Zobrazení zdroje stránky Derivace

{{Možná hledáte|jiné= [[Derivace elementárních funkcí]] nebo [[Derivát]]}}
[[Soubor:Tangent to a curve.svg|náhled|upright=1.3|Graf funkce (černě) a její [[tečna]] (červeně). Sklon tečny odpovídá derivaci funkce ve vyznačeném bodě]]
'''Derivace''' je důležitý pojem [[matematická analýza|matematické analýzy]] a základ [[diferenciální počet|diferenciálního počtu]]. Derivace [[funkce (matematika)|funkce]] je změna (růst či pokles) její hodnoty v poměru ke změně jejího argumentu, pro velmi malé změny argumentu. Výpočet derivace se nazývá derivování. Opačným procesem k derivování je [[integrál|integrování]].

Pojem derivace vznikl v [[17. století]] v pracích [[Isaac Newton|Newtona]] a [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibnize]] při řešení [[geometrie|geometrických]] a [[fyzika|fyzikálních]] problémů. Pro funkci jedné proměnné je derivace funkce v libovolném bodě (pokud existuje) rovna [[směrnice přímky|směrnici]] [[tečna|tečny]] ke  [[Graf funkce|grafu funkce]] v tomto bodě.  Pro funkci popisující dráhu tělesa jako funkci času derivace udává okamžitou [[rychlost]]. Podobně, derivace funkce udávající rychlost je [[zrychlení]].

Název derivace je z pozdně-latinského ''derivare'' a lze jej přeložit jako odvozenina nebo odvození, srov. např. německý název pro derivaci „Ableitung“. Neříká to sice o vlastnostech derivace mnoho, ale aspoň tolik, že derivace funkce je danou funkcí plně určena, dá se z ní odvodit, je v ní „obsažena“.

== Intuitivní výklad ==
[[Soubor:Derivative1.png|náhled|upright=2.0|vpravo| ]]
[[Soubor:Derivatesinus.png|náhled|upright=1.6| Derivace funkce sinus v bodě, jako směrnice tečny.]]
Na obrázku je graf funkce, která má v bodě ''x'' hodnotu ''f(x)''. V bodě ''x''+Δ''x'' má hodnotu ''f(x''+Δ''x)'' a spojnice obou bodů tvoří [[sečna|sečnu]] křivky. Její směrnici (sklon) lze vyjádřit jako poměr ''(f(x''+Δ''x)&nbsp;-&nbsp;f(x))''&nbsp;/&nbsp;Δ''x ''. Budeme-li nyní oba body přibližovat, tj. zmenšovat diferenci Δ''x'' až k nule, přejde sečna nakonec v [[tečna|tečnu]]. Tečna svírá úhel s osou x a tangens tohoto úhlu nazýváme '''směrnicí tečny'''. Derivaci funkce v bodě lze s dostatečnou přesností aproximovat právě jako tuto směrnici tečny. Je-li v bodě ''x'' křivka rostoucí, bude její derivace >0 a je-li klesající, bude derivace <0. Pokud křivka v bodě ''x'' dosahuje maxima nebo minima a tečna je tedy rovnoběžná s osou ''x'', bude derivace rovna nule.

Na dalším obrázku je znázorněná grafická derivace funkce sinus pomocí tečny.

== Definice derivace ==
[[Soubor:What is derivative (animation).gif|náhled|Animace zhruba ukazující, jak hodnota derivace odpovídá „přírůstku“ nebo „úbytku“ funkční hodnoty v jednotlivých bodech.]]

==== Historické definice derivace ====
Historické definice vyjadřovaly derivaci jako poměr, v jakém růst či pokles závislé proměnné ''y'' odpovídá změně nezávisle proměnné ''x''. Nejjednodušší představa o derivaci je, že „derivace je mírou změny funkce v daném bodě, resp. bodech“. Pro změnu hodnoty se používá symbol Δ, takže tento poměr lze symbolicky zapsat jako
:<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>.
Derivace je hodnota podílu pro Δ''x'' jdoucí k 0. Nahradíme-li konečně malý rozdíl Δx nekonečně malou změnou d''x'', získáme intuitivní definici derivace
:<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}</math>,
což naznačuje poměr dvou [[infinitezimální hodnota|infinitezimálních hodnot]]. Derivace vskutku je podílem dvou diferenciálních forem – diferenciálu závislé a diferenciálu nezávislé proměnné. Tento ([[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibnizův]]) zápis se čte ''dy podle dx'' a chápe buď jako jediný symbol, označující prostě jen derivování funkce ''y'' podle proměnné ''x'', anebo opravdu i jako [[zlomek]]. V tom případě lze diferenciály chápat buď elementárněji jako [[Diferenciální forma|diferenciální formy]] anebo jako nekonečně malé veličiny (v rámci tzv. [[Nestandardní analýza|nestandardní analýzy]], kterou pěstoval mj. i český matematik [[Petr Vopěnka]]).

==== Moderní definice derivace ====
Během vývoje matematiky se intuitivní představa nekonečně malých (infinitezimálních) hodnot ukázala jako nedostatečně přesná a byla nahrazena „ε-δ“ formalismem [[limita|limit]]. Nejběžnější moderní definice derivace je
:<math>f'(a) = \lim_{h\to 0}{\frac{f(a+h) - f(a)}{h}}= \lim_{x\to a}{\frac{f(x) - f(a)}{x-a}}.</math>

=== Zápis derivace ===
{{Podrobně|Zápis derivace}}
Derivace se značí několika způsoby (v závorce je čtení zápisu):
* <math>f'</math> ''[:f s čárkou:],''
* <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x)</math> ''[:d podle d x z f x:],''
* <math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}</math> ''[:d f podle d x:],''
* <math>D_x f \quad</math> ''[:d podle x f:],''
* <math> f_x</math> ''[:f x:],''
* [[Isaac Newton|Newtonova]] notace používá tečku nad proměnnou: <math>\dot{x} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = x'(t)</math>, používá se obvykle pouze ve [[fyzika|fyzice]] pro derivování podle proměnné vyjadřující [[čas]] (''t'').

=== [[Diferencovatelnost]] ===
Ne vždy však limita, která derivaci definuje, existuje a je konečná, tzn. ne každá funkce má v každém bodě derivaci. Pokud je [[Limita#Nevlastní limita|limita nevlastní]], pak derivace neexistuje, resp. můžeme říci, že je v daném bodě derivace nevlastní. 

Říkáme, že funkce ''f'' je v bodě ''x'' '''[[diferencovatelnost|diferencovatelná]]''', pokud v tomto bodě existuje vlastní derivace. 

Funkce je diferencovatelná na [[interval (matematika)|intervalu]] ''I'', pokud je diferencovatelná v každém bodě tohoto intervalu{{Poznámka|Diferencovatelnost na intervale se obvykle uvádí jako diferencovatelnost na otevřeném intervale. Pro popis diferencovatelnosti na uzavřeném intervale (tj. když existují jednostranné derivace v obou krajních bodech) je vhodné explicitně uvést „diferencovatelnost na uzavřeném intervale“. Tato nejednoznačnost samozřejmě odpadá v psané podobě, kdy je na první pohled zřejmé, zda-li autor myslí 
<math>( a, b )</math> nebo <math> \lang a, b \rang </math>.}}. 

Funkce nemá derivaci v místě, kde není [[spojitá funkce|spojitá]], ale spojitost funkce existenci derivace nezaručuje – funkce může mít v daném bodě svislou tečnu (což by odpovídalo nevlastní, nekonečné derivaci), popř. v daném bodě nemusí mít tečnu vůbec (v místě, kde má graf funkce „hrot“, např. funkce [[absolutní hodnota]] v x=0). Existují dokonce funkce, které jsou spojité v každém bodě, ale nemají v žádném bodě derivaci (např. tzv. [[Weierstrassova funkce]]).

=== Antiderivace ===
Z derivace lze naopak získat původní funkci [[Integrál|integrováním]], pokud známe funkční hodnotu původní funkce aspoň v jednom bodě (tzv. [[Počáteční úloha|počáteční podmínku]]).

== Zobecnění ==

=== Parciální derivace ===
Zobecněním pojmu derivace pro funkce více proměnných je tzv. '''[[parciální derivace]]''', kdy se u funkce více proměnných považuje za proměnnou jenom ta, podle které se derivuje, ostatní jsou v tomto výpočtu považovány za konstanty. Parciální derivace se značí obdobně jako obyčejné derivace, pouze místo symbolů ''d'' se používají symboly ∂, např.: <math>\frac{\partial f}{\partial y}</math> značí parciální derivaci funkce <math>f</math> podle proměnné <math>y</math>.

=== Derivace v normovaných prostorech ===
Nechť <math>X_1, ... , X_n,Y</math> jsou ''normované prostory'', Říkáme, že zobrazení <math>f : X_1 \times ... \times X_n \rightarrow Y</math>je Fréchetovsky (Gatteauxovsky) derivovatelné v bodě <math>x = (x_1,...,x_n)</math> v <math>i</math>-té souřadnici pokud zobrazení <math>f(x_1,...,x_{i-1}, . , x_{i+1},...,x_n):X_i\rightarrow Y, \tilde{x}_i\rightarrow f(x_1,...,x_{i-1},\tilde{x}_i, x_{i+1},...,x_n)</math>(tedy, zobrazení se všemi souřadnicemi FIXOVANÝMI) je F-(G-) diferencovatelné v bodě <math>x_i</math>.

=== Derivace ve směru ===
Pro funkci více proměnných je '''derivace ve směru''' vektoru '''v''' definována vztahem
:<math>\nabla_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - f(\mathbf{x})}{h}}.</math>
Pokud je funkce ''f'' v bodě '''x''' [[diferencovatelnost|diferencovatelná]], potom platí
:<math>\nabla_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{v},</math>
kde <math>\nabla f(\mathbf{x})</math> je [[gradient (matematika)|gradient]] funkce ''f'' v bodě '''x''' a <math>\cdot</math> značí [[skalární součin]].

Hodnota derivace ve směru vektoru '''v''' záleží na velikosti vektoru |'''v'''|, proto se často vyžaduje, aby |'''v'''| = 1. Někdy se také používá definice, která na velikosti vektoru '''v''' nezávisí:
:<math>\nabla_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - f(\mathbf{x})}{h|\mathbf{v}|}}.</math>

=== Totální (úplná) derivace ===
'''[[Totální derivace]]''' je derivace funkce více proměnných, která na rozdíl od parciální derivace zohledňuje závislosti mezi jednotlivými proměnnými.

=== Komplexní derivace ===
O [[Komplexní analýza#Komplexní funkce|komplexní funkci]] <math>f(z)</math> řekneme, že má v <math>z_0</math> derivaci, pokud existuje [[limita]]
:<math>\lim_{z \rightarrow z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z} = f^\prime(z_0)</math>

Derivace existuje pouze tehdy, pokud předchozí limita nezávisí na směru, kterým se v [[komplexní rovina|komplexní rovině]] přibližujeme ke komplexnímu bodu <math>z_0</math>. Tato podmínka je vyjádřena [[Cauchyho-Riemannovy podmínky|Cauchyho-Riemannovými podmínkami]].

Pokud má <math>f(z)</math> v bodě <math>z_0</math> derivaci, pak je v <math>z_0</math> [[spojitá funkce|spojitá]].

Komplexní funkci, která má v bodě <math>z_0</math> derivaci, označujeme jako '''monogenní''' v bodě <math>z_0</math>.
Pokud má <math>f(z)</math> derivaci v každém bodě oblasti <math>\mathbf{G}</math>, pak říkáme, že je v <math>\mathbf{G}</math> ''[[holomorfní funkce|holomorfní]]''.
Je-li holomorfní funkce <math>f(z)</math> [[víceznačná funkce|víceznačná]], označujeme ji jako [[analytická funkce|analytickou]].

=== Derivace vektorů a tenzorů ===
Derivací [[vektor]]u <math>\mathbf{v}</math> podle proměnné ''t'' rozumíme vektor, jehož složky získáme derivací složek vektoru <math>\mathbf{v}</math>, tzn.
:<math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} = \left(\frac{\mathrm{d}v_1}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}v_2}{\mathrm{d}t},\cdots,\frac{\mathrm{d}v_n}{\mathrm{d}t}\right)</math>

Obdobně postupujeme při derivaci [[tenzor]]ů.

== Derivace vyššího řádu ==
Derivaci funkce <math>f(x)</math>, tzn. <math>f^\prime(x)</math>, také označujeme jako ''první derivaci'' (''derivaci prvního řádu''). Funkci <math>f^\prime(x)</math> lze opět derivovat, čímž získáme ''druhou derivaci'' (''derivaci druhého řádu'') funkce <math>f(x)</math>
:<math>f^{\prime\prime}(x) = {[f^\prime(x)]}^\prime = \lim_{h \to 0} \frac{f^\prime(x+h) - f^\prime(x)}{h}</math>

Dalším derivováním můžeme získat vyšší derivace funkce <math>f(x)</math>, které značíme <math>f^{\prime\prime\prime}(x), f^{(4)}(x), f^{(5)}(x)</math>, atd. Používá se také jiné značení, při němž ''n''-tou derivaci značíme jako <math>f^{(n)}(x), \frac{\mathrm{d}^n f(x)}{\mathrm{d}x^n}</math>, popř. pro označení derivace v bodě ''a'' lze použít <math>{\left[\frac{\mathrm{d}^n f}{\mathrm{d}x^n}\right]}_{x=a}</math>.

Někdy je výhodné použít také tzv. nultou derivaci funkce <math>f(x)</math>, za niž považujeme samotnou funkci <math>f(x)</math>, tzn. <math>f^{(0)}(x) = f(x)</math>.

Při použití Leibnizovy notace se derivace vyšších řádů čtou jako exponenty, např. třetí derivaci <math>\frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}</math> čteme "d třetí y podle d x na třetí".

== Derivace neceločíselného řádu, zlomkové derivace ==
Definici lze rozšířit i na záporné a „necelé“ řády. Jako přirozené se jeví ztotožnit ''minus první'' derivaci s [[Určitý integrál|integrálem]]
<math>f^{(-1)}(x) = \int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t</math>
a derivaci ''minus n-tého'' řádu s výrazem
<math>f^{(-n)}(x) = \frac{1}{(n-1)!}\int_0^x (x-t)^{n-1}f(t)\,\mathrm{d}t</math>,
neboť prvním resp. ''n''-tým derivováním dostaneme základní funkci.
Pro nepřirozené ''s''>0 pak jen faktoriál nahradíme [[gama funkce|gama funkcí]]:
<math>f^{(-s)}(x) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^x (x-t)^{s-1}f(t)\,\mathrm{d}t</math>.

Derivace reálného ''r-tého'' řádu (''r''>0) je pak definována jako

<math>f^{(r)}(x) = \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}f^{(r-n)}(x)</math>,
 
kde ''n'' je nejnižší přirozené číslo větší než ''r''; vše za předpokladu, že existuje „vnitřní“ derivace záporného (''r-n'')-tého řádu.

Pozn.: Nejnižší ''n'' se bere proto, že zatímco pro záporné řády je zajištěna komutativnost a aditivnost (tj. dvě postupně provedené derivace záporného řádu, jestliže existují, jsou ekvivalentní jedné derivaci s řádem daným součtem obou řádů bez ohledu na pořadí), pro kladné řády to obecně neplatí.

== Výpočty derivací ==
Principiálně základní technikou je výpočet přímo z definice, tzn. dosazením příslušné funkce do definující limity a výpočtem této limity. Tento způsob je však obvykle (až na velice jednoduché funkce) dosti komplikovaný a v praxi se nepoužívá. Místo toho se derivace funkcí počítají ze známých derivací několika základních funkcí a jednoduchých [[algebra]]ických pravidel pro jejich skládání a další úpravy.

=== Elementární funkce ===
{{Viz též|Derivace elementárních funkcí}}

=== Algebraická pravidla ===
Ze známých derivací elementárních funkcí se derivace složitějších funkcí sestavují tak, že se složitější funkce rozloží na jednodušší pomocí jednoduchých algebraických pravidel, která pro výpočet derivací platí:

* '''Linearita derivace:''' <math>\left(af + bg\right)' = af' + bg'</math> pro libovolné funkce ''f'', ''g'' a konstanty ''a'', ''b''.
** Speciálně platí <math>\left(af\right)' = af'</math> a také <math>\left(f+g\right)' = f'+g'</math>.
* '''Derivace součinu:''' <math>\left(fg\right)' = f'g + fg'</math> pro všechny funkce ''f'', ''g''.
* '''Derivace podílu:''' <math>\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}</math> pro všechny funkce ''f'', ''g'', kde ''g''&nbsp;≠ 0.
* '''Derivace složené funkce:''' Pokud <math>f\left(x\right) = h\left(g\left(x\right)\right)</math>, pak <math>f'(x) = h'(g(x))\cdot g'(x)</math>.
* '''Derivace [[Inverzní zobrazení|inverzní funkce]]:''' Pokud jsou ''f''(''x'') i ''f''<sup>−1</sup>(''x'') obě diferencovatelné, pak tehdy, kdy Δx ≠ 0 pokud Δy ≠ 0, platí <math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \right)^{-1}</math>.
* '''Derivace jedné proměnné vůči druhé, pokud obě jsou funkcí třetí proměnné:''' Pokud ''x'' = ''f''(''t'') a ''y'' = ''g''(''t''), pak <math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} }{ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} } = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}</math>.
* '''Derivace [[Funkce (matematika)#Způsoby zadání funkce|implicitní funkce]]:''' Pokud ''f''(''x'', ''y'') je implicitní funkce, pak <math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{ \frac{\partial f}{\partial x} }{ \frac{\partial f}{\partial y} }</math>.
* '''Derivace [[Funkce (matematika)#Způsoby zadání funkce|parametricky zadané funkce]]:''' Je-li funkce vyjádřena parametrickými rovnicemi <math>x=\varphi(t), y=\psi(t)</math>, pak pro její derivace platí <math>y^\prime = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)} = \frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t}\frac{1}{\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}}</math>

Z některých předchozích pravidel je vidět, že Leibnizova notace umožňuje některé manipulace, které připomínají např. [[Zlomek#Pravidla|krácení zlomku]]. Je ale třeba podotknout, že se jedná jen o symbolické manipulace, s krácením zlomku nemající nic společného. V žádném případě pak není možné „krátit d“ stylem d''x''/d''y'' = ''x''/''y''.

=== Často používané derivace funkcí ===
{{Viz též|Derivace elementárních funkcí}}
* <math>{(\sin x)}^{(n)} = \sin{\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)}</math>
* <math>{(\cos x)}^{(n)} = \cos{\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)}</math>
* <math>{(x^m)}^{(n)} = m (m-1) \cdots (m - n + 1) x^{m-n} \;</math> pro <math>x>0</math>, ''n'' [[přirozené číslo]] a ''m'' libovolné
* <math>{(a^x)}^{(n)} = a^x {(\ln a)}^n \;</math> pro <math>a>0</math>
* <math>{(\mathrm{e}^x)}^{(n)} = \mathrm{e}^x</math>
* <math>{(\ln x)}^{(n)} = {(-1)}^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n} \;</math> pro <math>x>0</math>
* <math>{(\ln{g(x)})}^\prime = \frac{g^\prime(x)}{g(x)} \;</math> pro <math>g(x) > 0</math>
* <math>{\left[\ln{|x + \sqrt{x^2 + a}|}\right]}^\prime = \frac{1}{\sqrt{x^2 + a}}</math> pro <math>a \ne 0, x^2 + a > 0</math>
* <math>{\left(\arcsin \frac{x}{a}\right)}^\prime = 
\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}, & \mbox{ pro } a>0, |x|<a \\ -\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}, & \mbox{ pro } a<0, |x|>a \end{matrix}\right.</math>
* <math>{\left[{f(x)}^{g(x)}\right]}^\prime = {f(x)}^{g(x)} \left[g^\prime(x) \ln{f(x)} + \frac{g(x) f^\prime(x)}{f(x)}\right]</math>
* Derivaci součinu ''n'' funkcí <math>f_i</math> lze zapsat jako <math>{(f_1 f_2 \cdots f_n)}^\prime = f_1 f_2 \cdots f_n \left(\frac{f_1^\prime}{f_1} + \frac{f_2^\prime}{f_2} + \cdots + \frac{f_n^\prime}{f_n}\right)</math>
* Pro vyjádření ''n''-té derivace součinu dvou funkci <math>f(x), g(x)</math> lze použít tzv. ''Leibnizův vzorec''
:<math>{(f\cdot g)}^{(n)} = f^{(n)}g^{(0)} + {n \choose 1}f^{(n-1)}g^{(1)} + {n \choose 2} f^{(n-2)}g^{(2)}+ \cdots + f^{(0)}g^{(n)} = \sum^{n}_{k=0} {n \choose k} f^{(n-k)}g^{(k)}</math>,
kde <math>n \choose k</math> jsou [[kombinační číslo|binomické koeficienty]] a <math>f^{(0)} = f, f^{(1)} = f^\prime, f^{(2)} = f^{\prime\prime}</math>, atd.

=== Konkrétní příklady ===
* ''f''(''x'') = 3; ''f ′''(''x'') = 0,
* ''f''(''x'') = ''x''; ''f ′''(''x'') = 1,
* ''f''(''x'') = 2''x''; ''f ′''(''x'') = 2 · 1 = 2.
* ''f''(''x'') = 5''x''³; ''f ′''(''x'') = 15''x''²; ''f″''(''x'') = 30''x''
* ''f''(''x'') = ''e''<sup>''x''</sup>; ''f ′''(''x'') = ''e''<sup>''x''</sup>.
* ''f''(''x'') = ln&nbsp;''x''; ''f ′''(''x'') = ''x''<sup>−1</sup>.
* ''f''(''x'') = ''x''³ + 2''x''² − 5''x'' + 7; ''f ′''(''x'') = 3''x''² + 4''x'' − 5.
* ''f''(''x'') = sin&nbsp;''x'' · cos&nbsp;''x''; ''f ′''(''x'') = cos²&nbsp;''x'' − sin²&nbsp;''x'' (= cos 2''x'').
* <math>f(x) = \frac{1}{\arcsin{x}}\,</math>; <math>f'(x) = \frac{-1}{(\arcsin{x})^2} \cdot \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }</math>.
* <math>f(x) = x^x = e^{x \ln{x} }\,</math>; <math>f'(x) = e^{x \ln{x} } \cdot \left( 1\cdot\ln{x} + x\frac{1}{x} \right) = x^x \cdot \left(\ln{x} + 1 \right)</math>.

== Aplikace ==
Pojem derivace se objevuje v obrovském množství situací, jak v matematice samé, tak i v jejích aplikacích, např. ve [[fyzika|fyzice]].

=== Lokální extrémy ===
{{viz též|Extrém funkce}}
Pokud má daná diferencovatelná funkce nějaký [[lokální extrém]] (lokální maximum či minimum), je zřejmé, že její tečna v tomto bodě musí být vodorovná, tzn. derivace této funkce musí být v tomto bodě nulová. (Pokud funkce v nějakých bodech tečnu, resp. derivaci nemá, derivace o takových bodech samozřejmě nic prozradit nedokáže.) Pokud v tomto bodě lze spočítat i druhou derivaci, prozradí její znaménko, o jaký extrém se jedná:
* V bodech, kde je první derivace nula a druhá derivace je kladná, se nachází ''lokální minimum''.
* V bodech, kde je první derivace nula a druhá derivace je záporná, se nachází ''lokální maximum''.
* V bodech, kde je první derivace nulová, se nachází tzv. [[stacionární bod]], který může a nemusí být extrémem.
* (V bodech, kde funkce nemá první či druhou derivaci, je nutno použít jiná kritéria.)

Alternativou k rozlišení pomocí druhé derivace je znaménko první derivace: v bodě, kde má funkce lokální extrém, mění první derivace znaménko: pokud je nějaký bod lokálním minimem, pak v jeho levém okolí je první derivace záporná a v pravém okolí kladná, naopak v levém okolí lokálního maxima je první derivace kladná a v pravém záporná.

Tato kritéria se často používají v [[Optimalizace (matematika)|optimalizačních úlohách]]. Pokud je např. požadováno najít [[obdélník]], který při zadaném obvodu má maximální plochu, je třeba najít maximum funkce ''f''(''x'') = ''x''&nbsp;⋅ (''o''/2&nbsp;− ''x''). Její derivací je funkce ''f′''(''x'') = ''o''/2 − 2''x'', která je nulová pro ''x''&nbsp;= ''o''/4. Druhá derivace funkce ''f'' je ''f″''(''x'') = −2, tzn. je všude záporná. V bodě ''x''&nbsp;= ''o''/4 má tedy funkce ''f'' maximum. Znamená to tedy, že ze všech obdélníků o zadaném obvodu má největší obsah ten, který má všechny čtyři strany stejně dlouhé, tzn. [[čtverec]].

=== Analýza chování funkce ===
{{viz též|Průběh funkce}}
Předchozí odstavec popisuje způsob, jak pro danou funkci nalézt její lokální extrémy. To může kromě optimalizačních úloh sloužit také k získání přehledu o [[průběh funkce|chování funkce]], např. při ručním náčrtu jejího [[graf funkce|grafu]]. Kromě analýzy extrémů lze využít derivací k následujícím pozorováním:
* V bodech, kde je první derivace kladná, je funkce [[Monotónní funkce#Monotónní funkce|rostoucí]].
* V bodech, kde je první derivace záporná, je funkce klesající.
* V bodech, kde je druhá derivace kladná, je funkce [[konvexní funkce|konvexní]].
* V bodech, kde je druhá derivace záporná, je funkce [[konkávní funkce|konkávní]].
* V bodech, kde je druhá derivace nulová, se mohou vyskytovat [[inflexní bod]]y.

Z toho lze tedy odvodit například následující poznatky:
* Na intervalech, kde je derivace nulová, je funkce [[konstantní funkce|konstantní]].
* Na intervalech, kde je derivace numericky blízká k nule, se funkce mění pomalu.
* Na intervalech, kde je derivace kladná a numericky velká, funkce rychle roste.
* Na intervalech, kde je derivace kladná a roste (druhá derivace původní funkce je kladná), původní funkce také roste a její růst se stále zrychluje (rostoucí konvexní funkce).
* Na intervalech, kde je derivace kladná, ale klesá (druhá derivace původní funkce je záporná), původní funkce roste, ale její růst se zpomaluje (rostoucí konkávní funkce).

=== Lineární aproximace ===
{{Viz též|Lineární aproximace|Taylorova řada}}
Derivace slouží k nalezení lineární aproximace funkce. Vyšší derivace slouží k nalezení polynomiální aproximace.

=== Fyzika ===
Jednoznačně nejdůležitější oblastí použití derivace ve fyzice jsou derivace podle ''časové proměnné'', vyjadřující rychlost změny nějaké proměnné v čase. Nejběžnější pak jsou časové derivace polohy, které se vyskytují v klasické [[kinematika|kinematice]]:
* [[Rychlost]] (''okamžitá rychlost'', koncept ''průměrné rychlosti'' se obejde bez diferenciálního počtu) je derivace souřadnice polohy tělesa podle času.
* [[Zrychlení]] je derivace rychlosti podle času, tzn. druhá derivace polohy podle času.
* [[Ryv]] je derivace zrychlení podle času, tzn. třetí derivace polohy podle času.

Kromě těchto základních pojmů se derivace objevují v mnoha teoriích [[fyzikální pole|fyzikálních polí]], [[Maxwellovy rovnice|Maxwellových rovnicích]] atd.

Derivace podle ''prostorové proměnné'' vyjadřuje rychlost, s jakou se mění proměnná v prostoru. Jedná se o jednorozměrný [[Gradient (matematika)|gradient]]. Například při vedení tepla v tyči je derivace teploty podle polohy mírou nerovnoměrného rozložení teploty podél tyče a udává (pomocí [[Fourierův zákon|Fourierova zákona]]) tok tepla, který je tímto nerovnoměrným rozložením teploty vyvolán. Derivace teploty podle polohy je v jednotkách teploty na jednotku délky, například ve [[Stupeň Celsia|stupních Celsia]] na [[centimetr]].

==== Derivace a středoškolská fyzika ====
Ve středoškolské fyzice jsou pro jednoduchost často studovány funkce, které jsou dány přímou úměrností. Například dráha [[Přímočarý pohyb|rovnoměrného pohybu]] nebo rychlost [[Rovnoměrně zrychlený pohyb|rovnoměrně zrychleného pohybu]]. V takovém případě dává derivace stejný výsledek jako podíl a díky tomu můžeme určovat [[rychlost]] jako podíl dráhy a času nebo [[zrychlení]] jako podíl změny rychlosti a času. Pro obecné děje s nekonstantními rychlostmi a nekonstantním zrychlením však podíl dává jenom průměrnou rychlost nebo průměrné zrychlení a okamžitou rychlost nebo okamžité zrychlení určujeme pomocí derivace. [[Rychloměr|Tachometr]] v automobilu je vlastně mechanická kalkulačka ukazující derivaci polohy podle času.

=== Diferenciální rovnice ===
{{Podrobně|Diferenciální rovnice}}
Mnoho vědeckých problémů lze formulovat v podobě [[rovnice|rovnic]], ve kterých se vedle sebe vyskytuje nějaká funkce i její derivace. Takové rovnici se říká [[diferenciální rovnice]]. Diferenciální rovnice se objevují snad ve všech vědeckých oborech, kromě matematiky a fyziky také např. v [[chemie|chemii]], [[sociologie|sociologii]], [[ekologie|ekologii]] atd. Podle toho, zda se v rovnici objevují pouze „obyčejné“ derivace, nebo i parciální derivace, se rozlišují
* [[obyčejná diferenciální rovnice]] (ODR) a
* [[parciální diferenciální rovnice]] (PDR).

== Poznámky ==
<references group="pozn." />

== Související články ==
* [[Matematická analýza]]
* [[Limita]]
* [[Integrál]]
* [[Diferenciál (matematika)|Diferenciál]]
* [[Diferenciální rovnice]]
* [[Diference]]
* [[Průběh funkce]]
* [[Numerická derivace]]

== Externí odkazy ==
* {{Wikislovník|heslo=derivace}}
* {{MathWorld|Derivative|Derivace}}
* [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/analysis/function.en WIMS Function Calculator] online výpočty derivací
* [http://trial.kma.zcu.cz/main.php?podObsah=7.1.&TLink=7a/010&v=0 TRIAL, Diferenciální počet] – Katedra matematiky, Západočeská univerzita

{{Autoritní data}}
{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Diferenciální počet]]
[[Kategorie:Matematické symboly]]