Teoría de grupos

En álxebra astracta, la teoría de grupos estudia les estructures alxebraiques conocíes como grupos. Los sos oxetivos son, ente otros, la clasificación de los grupos, les sos propiedaes y les sos aplicaciones tanto dientro como fora de les matemátiques.

Los grupos sirven como pilastra a otres estructures alxebraiques más ellaboraes como los aniellos, los cuerpos o los espacios vectoriales. La teoría de grupos tien munches aplicaciones nel campu de la física y la química, y ye potencialmente aplicable en situaciones caracterizaes pola simetría. Amás aplíquense n'astrofísica: quarks, solución de acertijos: cubu de Rubik, nos códigos binarios y en criptografía.

L'orde d'un grupu ye'l so cardinalidad; sobre la base d'él, los grupos pueden clasificase en grupos d'orde finito o d'orde infinitu. La clasificación de los grupos simples d'orde finito ye unu de los mayores llogros matemáticos del sieglu XX.

Historia

Los raigaños históricos de la teoría de grupos son la teoría de les ecuaciones alxebraiques, la teoría de númberos y la xeometría. Euler, Gauss, Lagrange, Abel y Galois fueron el creadores que ponen los cimientos d'esta caña de la álxebra astracta. Galois ye reconocíu como'l primer matemáticu que rellacionó esta teoría cola teoría de cuerpos, de lo que surdió la teoría de Galois. Amás, usó la denominación de grupu o " inventó'l términu [...]" según Y.T.Bell. Otros importantes matemáticos que contribúin son Cayley, Emil Artin, Emmy Noether, Peter Ludwig Mejdell Sylow, A.G. Kurosch, Iwasawa ente munchos otros. Foi Walter Dick quien en 1882, dio la moderna definición de grupu y foi "el primeru en definir el grupu llibre niciáu por un númberu finito de xeneradores", según Nicolás Bourbaki. A fines del sieglu XIX, Frobenius definió grupu astractu con un sistema d'axomes.

Definición

Un grupu $(G,\circ )$ ye un conxuntu $G$ nel que se definió una operación binaria interna $\circ$ , que satisfai los siguientes axomes:

Asociatividad: $\forall a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
Elementu neutru: $\exists y\in G:y\circ a=a\circ y=a$
Elementu simétricu: $\forall a\in G\quad \exists a^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=y$

Poro, un grupu ta formáu por un conxuntu d'elementos astractos o símbolos, y por una llei de composición interna (operación binaria) que los rellaciona. Dicha llei de composición interna indica cómo tienen de ser manipoliaos los elementos del grupu.

Dizse qu'un grupu ye abeliano o conmutativu cuando verifica amás la propiedá conmutativa:

a\circ b=b\circ a\quad \forall a,b\in G

Definición alternativa

Un grupu ye un sistema alxebraicu que nun ye sinón un conxuntu non vacíu provistu d'una operación binaria asociativa, onde les ecuaciones ax=b y yá=b tienen solución dientro de dichu conxuntu; esto ye, tamién cumple la clausuratividad, ente otres propiedaes.

Notación

Falar de notación aditiva cuando se representa la llei de composición interna como " $a+b$ ", y l'elementu neutru como "0". Per otru llau, la notación multiplicativa ye aquella na que la llei de composición interna represéntase como " $a\cdot b$ ", o " $ab$ ", y l'elementu neutru como "1".

Exemplos

$(\mathbb {Z} ,+)$ , el conxuntu de númberos enteros cola suma avezada, ye un grupu abeliano; onde l'elementu neutru ye'l 0, y el simétricu de x, ye -x.
$(\mathbb {R} ,+)$ , el conxuntu de los númberos reales cola suma avezada, ye un grupu abeliano; onde l'elementu neutru ye'l 0, y el simétricu de x, ye -x.
$(\mathbb {Z} \setminus \{0\},\cdot )$ , el conxuntu de los númberos enteros (escluyendo al 0) cola multiplicación, nun ye un grupu; yá que l'elementu simétricu de x ye 1/x, y dichu 1/x pertenez al conxuntu de racionales, non al de los enteros. Notar que al nun tener el cero elementu simétricu multiplicativu, tien d'escluyir.
El conxuntu de toles biyecciones d'un conxuntu X - simbolizáu por S(X) - xunto cola composición de funciones, ye un grupu non abeliano (si la cardinalidad de X ye mayor que dos) y llámase grupu simétricu de X.
El conxuntu de matrices rectangulares de dimensiones $n\times m$ cola suma, ye un grupu abeliano.
El conxuntu de matrices cuadraes con determinante distintu de cero cola multiplicación (Grupu xeneral llinial), nun ye abeliano.
Les clases de homotopía de trayectories continues $S^{1}\to X$ $S^{1}\to X$ nun espaciu topolóxicu X formen un grupu non necesariamente abeliano. Ésta construcción ye'l grupu fundamental de X.
- El grupu fundamental d'un círculo (circle, cercle, Kreis) ye'l grupu cíclicu infinitu; $\mathbb {Z}$ .
- El de la esfera $S^{2}$ ye trivial = 0.
- D'un toru ye $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$
- D'un toru ensin un discu ye'l grupu llibre d'orde dos, $F_{2}$ . D'un toru ensin dos discos dixuntos; $F_{3}$ .
- Del planu proyectivo ye $\mathbb {Z} _{2}$
- El de la botella de Klein tien la presentación; $\langle a,b:aba=b\rangle$ y que correspuende al productu semidirecto de $\mathbb {Z}$ con $\mathbb {Z}$ .

Operaciones

Ente dos grupos G, H puede haber morfismos, i.e. funciones que son compatibles coles operaciones en cada unu d'ellos. Si $\phi \colon G\to H$ ye un homomorfismo entós obedez

\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)\,

onde fiximos la convención d'escribir $ab$ pa indicar la operación de a con b en G, y $\phi (a)\phi (b)$ la operación de $\phi (a)$ con $\phi (b)$ en H.

El conxuntu $\phi S$ ye un subgrupu en H cuando S ye un subgrupu en G.

Si tresformamos un conmutador del grupu: $aba^{-1}b^{-1}$ llógrase: $\phi (aba^{-1}b^{-1})=\phi (a)\phi (b)(\phi (a))^{-1}(\phi (b))^{-1}$ .

Categoría de grupos

Dende'l puntu de vista de la teoría de categoríes, la teoría de grupos podría catalogase como una categoría llamada categoría de grupos, por cuenta de qu'en ella estúdiase a los grupos y los sos morfismos. La categoría de grupos ye bien grande, pero puede armase una rellación d'equivalencia nesta categoría por que se factorice: la rellación ente grupos de ser isomorfos amenorga cuestiones estructurales de la categoría de grupos a la categoría de grupos-módulu-los-isomorfos. Nesti amenorgamientu la operación d'unión dixunta convertir nuna categoría monoidal.

Teoría xeométrica de los grupos

Los más actuales temes d'investigación na teoría de grupos tienen que ver coles modernes téuniques de la topoloxía. Una manera estándar de construyir nuevos grupos a partir de los conocíos son los

productos llibres, *

productos llibres amalgamados y les

HNN-estensiones.

La gran variedá de téuniques topolóxiques pueden ser aplicaes desque se sabe que ye posible construyir siempres un espaciu topolóxicu (de fechu un CW-complexu dos-dimensional) de tal manera que'l grupu fundamental d'esti espaciu ye'l grupu dau.

Ver tamién

Referencies

Referencia global en Encyclopaedia of Mathematics

Bibliografía

Alexandroff, P. S. (1967). Introducción a la Teoría de los Grupos. Buenos Aires: Editorial Universitaria de Buenos Aires, Coleición Cuaderno Nᵘ132, 152 páxines, en rústica. Traducción del rusu: Juana Elisa Quastler.
Adler, Irving (1970). La Nueva Matemática. Buenos Aires: Editorial Universitaria de Buenos Aires, Coleición Ciencia Nuevu, 288 páxines, en rústica. Traducción del inglés: Jorge Jáuregui. Orixinal: The New Mathematics, The John Day Company, New York.

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