Изоморфизм битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

{{Значения|Изоморфизм (значения)}}
{|class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto; float:right; width:350px"
|-
|[[Файл:Graph isomorphism a.svg|100px]] [[Файл:Graph isomorphism b.svg|210px]]|-|bgcolor=white|Ике изоморфлы граф миҫалы. Изоморфизм бер графтың түбәләренә икенсе графтың шул уҡ төҫтәге түбәләрен ярашлы ҡуя: бер графта ике түбә ҡабырға менән тоташтырыла шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр икенсе графта шул уҡ төҫтәге түбәләр ҡабырға менән тоташтырылған булһа.
|}
'''Изоморфи́зм''' ({{lang-grc|ἴσος}} теленән — «тигеҙ, бер төрлө, оҡшаш» һәм {{lang-grc2|μορφή}} — «форма») — был бик дөйөм төшөнсә, [[математика|математиканың]] төрлө бүлектәрендә төрлөсә билдәләнә.
Изоморфизм ниндәйҙер [[Алгебраик система|структуралар]] бирелгән күмәклектәр (мәҫәлән, [[Төркөм (математика)|төркөмдәр]], [[Ҡулса (алгебра)|ҡулсалар]], [[һыҙыҡлы арауыҡ]]тар һәм башҡалар) өсөн билдәләнә.
Дөйөм һыҙатта уны ошолай тасуирларға мөмкин: әгәр структура бирелгән ике күмәклек араһындағы әйләндерелмәле сағылыш ([[биекция]]) был структураны һаҡлаһа, ул изоморфизм тип атала.
Әгәр бындай структуралар араһында изоморфизм булһа, улар '''изоморфлы''' тип аталалар. Изоморфизм һәр саҡ бындай структуралар класында [[эквивалентлылыҡ бәйләнеше]] бирә.

Шулай, мәҫәлән, ике [[Граф (математика)|граф]],әгәр улар араһында изоморфизм булһа, изоморфлы тип атала: йәғни бер графтың түбәләренә икенсе графтың түбәләрен, беренсе графтың тоташтырылған түбәләренә икенсе графтың тоташтырылған түбәләре тап килерлек итеп ярашлы ҡуйып була һәм киреһенсә. Икенсе төрлө әйткәндә, ике граф изоморфлы, әгәр улар «бер төрлө» (түбәләренең исемен алмаштырыуға тиклем аныҡлыҡ менән) булһа.

Дөйөм осраҡта, араһында изоморфизм булған объекттар, был структура мәғәнәһендә «бер төрлө тәртипкә һалынған» булалар.

Изоморфлы системаларҙың икенсе классик миҫалы булып, билдәләнгән ҡушыу ғәмәле менән <math>\mathbb R</math> бөтә ысын һандар күмәклеге һәм билдәләнгән ҡабатлау ғәмәле менән <math>\mathbb R_+</math> ыңғай ысын һандар күмәклеге тора.
<math>x\mapsto \exp(x)</math> сағылышы был осраҡта изоморфизм була.

== Дөйөм алгебра ==
[[Дөйөм алгебра]]ла изоморфизм тип [[гомоморфизм]] булған әйләндерелмәле сағылыш атала. Түбәндә бер нисә миҫал килтерелә.

=== Төркөмдәр ===
<math>G</math> һәм <math>H</math> — ике [[Төркөм (математика)|төркөм]] булһын, ти.
<math>f\colon G\to H </math> [[биекция]]һы, әгәр теләһә ниндәй <math>a,\;b\in G</math> өсөн
: <math>f(a) f(b)=f(ab)</math> булһа, изоморфизм тип атала.
Әгәр төркөм [[Топологик төркөм|топологик]] булһа, ярашлы топологик арауыҡтарҙың [[гомеоморфизм|гомеоморфлы]] булыу шарты өҫтәлә.<ref name="Pontr 392">Л. С. Понтрягин ''Непрерывные группы'' стр. 392</ref>

=== Яландар ===
<math>F_1</math> һәм <math>F_2</math> — [[ялан (алгебра)|яландар]] булһын, ти.
<math>f\colon F_1\to F_2</math> [[биекция]]һы, әгәр ул яландың ике ғәмәлен дә һаҡлаһа, йәғни теләһә ниндәй <math>a,b\in F_1</math> өсөн
# <math>f(a) + f(b)=f(a + b)</math>,
# <math>f(a) \cdot f(b)= f(a\cdot b)</math> шарты үтәлһә, '''изоморфизм''' тип атала.

'''Миҫал'''. Коэффициенттары ысын һандар булған [[күпбыуындар ҡулсаһы]] <math>\mathbb{R}[x]</math> өсөн <math>x^2+1</math> күпбыуыны модуле буйынса [[фактор-ҡулса]]<ref>{{книга|автор=Фаддеев Д. К.|заглавие=Лекции по алгебре |место=М. |издательство=Наука |год=1984|страницы=200—201|страниц=416}}</ref> <math>\mathbb{C}:</math> [[Комплеклы һан|комплекслы һандар]] яланына изоморфлы ялан була.
: <math>\mathbb R[x]/(x^2 + 1) \ \stackrel \cong \longrightarrow \ \mathbb C</math>

Өҫтәлмә структуралы ([[Тәртипкә килтерелгән ялан|тәртипкә килтерелгән]] яландар, [[Топологик ялан|топологик яландар]] {{һәм башҡалар}}) өсөн, биекция шулай уҡ был өҫтәлмә структураларҙы һаҡлай тигән шарт өҫтәлергә мөмкин.

== Күмәклектәр теорияһы ==
[[Күмәклектәр теорияһы|Күмәклектәр теорияһында]] теләһә ниндәй [[биекция]] изоморфизм була.

Миҫалға, ике өлөшләтә тәртипкә килтерелгән күмәклек, әгәр улар араһында тәртипте һаҡлаусы биекция булһа, изоморфлы булалар<ref name="Shen 48">Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов.
Часть 1. Начала теории множеств. стр. 48</ref>.

== Категориялар теорияһында изоморфизм ==
[[Категориялар теорияһы|Категориялар теорияһында]] изоморфизм әйләндерелмәле морфизм була, йәғни ул шундай морфизм <math>\varphi</math>, уның өсөн <math>\varphi^{-1}\circ\varphi</math> һәм <math>\varphi\circ\varphi^{-1}</math> композициялары тождестволы морфизм булған <math>\varphi^{-1}</math> морфизмы бар. Төркөмдәр категориялары, ҡулсалар категориялары, векторлы арауыҡтар һәм башҡа структуралар категориялары билдәләмәләре, төркөмдәр, ҡулсалар, векторлы арауыҡтар изоморфизмының классик билдәләмәләре категорияла изоморфизмдың дөйөм билдәләмәһе менән тап килерлек итеп төҙөлә.

== Нормалаштырылған арауыҡтар ==
[[Нормалаштырылған арауыҡ|Нормалаштырылған арауыҡтар]] өсөн уларҙың береһенең икенсеһенә сағылышы ''нормалаштырылған арауыҡтар изоморфизмы'' тип атала, әгәр ул [[Һыҙыҡлы сағылыш|һыҙыҡлы]], [[Өҙлөкһөҙ сағылыш|өҙлөкһөҙ]] һәм [[Биекция|биектив]], һәм [[кире сағылыш]] шулай уҡ өҙлөкһөҙ булһа. Был мәғәнәлә изоморфизм [[Һыҙыҡлы арауыҡ|һыҙыҡлы арауыҡтың]] һәм [[Топологик  арауыҡ|топологияның]] структураһын һаҡлай, ләкин норманы мотлаҡ һаҡламай. Әгәр изоморфизм норманы ла һаҡлаһа, ул ''изометрик изоморфизм'' йәки ''изометрия'' тип атала<ref>{{Книга|автор=Петр Бородин, А. Савчук, И. Шейпак|заглавие=Задачи по функциональному анализу|ссылка=https://books.google.com/books?id=v-BwDgAAQBAJ&pg=PA28|ответственный=|издание=|место=|издательство=МЦНМО|год=2017|страницы=28|страниц=337|isbn=9785040485147|isbn2=}}</ref>.

== [[Графтар теорияһы]] ==
{{Основная статья|Изоморфизм графов}}
<math>G</math> графы <math>H</math> графына изоморфлы тип атала, әгәр <math>G</math> графы түбәләре күмәклегенән <math>H</math> графы түбәләре күмәклегенә, түбәндәге үҙсәнлектәргә эйә булған <math>f</math> [[биекция]]һы булһа: әгәр <math>G</math> графында <math>A</math> түбәһенән <math>B</math> түбәһенә ҡабырға булһа, ул саҡта <math>H</math> графында <math>f(A)</math> түбәһенән <math>f(B)</math> түбәһенә ҡабырға булырға тейеш һәм киреһенсә — әгәр <math>H</math> графында <math>A</math> түбәһенән <math>B</math> түбәһенә ҡабырға булһа, ул саҡта <math>G</math> графында <math>f^{-1}(A)</math> түбәһенән <math>f^{-1}(B)</math> түбәһенә ҡабырға булырға тейеш. [[Ориентирлашҡан граф]] осрағында был биекция шулай уҡ ҡабырғаның ориентацияһын һаҡларға тейеш. [[Үлсәүле граф]] осрағында биекция шулай уҡ ҡабырғаның ауырлығын һаҡларға тейеш.
[[Иҫәпләү ҡатмарлылығы теорияһы|Иҫәпләү ҡатмарлылығы теорияһында]] әлегә тиклем [[графтар изоморфизмы|графтар изоморфлығы мәсьәләләре]] ҡатмарлылығы тураһында һорау асыҡ ҡала. Әлеге ваҡытта уның [[P класы|<math>P</math> класына]] ингәнлеге лә, [[NP-тулы мәсьәлә|<math>NP</math>-тулылығы]] ла иҫбат ителмәгән.

== Бәйле билдәләмәләр ==
Алгебраик системаның үҙенә изоморфизмы [[автоморфизм]] тип атала.

== Тарихы ==
Изоморфизм төшөнсәһе математикала [[Төркөм (математика)|төркөмдәргә]] ҡарата ҡулланылып барлыҡҡа килә һәм тәбиғи рәүештә математик структураларҙың киң класына таратыла.

== Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр ==
* Изоморфизм төшөнсәһен (һәм башҡа яҡын төшөнсәләрҙе) аныҡлаусы ниндәйҙер дөйөм теория [[Николя Бурбаки|Бурбаки]] төркөмө тарафынан уларҙың «Теория множеств» (Глава 4. Структуралар) китабында тәҡдим ителә.

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Гомоморфизм]]
* [[Конгруэнция]]
* [[Функция (математика)|Функция]]
* [[Сағылыш ]]

== Иҫкәрмәләр ==
{{Иҫкәрмәләр}}

== Әҙәбиәт ==
* ''Ван дер Варден Б. Л.'' [http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/b01c5ac1998137ac2817256edc019df9.djvu Алгебра.]{{Недоступная ссылка|date=Июнь 2018 |bot=InternetArchiveBot }} СПб.: Лань, 2004, 624 стр., ISBN 5-8114-0552-9.
* ''[[Понтрягин, Лев Семёнович]]''. Непрерывные группы. — {{М}}: [[УРСС]], — 2004. — 520с. — ISBN 5-354-00957-X.

== Һылтанмалар ==
* {{ВТ-ЭСБЕ|Изоморфизм|[[Земятченский, Пётр Андреевич|Земятченский П. А.]]}}

[[Категория:Дөйөм алгебра]]
[[Категория:Категориялар теорияһы]]