Funktor

Verze k tisku již není podporovaná a může obsahovat chyby s vykreslováním. Aktualizujte si prosím záložky ve svém prohlížeči a použijte prosím zabudovanou funkci prohlížeče pro tisknutí.

Funktor je pojem z matematiky, konkrétněji z teorie kategorií. Jde o zobecnění pojmu zobrazení. Funktor přiřazuje objektům nějaké kategorie objekty jiné kategorie a morfismům kategorie morfismy jiné kategorie.

Definice

Pro kategorie C a D je funktor F z C do D zobrazení,^[1] které

přiřadí každému objektu $X\in C$ objekt $F(X)\in D$ ,
přiřadí každému morfismu $f:X\rightarrow Y\in C$ $f:X\rightarrow Y\in C$ morfismus $F(f):F(X)\rightarrow F(Y)\in D$ $F(f):F(X)\rightarrow F(Y)\in D$ , tak, že je splněno
- $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}$ pro každý objekt $X\in C$
- $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ pro všechny morfismy $f:X\rightarrow Y$ a $g:Y\rightarrow Z$ .

Tj. funktory musí zachovávat identické morfismy a skládání morfismů.

Kovariantní a kontravariantní funktor

V matematice existuje mnoho konstrukcí, které se chovají funktory, ale „obracejí morfismy“ a „přehazují pořadí skládání“. Proto definujeme kontravariantní funktor F z C do D jako zobrazení, které

přiřadí každému objektu $X\in C$ objekt $F(X)\in D$ ,
přiřazuje každému morfismus $f\colon X\to Y\in C$ $f\colon X\to Y\in C$ morfismus $F(f)\colon F(Y)\to F(X)\in D$ $F(f)\colon F(Y)\to F(X)\in D$ takový, že platí následující dvě podmínky:
- $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ pro každý objekt $X\in C$ ,
- $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ pro všechny morfismy $f\colon X\to Y$ a $g\colon Y\to Z\in C$ .

Variance (složeného) funktoru^[2]

Složení dvou funktorů stejné variance:
- $\mathrm {Covariant} \circ \mathrm {Covariant} \to \mathrm {Covariant}$
- $\mathrm {Contravariant} \circ \mathrm {Contravariant} \to \mathrm {Covariant}$
Složení dvou funktorů opačné variance:
- $\mathrm {Covariant} \circ \mathrm {Contravariant} \to \mathrm {Contravariant}$

Všimněte si, že kontravariantní funktory obracejí směr skládání.

Obyčejné funktory se také nazývají kovariantní funktory pro rozlišení od kontravariantních funktorů. Všimněte si, že kontravariantní funktor je možné definovat jako kovariantní funktor na opačné kategorii $C^{\mathrm {op} }$ .^[3] Někteří autoři preferují psaní všech výrazů kovariantně. To znamená, že neříkají, že $F\colon C\to D$ je kontravariantní funktor, ale $F\colon C^{\mathrm {op} }\to D$ (nebo někdy $F\colon C\to D^{\mathrm {op} }$ ) a $F$ nazývají funktorem.

Kontravariantní funktory se někdy také nazývají kofunktory.^[4]

Výše uvedená definice je definice kovariantního funktoru. Kontravariantní funktor je takové zobrazení F, které morfismu $f:X\to Y$ kategorie C přiřadí morfismus $F(f):F(Y)\to F(X)$ v kategorii D a platí $F(f\circ g)=F(g)\circ F(f)$ .

Tato část článku je příliš stručná nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že ji vhodně rozšíříte.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Functor na anglické Wikipedii.

↑ Jacobson 2009, 19, def. 1.2.
↑ Simmons 2011, Exercise 3.1.4.
↑ Jacobson 2009, s. 19–20.
↑ Popescu a Popescu 1979, s. 12.

Literatura

JACOBSON, Nathan, 2009. Basic Algebra I. 2. vyd. [s.l.]: Dover Publications. 499 s. Dostupné online. ISBN 978-0-486-47187-7. (anglicky)
POPESCU, Nicolae; POPESCU, Liliana, 1979. Theory of categories. Dordrecht: Springer. Dostupné online. ISBN 9789400995505.
SIMMONS, Harold, 2011. An Introduction to Category Theory. [s.l.]: [s.n.]. Dostupné online. ISBN 978-1-107-01087-1. DOI 10.1017/CBO9780511863226.004. Kapitola Functors and natural transformations, s. 72–107.

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu funktor na Wikimedia Commons
Functor [online]. Springer [cit. 2024-09-25]. Dostupné online. p/f042140.
nLab [cit. 2024-09-25]. Dostupné online.
André Joyal, CatLab, Wiki projekt pro prezentaci teorie kategorií
HILLMAN, Chris, 2001. A Categorical Primer [online]. 2001. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 1997-05-03.
ADÁMEK, Jiří; HERRLICH, Horst; STRECKER, George E., 2004. Abstract and Concrete Categories; The Joy of Cats [online]. 2004 [cit. 2020-09-19]. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2015-04-21.
Stanford Encyclopedia of Philosophy: “Category Theory“ – autor Jean-Pierre Marquis. Rozsáhlá bibliografie.
Seznam konferencí o teorii kategorií
Baez, John, 1996,“The Tale of n-categories.“ Neformální úvod do kategorií vyššího řádu.
WildCats – balíček pro systém Mathematica věnovaný teorii kategorií. Manipulace a vizualizace objektů, morfismy, kategorie, funktory, přirozené transformace, univerzální vlastnosti.
The catsters, YouTube kanál o teorii kategorií.
Video archive záznamy hovorů o kategoriích, logice a základech fyziky.
Interaktivní stránka, která generuje příklady kategorických konstrukcí v kategorii konečných množin.

Pahýl

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.

[FOOTNOTEJacobson2009[https://archive.org/details/basicalgebra0000jaco/page/19_19],_def._1.2-1] Jacobson 2009, 19, def. 1.2.

[FOOTNOTESimmons2011Exercise_3.1.4-2] Simmons 2011, Exercise 3.1.4.

[FOOTNOTEJacobson200919–20-3] Jacobson 2009, s. 19–20.

[FOOTNOTEPopescuPopescu197912-4] Popescu a Popescu 1979, s. 12.

[1]

[2]

[3]

[4]