Continuació analítica maximal

La continuació analítica maximal és una formalització més abstracta de la noció de continuació analítica.

Sigui $\mathbb {S}$ l'esfera de Riemann; una superfície de Riemann regular sobre un conjunt obert $\ \Omega \subset \mathbb {S}$ és un parell $\ \left(R,p\right)$ on $R$ és una superfície de Riemann (és a dir, una varietat complexa de dimensió 1) i $p:R\rightarrow \Omega$ és un biholomorfisme local exhaustiu. Una continuació analítica regular d'un element de funció holomorfa consisteix en una superfície de Riemann regular sobre un conjunt obert $\Omega \subset \mathbb {S}$ tal que $U\subset \pi (S)$, en una immersió holomorfa $j\,\colon \,U\rightarrow S$ tal que $\pi \circ j=id\vert _{U}$ i en una funció holomorfa $F\,\colon \,S\rightarrow \mathbb {S}$ tal que $F\circ j=f$.

Un morfisme entre dues continuacions analítiques $\left(S,\pi ,j,F\right)$ i $\left(T,\varrho ,\ell ,G\right)$ del mateix element $\left(U,f\right)$ és una funció holomorfa $h\,\colon \,T\rightarrow S$ tal que $h\circ \ell =j$.

Un tal morfisme és una funció no constant, unívocament determinada en $j(U)$, (i per tant en tot $S$) mitjançant $\ell \circ j^{-1}$. A més, $\varrho \circ h=\pi$ i $G\circ h=F$ en $j(U)$ i per tant en tot $S$.

L'únic morfisme entre una continuació analítica i ella mateixa és la identitat, la composició de dos morfismes també és un morfisme; si un morfisme admet una funció holomorfa com a inversa, ella és també un morfisme: en tal cas, parlem d'un isomorfisme de continuacions analítiques.

Definició: una continuació analítica $S$ de l'element $\left(U,f\right)$ és maximal si, per a cada continuació ${\widehat {S}}$ de $\left(U,f\right)$ existeix un morfisme $h\,\colon \,S\rightarrow {\widehat {S}}$.

És de remarcar que dues continuacions maximals del mateix element són necessàriament isomorfes, ja que la continuació analítica maximal és única llevat d'isomorfismes.

Teorema: cada element $\left(U,f\right)$ de funció holomorfa té una continuació analítica maximal $Q:=\left(S,\pi ,j,F\right)$.

Demostració: siguin #${\mathcal {U}}=\{\left(U_{i},f_{i}\right)\}_{i\in I}$ el conjunt format mitjançant els elements connectables amb $\left(U,f\right)$; #$S_{0}=\coprod _{i\in I}U_{i}$, $\pi _{0}=\coprod _{i\in I}id\vert _{U_{i}}$ i $F_{0}=\coprod _{i\in I}f_{i}$; #$j_{0}\,\colon \,U\longrightarrow S_{0}$ la immersió natural.

Introduïm una relació d'equivalència en $S_{0}$: $z_{1}\in U_{i_{1}}$ i $z_{2}\in U_{i_{2}}$ es diran equivalents si $\pi _{0}(z_{1})=\pi _{0}(z_{2})$ i $f_{i_{1}}=f_{i_{2}}$ en un entorn de $\pi _{0}(z_{1})=\pi _{0}(z_{2})$ en $U_{i_{1}}\cap U_{i_{2}}$.

Sigui $S$ el conjunt quocient i $q\,\colon \,S_{0}\longrightarrow S$ la projecció canònica: una base per a la topologia d'$S$ està formada pels $[U_{i}]:=\{q\left(U_{i}\right)\}$. Definim $j\,\colon \,U\longrightarrow S$, $\pi \,\colon \,S\longrightarrow \mathbb {C} ^{N}$, $F\,\colon \,S\longrightarrow \mathbb {C} ^{N}$ mitjançant $j=q\circ j_{0}$, $\pi \left(q(z)\right)=\pi _{0}(z)$ i $F\left(z_{i}\right)=f_{i}\left(z_{i}\right)$.

Aquestes aplicacions estan ben definides i són contínues; a més, $\pi$ és un homeomorfisme local.

L'espai topològic $S$ és Hausdorff: de fet, si $q\left(z_{i}\right)\not =q\left(z_{j}\right)$ i $\pi _{0}\left(z_{i}\right)=\pi _{0}\left(z_{j}\right)$, considerem un entorn connex $V$ de $\pi _{0}\left(z_{i}\right)=\pi _{0}\left(z_{j}\right)$, tal que $f_{i}$ i $f_{j}$ estiguin definits i siguin diferents en $V$. Siguin $V_{i}$ i $V_{j}$ les còpies disjuntes de $V$ en $U_{i}$ i de $U_{j}$ en $S_{0}$: es veu que ${q\left(V_{i}\right)\cap q\left(V_{j}\right)=\emptyset }$. De fet, si hi hagués dos punts $w_{i}\in V_{i}$ i $w_{j}\in V_{j}$ tals que ${q\left(w_{i}\right)=q\left(w_{j}\right)}$, hi hauria també ${f_{i}=f_{j}}$ en un entorn de ${\pi _{0}\left(w_{i}\right)=\pi _{0}\left(w_{j}\right)}$, ja que en $V$, això és una contradicció.

L'espai $S$ és connex, perquè per a tot parell de punts $p_{1},p_{2}$ amb $p_{1}\in [U^{\prime }]$ i $p_{2}\in [U^{\prime \prime }]$, existeix una cadena ${{\mathcal {K}}=\{U_{i_{0}},U_{i_{1}},\dots ,U_{i_{n}}\}}$ de conjunts oberts connexos no buits, tals que, per a tot $k=0,....,n-1$, $U_{i_{k}}\cap U_{i_{k+1}}\not =\emptyset$, i tals que $U_{i_{0}}=U^{\prime }$ i $U_{i_{n}}=U^{\prime \prime }$. Per tant el conjunt obert ${[U_{i_{0}}]\cup \cdots \cup [U_{i_{n}}]}$ és connex i conté $p_{1}$ i $p_{2}$.

Puix que $q$ és un homeomorfisme local entre $U_{i}$ i $q\left(U_{i}\right)$, l'espai $S$ és connex; però també $\pi \,\colon \,S\longrightarrow \mathbb {C}$ és un homeomorfisme local, ja que pel teorema de Poincaré-Volterra (Narasimhan pag.25), també $S$ és de base numerable.

L'atles ${\left\{\left([U_{i}],\pi \vert _{[U_{i}]}\right)\right\}_{i\in I}}$ defineix una estructura complexa en $S$, perquè per a tot parell $[U_{i}],[U_{j}]$ de mapes locals que se superposen, l'aplicació de transició ${\pi \vert _{j}\circ \pi \vert _{i}^{-1}}$ és la identitat d'un conjunt obert de ${U_{i}\cap U_{j}}$.

Per a aquesta estructura, les aplicacions $\pi ,\ j,\ F$ són holomorfes per construcció, ja que ${\left(S,\pi ,\ j,\ F\right)}$ és una continuació analítica de $\left(U,f\right)$.

Es pot demostrar que aquesta continuació és maximal: sigui ${\left(T,\varrho ,\ell ,G\right)}$ una continuació analítica de $\left(U,f\right)$: podem construir un recobriment obert de $R$ mitjançant uns $\{V_{i}\}$ tals que, per a tot $i$, $\varrho \vert _{\{V_{i}\}}$ és biholomorfa; llavors el parell ${\left(\varrho (V_{i}),G\circ \varrho \vert _{V_{i}}^{-1}\right)}$ és un element de funció holomorfa connectable amb $\left(U,f\right)$.

Definim ${h_{i}:V_{i}\longrightarrow S}$ mitjançant ${h_{i}=q\circ \varrho \vert _{V_{i}}}$: si $V_{i}\cup V_{j}\not =\emptyset$, $h_{i}=h_{j}$ en $V_{i}\cup V_{j}$, per tant les definicions locals s'enllacen per definir una aplicació holomorfa $h:T\rightarrow S$ tal que $h\circ \ell =j$.

Vegeu també

• Continuació analítica

Referències

Narasimhan: Raghavan Narasimhan, 'Several complex variables' The university of Chicago Press, Chigago