Satz von Silver

Der Satz von Silver, benannt nach Jack Silver, ist ein Satz aus der Mengenlehre, der sich mit möglichen Verallgemeinerungen der Kontinuumshypothese befasst. Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese ist von den üblichen Axiomen der Mengenlehre, das heißt von ZFC, unabhängig, man kann sie also dort weder beweisen noch widerlegen. Der hier zu besprechende Satz liefert eine Einschränkung für die Ungültigkeit der verallgemeinerten Kontinuumshypothese; er besagt, dass die kleinste Kardinalzahl, für die die verallgemeinerte Kontinuumshypothese falsch ist, keine singuläre Kardinalzahl mit überabzählbarer Kofinalität sein kann. Dieses Resultat war überraschend, Silver selbst schreibt:

This result is contrary to the previous expectations of nearly all set-theorists, including myself. (deutsch: Dieses Ergebnis ist das Gegenteil früherer Erwartungen fast aller Mengentheoretiker, einschließlich meiner selbst.)

Die Beweismethoden führen auch zu einem Satz über die singuläre-Kardinalzahlen-Hypothese, der ebenfalls als Satz von Silver bekannt ist.

Formulierung

Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese besagt, dass $2^{\kappa }=\kappa ^{+}$ für alle Kardinalzahlen $\kappa$ gilt. Dabei ist $2^{\kappa }$ die Kardinalität der Potenzmenge einer Menge der Kardinalität $\kappa$ und $\kappa ^{+}$ die Nachfolgerkardinalzahl von $\kappa$. Der folgende Satz sagt, dass die Eigenschaft $2^{\kappa }=\kappa ^{+}$ für gewisse Kardinalzahlen erhalten bleibt, wenn sie bereits für alle kleineren gilt.

Satz von Silver: Ist $\kappa$ eine singuläre Kardinalzahl mit $\operatorname {cf} \kappa >\aleph _{0}$ und gilt $2^{\lambda }=\lambda ^{+}$ für alle Kardinalzahlen $\lambda <\kappa$, so gilt auch $2^{\kappa }=\kappa ^{+}$.

Dabei ist $\operatorname {cf} \kappa$ die Kofinalität von $\kappa$ und $\aleph _{0}$ die erste unendliche Kardinalzahl.

Die singuläre-Kardinalzahlen-Hypothese sagt, dass $\kappa ^{\operatorname {cf} \kappa }=\kappa ^{+}$ für singuläre Kardinalzahlen $\kappa$ mit $2^{\operatorname {cf} \kappa }<\kappa$ gilt. Sie ist ebenfalls unabhängig von ZFC und sie folgt aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese, ist also schwächer als diese. Für die singuläre-Kardinalzahlen-Hypothese gilt der folgende Satz:

Satz von Silver: Die singuläre-Kardinalzahlen-Hypothese gilt bereits dann, wenn sie für alle singulären Kardinalzahlen mit abzählbarer Kofinalität gilt.

Zum Beweis

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Beide Sätze verwenden ein Lemma über die Fortsetzung der Eigenschaft $\kappa ^{\operatorname {cf} \kappa }=\kappa ^{+}$. Wenn diese Gleichung für hinreichend viele kleinere Kardinalzahlen als $\kappa$ gilt, dann gilt sie auch für $\kappa$. Genauer wird folgende technische Aussage bewiesen:

Es sei $\kappa$ eine singuläre Kardinalzahl mit $\operatorname {cf} \kappa >\aleph _{0}$ und es sei $\lambda ^{\operatorname {cf} \kappa }<\kappa$ für alle $\lambda <\kappa$. Ferner sei $(\kappa _{\alpha })_{\alpha <\operatorname {cf} \kappa }$ eine mit Ordinalzahlen indizierte aufsteigende Folge von Kardinalzahlen mit

• $\textstyle \lim _{\alpha <\operatorname {cf} \kappa }\kappa _{\alpha }=\kappa$, das ist äquivalent zu $\textstyle \sup _{\alpha <\operatorname {cf} \kappa }\kappa _{\alpha }=\kappa$
• $\textstyle \sup _{\alpha <\beta }\kappa _{\alpha }=\kappa _{\beta }$ für alle Limes-Ordinalzahlen $\beta <\operatorname {cf} \kappa$, solche Folgen heißen normal.

Wenn dann die Menge $\{\alpha <\operatorname {cf} \kappa ;\kappa _{\alpha }^{\operatorname {cf} \kappa _{\alpha }}=\kappa _{\alpha }^{+}\}$ stationär in $\operatorname {cf} \kappa$ ist, dann gilt auch $\kappa ^{\operatorname {cf} \kappa }=\kappa ^{+}$.

Es soll kurz erläutert werden, wie sich daraus der Satz von Silver über die Kontinuumshypothese ergibt. Es sei $\kappa$ eine singuläre Kardinalzahl mit $\operatorname {cf} \kappa >\aleph _{0}$ und es gelte $2^{\lambda }=\lambda ^{+}$ für alle Kardinalzahlen $\lambda <\kappa$. Wir überprüfen die Voraussetzungen obiger Aussage für eine beliebige normale Folge $(\kappa _{\alpha })_{\alpha <\operatorname {cf} \kappa }$ mit Limes $\kappa$. Es gilt $\lambda <\lambda ^{\operatorname {cf} \lambda }\leq \lambda ^{\lambda }=2^{\lambda }=\lambda ^{+}$ für alle $\lambda <\kappa$, wobei der Reihe der Satz von König, Monotonie-Eigenschaften der Potenz von Kardinalzahlen, Kardinalzahlarithmetik und die vorausgesetzte Kontinuumshypothese für alle kleineren Kardinalzahlen verwendet wurden. Daher gilt $\lambda ^{\operatorname {cf} \lambda }=\lambda ^{+}$ für alle Kardinalzahlen $\lambda <\kappa$. Ferner gilt auch $\lambda ^{\operatorname {cf} \kappa }<\kappa$ für alle $\lambda <\kappa$, denn die Potenz kann wegen der vorausgesetzten Kontinuumshypothese höchstens gleich $\max\{\lambda ,\operatorname {cf} \kappa \}^{+}\leq \kappa$ sein, aber Gleichheit kann nicht gelten, da $\kappa$ als singuläre Kardinalzahl keine Nachfolgerkardinalzahl ist. Da $\{\lambda ;\lambda <\operatorname {cf} \kappa \}$ natürlich stationär in $\operatorname {cf} \kappa$ ist, sind damit alle Voraussetzungen des Lemmas erfüllt und es folgt $\kappa ^{\operatorname {cf} \kappa }=\kappa ^{+}$ und daraus $2^{\kappa }=\kappa ^{+}$, was den Beweis beendet.