر.) يوجد حالتين:

• إذا كانت أحد الأضلاع التالية (r, s), (r, t), (s, t) ملونة بالأزرق, وبالتالي يوجد مثلث أزرق (شكل بياني كامل على 3 رؤوس).
• إن لم يكن ذلك, إذن جميع الأضلاع (r, s), (r, t), (s, t) ملونة بالأحمر, وبالتالي يوجد مثلث أحمر.

لأن هذا البرهان يعمل على أي تلوين, أي K6 (رسم بياني كامل على 6 رؤوس) يحتوي على K3 أحادي اللون, وبالتالي R(3,3) ≤ 6. وعلى العكس, يتضح من الصورة أنه بالإمكان رسم K5 بدون أن يحتوي على K3 أزرق أو K3 أحمر. ولذلك R(3,3) > 5. إذن R(3,3) = 6.

لاحظ أنه نظرا لطبيعة المسألة المتناظرة, (R(r,s تؤدي إلى نفس جواب (R(s,r. لا يظهر هذا جليا في مثال (R(3,3, لان قيم r و s متساوية.

إثبات المبرهنة

نقوم بإثبات حالة اللونين, بالاستقراء على r + s. من الواضح من التعريف بأنة لكل n, R(n, 1) = R(1, n) = 1. هذا يشكل أساس الاستقراء. نثبت بأن (R(r, s موجود عن طريق ايجاد حد واضح له. بفرضية الإستقراء (R(r − 1, s و (R(r, s − 1 موجودان.

إدعاء: :(R(r, s) ≤ R(r − 1, s) + R(r, s − 1 أنظر إلى رسم بياني كامل بـ (R(r − 1, s) + R(r, s − 1 رؤوس. اختر رأس من الرسم, وقسم باقي الرؤوس إلى مجموعتين M و N, بحيث لكل رأس w, w في M إذا كان الضلع (v, w) أزرق, و w في N إذا كان الضلع (v, w) أحمر.

ولأن في الرسم R(r - 1, s) + R(r, s - 1) = |M| + |N| + 1 أضلاع, إذن إما (M| ≥ R(r − 1, s| أو (N| ≥ R(r, s − 1|.

في الحالة الأولى إذا في M رسم بياني K_s أحمر, أيضا هو يوجد في الرسم الأصلي وانتهينا. وإلا في M رسم بياني K_r−1 أزرق. إذن يوجد $M\cup \{v\}$ أزرق حسب تعريف M. الحالة الثانية متطابقة.

إذن الادعاء صحيح, ونكون أثبتنا للونين. إثبات الحالة العامة لـ c ألوان يكون الإثبات بالإستقراء مجددا على عدد الألوان c.

أعداد رمزي

الأعداد (R(r,s في مبرهنة رمزي (والأضافات لأكثر من لونين) يعرفون بأعداد رمزي. حتى هذه اللحظة غير معروفة فيم(R(n,n لكل n ≥ 5

يظهر بالجدول أدناه أعداد رمزي لكل r,s بين 1 و 10:

r,s	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	1	3	6	9	14	18	23	28	36	40–43
4	1	4	9	18	25	35–41	49–61	56–84	73–115	92–149
5	1	5	14	25	43–49	58–87	80–143	101–216	126–316	144–442
6	1	6	18	35–41	58–87	102–165	113–298	132–495	169–780	179–1171
7	1	7	23	49–61	80–143	113–298	205–540	217–1031	241–1713	289–2826
8	1	8	28	56–84	101–216	132–495	217–1031	282–1870	317–3583	331-6090
9	1	9	36	73–115	126–316	169–780	241–1713	317–3583	565–6588	581–12677
10	1	10	40–43	92–149	144–442	179–1171	289–2826	331-6090	581–12677	798–23556

راجع أيضا

• رسم بياني كامل

وصلات خارجية

• إثبات أن R(3,6) = 18

قالب:بوابة رياضيات