Кампактыфікацыя

У агульнай тапалогіі кампактыфіка́цыя — аперацыя, якая пераўтворыць адвольныя тапалагічныя прасторы ў кампактныя.

Фармальна кампактыфікацыя прасторы $X$ вызначаецца як пара $(Y,\;f)$, дзе $Y$ кампактна, $f:X\to Y$ гамеамарфізм на свой вобраз $f(X)$ і $f(X)$ шчыльна ў $Y$.

На кампактыфікацыях некаторай фіксаванай прасторы $X$ можна ўвесці частковы парадак. Пакладзем $f_{1}\leqslant f_{2}$ для двух кампактыфікацый $f_{1}:X\to Y_{1}$, $f_{2}:X\to Y_{2}$, калі існуе бесперапыннае адлюстраванне $g:Y_{2}\to Y_{1}$ такое, што $gf_{2}=f_{1}$. Максімальны (з дакладнасцю да гамеамарфізма) элемент у гэтым парадку называецца кампактыфікацыяй Стоўна — Чэха і пазначаецца $\beta X$. Для таго, каб у прасторы $X$ існавала кампактыфікацыя Стоўна — Чэха, якая задавальняе аксіёме аддзельнасці Хаусдорфа, неабходна і дастаткова, каб $X$ задавальняла аксіоме аддзельнасці $T_{3{\frac {1}{2}}}$, г.зн. была цалкам рэгулярным.

Аднакропкавая кампактыфікацыя (або кампактыфікацыя Аляксандрава) ўладкованая наступным чынам. Няхай $Y=X\cup \{\infty \}$ і адкрытымі мноствамі ў $Y$ лічацца ўсе адкрытыя мноства $X$, а таксама мноства выгляду $O\cup \{\infty \}$, дзе $O\subseteq X$ мае кампактнае (у $X$) дапаўненне. $f$ бярэцца як натуральнае ўкладанне $X$ у $Y$. $(Y,\;f)$ тады кампактыфікацыя, прычым $Y$ хаусдарфавае тады і толькі тады, калі $X$ хаусдарфавае і лакальна кампактнае.

Прыклады аднакропкавай кампактыфікацыі

$\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ з тапалогіяй, сканструяванай як паказана вышэй, з'яўляецца кампактнай прасторай. Няцяжка даказаць, што калі дзве прасторы гамеаморфныя, то і адпаведныя аднакропкавыя кампактыфікацыі гамеаморфныя. У прыватнасці, так як акружнасць на плоскасці без адной кропкі гамеаморфная з $\mathbb {R}$ (прыклад гамеамарфізму — стэрэаграфічная праекцыя), цэлая акружнасць гамеаморфная з $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$. Аналагічна, $\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}$ гамеаморфна c n-мернай гіперсферай.