S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Slika 1 - trougao. U trigonometriji , tangensni teorem [ 1] trougla i tangenti uglova.
Na Slici 1, a , b i c su dužine tri strane trougla, a α, β i γ, respektivno, su uglovi nasuprot tih stranica. Tangensni teorem kaže da je
a
−
b
a
+
b
=
tan
[
1
2
(
α
−
β
)
]
tan
[
1
2
(
α
+
β
)
]
.
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}
Tangensni teorem, iako nije poznat kao sinusni ili kosinusni teorem , jednako je koristan, a može se koristiti u bilo kojem slučaju kada su poznate dvije stranice i jedan ugao, kao i dva ugla i jedna stranica.
Dokaz
Kako bi dokazali tangensni teorem, počinjemo sa sinusnim teoremom :
a
sin
α
=
b
sin
β
.
{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.}
Neka je
d
=
a
sin
α
=
b
sin
β
,
{\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},}
tako da je
a
=
d
sin
α
and
b
=
d
sin
β
.
{\displaystyle a=d\sin \alpha {\text{ and }}b=d\sin \beta .\,}
Slijedi da je
a
−
b
a
+
b
=
d
sin
α
−
d
sin
β
d
sin
α
+
d
sin
β
=
sin
α
−
sin
β
sin
α
+
sin
β
.
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.}
Koristeći trigonometrijske identitete
sin
(
α
)
±
sin
(
β
)
=
2
sin
(
α
±
β
2
)
cos
(
α
∓
β
2
)
,
{\displaystyle \sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right),\;}
dobijamo
a
−
b
a
+
b
=
2
sin
(
α
−
β
2
)
cos
(
α
+
β
2
)
2
sin
(
α
+
β
2
)
cos
(
α
−
β
2
)
=
tan
[
1
2
(
α
−
β
)
]
tan
[
1
2
(
α
+
β
)
]
.
◼
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}{2\sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.\qquad \blacksquare }
Kao alternativa korisštenju identiteta sume ili razlike dva sinusa, može se koristiti trigonometrijski identitet
tan
(
α
±
β
2
)
=
sin
α
±
sin
β
cos
α
+
cos
β
{\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}}
(pogledajte članak formula tangensa polovine ugla ).
![{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b7a4a3592aa66976f1d34bbbb403daa392f9fdf)
![{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}{2\sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.\qquad \blacksquare }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c660322f8008006294bd2c6ad47303507551d993)
