Faktorokruh

Faktorokruh je pojem z oboru matematiky, přesněji z abstraktní algebry, kterým se označuje okruh zkonstruovaný určitým způsobem z jiného okruhu a jeho ideálu.

Jedná se o postup podobný konstrukci faktorové grupy v teorii grup (obojí je totiž speciálním případem faktoralgebry), naopak koncept konstrukce podílového tělesa pro obor integrity je navzdory podobnému názvu odlišnou záležitostí. Konstrukce podílového tělesa k danému oboru integrity řeší neexistenci inverzních prvků vzhledem k násobení (například lze takto konstruovat těleso racionálních čísel z oboru integrity celých čísel), zatímco konstrukce faktorokruhu je využívána například při konstrukci kořenových nadtěles pro konkrétní ireducibilní polynom (například konstrukci nadtělesa komplexních čísel k tělesu reálných čísel).

Vytvoření faktorokruhu

Nechť je dán okruh $R$ a ideál $I$ tohoto okruhu. Pak je možné na $R$ definovat relaci $\equiv$ následovně:

$a\equiv b$ tehdy a jen tehdy když $a-b\in I$

Poměrně přímočaře lze dokázat, že tato relace je nejen ekvivalencí, ale dokonce i kongruencí – s třídami této ekvivalence je tedy možné počítat jako s prvky okruhu. Třída obsahující prvek $a$ bývá značena $a+I$. Třídy ekvivalence spolu s operacemi:

• $(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$
• $(a+I)(b+I)=(ab)+I$

tvoří okruh, ten se nazývá faktorovým okruhem neboli faktorokruhem $R$ modulo $I$ a obvykle se značí $R/I$. Z původního okruhu $R$ existuje vždy zobrazení na okruh $R/I$ definované předpisem $p(a)=a+I$. Jedná se o okruhový homomorfismus, říká se mu přirozený homomorfismus a je surjektivní. Jeho jádrem je právě ideál $I$.

Vlastnosti

• Je-li $R$ komutativní okruh, je i $R/I$ komutativní.
• Je-li $R\neq \{0\}$ komutativní okruh a $I$ je maximální ideál, pak je $R/I$ tělesem.
• Je-li $R\neq \{0\}$ komutativní okruh a $I$ je prvoideálem, pak je $R/I$ oborem integrity.
• Ideály faktorokruhu $R/I$ odpovídají ideálům okruhu $R$ obsahujícím $I$

Příklady

• Faktorokruh z nevlastních ideálů: $R/\left\{0\right\}$ je isomorfní samotnému $R$, zatímco $R/R$ je isomorfní nulovému okruhu.
• V okruhu celých čísel $\mathbb {Z}$ je podmnožina sudých čísel ideálem, který můžeme značit $2\mathbb {Z}$. Faktorokruh $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ má jen dva prvky, $0+2\mathbb {Z}$ (na který přirozený homomorfismus zobrazuje sudá čísla) a $1+2\mathbb {Z}$ (na který přirozený homomorfismus zobrazuje lichá čísla). Lze snadno ověřit, že tento okruh je konečným tělesem, konkrétně je izomorfní dvouprvkovému tělesu $GF(2)$.
• Obecně platí, že prvotělesa konečných těles, tedy tělesa známé z modulární aritmetiky a někdy značená $\mathbb {Z} _{p}$, jsou vlastně faktorokruhy $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$
• Pro okruh mnohočlenů $R[x]$, tedy okruh mnohočlenů s koeficienty z reálných čísel, a k němu ideál $I=\left\langle x^{2}+1\right\rangle$, tedy ideál tvořený násobky mnohočlenu $x^{2}+1$, je vzniklý faktorový okruh izomorfní tělesu komplexních čísel.
• Předchozí případ lze zobecnit: Faktorokruhy lze používat k vytvoření tělesových rozšíření, přesněji k vytvoření kořenových nadtěles vzhledem k danému tělesu a mnohočlenu, který je v něm ireducibilní.
• Speciálním případem konstrukce nadtěles jako faktorokruhů je konstrukce konečných těles: Konečné těleso $GF(p^{n})$ lze zkonstruovat jako faktorokruh $GF(p)[x]/f(x)$, kde $f(x)$ je mnohočlen stupně $n$, který je nad $GF(p)$ ireducibilní.