Diskussion:Orientierte Fläche

Qualitätssicherung

Meinem Vorschlag auf der Qualitätssicherungsseite des Mathematik-Portals folgend, möchte ich hier einige Kritikpunkte formulieren. Ich gliedere sie nach den Abschnitten des Artikels, damit sie hier einzeln diskutiert werden können.

Einleitung

In der ursprünglichen Fassung stand: "Eine orientierte Fläche ist eine Fläche, für die festgelegt wurde, welche ihrer zwei Seiten die Außen- bzw. Innenseite ist." Zurecht wurde von anderen Autoren bemerkt, dass gar nicht jede Fläche im dreidimensionalen Raum (das ist hier offensichtlich mit "Fläche" gemeint) zwei Seiten hat (das steht ja auch drei Sätze später). In diesem Fall ergibt die Aussage keinen Sinn. Andere Autoren haben dann "zweiseitige Fläche" bzw. "orientierbare Fläche" ergänzt. Damit ist es nun korrekt, aber was eine "zweiseitige Fläche" ist, ist selbst erklärungsbedürftig, "orientierbar" ist auf den Artikel Orientierung (Mathematik) verlinkt, der, wie auf der QS-Seite schon festgestellt, für die zwecke dieses Artikels zu abstrakt ist und Orientierbarkeit nur für abstrakte Mannigfaltigkeiten erklärt, ohne auf den konkreten Fall von Flächen im dreidimensionalen Raum einzugehen. --Digamma (Diskussion) 20:41, 29. Aug. 2012 (CEST)

Versuch einer Klärung: Man kann durchaus verständlich erklären, was eine orientierbare Fläche im dreidimensionalen euklidischen Raum ist: In jedem Punkt einer glatten Fläche gibt es genau zwei entgegengesetzt gerichtete Einheitsvektoren, die orthogonal zur Fläche sind (Einheitsnormalenvektoren). Die Fläche ist orientierbar, wenn es möglich ist, so jedem Punkt der Fläche einen Einheitsnormalenvektor zuzuordnen, dass ein stetiges Vektorfeld entsteht. In diesem Fall gibt es (bei einer zusammenhängenden Fläche) genau zwei Möglichkeiten, dies zu tun. (Anmerkung für Mathematiker: Eigentlich wurde hier Orietnierbarkeit des Normalenbündels definiert. Eine Fläche im euklidischen Raum ist aber genau dann orientierbar, wenn ihr Normalenbündel orientierbar ist. Eine Orientierung des Normalenbündels induziert zusammen mit einer Orientierung des Raums eine Orientierung der Fläche und umgekehrt.)

Man kann auch mathematisch rigoros erklären, was "zweiseitig" bedeutet. Lokal teilt jede glatte Untermannigfaltigkeit den Raum in zwei Teile. Das heißt, wenn man um einen Punkt der Fläche eine Kugel betrachtet, deren Radius klein genug ist, dann teilt die Fläche diese Kugeln in zwei Teile (Zusammenhangskomponenten). In dem betrachteten kleinen Bereich entspricht jeder dieser Teile einer "Seite" der Fläche. Die Fläche hat zwei Seiten, wenn man diese Zerlegung auf eine Umgebung der ganzen Fläche ausdehnen kann, wenn es also eine zusammenhängende Umgebung der Fläche gibt, die durch die Fläche in zwei Zusammenhangskomponenten zerlegt wird. --Digamma (Diskussion) 21:09, 29. Aug. 2012 (CEST)

ich habe mir das mit den „2 Seiten“ nicht ausgedacht. Steht so im Bronstein (siehe Fußnote 1, S. 538 leider funzt die cite-book Vorlage nicht richtig und der Link landet nicht auf der richtigen Seite). Man kann meinetwegen einfach den Satz „Hier werden nur Flächen mit zwei Seiten betrachtet “ o.ä. nachschieben. Mich sträubt es sehr in diesem Artikel rigeros zu erklären, was zweiseitig bedeutet.--svebert (Diskussion) 21:14, 29. Aug. 2012 (CEST)

Den Satz "Mich sträubt es sehr, in diesem Artikel rigeros zu erklären, was zweiseitig bedeutet" halte ich für problematisch. Soll das heißen, dass es überflüssig sei, die Begriffe streng aufzubereiten? Da will ich doch einwenden, dass ohne Strenge in der Mathematik nichts geht. Das bedeutet hier: Jeder Leser des Artikels sollte ( zumindest mit Hilfe von einigen oder mehreren Klicks) die Chance haben, auch streng nachzuvollziehen, wie sein Alltagsbegriff von Orientierbarkeit mit dem hier dargestellten mathematischen Orientierbarkeitsbegriff der Flächen zusammenhängt. Schojoha (Diskussion) 19:52, 30. Aug. 2012 (CEST)

1. Ich bin kein Erklärbär.

2. Wikipedia ist kein Lehrbuch

3. Ich bin dafür solche mathematischen Spitzfindigkeiten im Artikel Orientierung (Mathematik) abzuhandeln. Dieser Artikel soll einfach nur erklären, wie rum man die Normlenvektoren wählt und was es überhaupt bedeutet, dass eine Fläche orientiert ist.

4. Falls bei einer Fläche im R3 nicht intuitiv klar ist, wo die 2 Seiten sind, dann behandelt dieser Artikel diese einfach nicht. Fertig.

5. Sei mutig und ändere was geändert werden muss.--svebert (Diskussion) 20:49, 30. Aug. 2012 (CEST)

@Svebert: Ich schlage vor, wir lassen die Polemik. Es geht um Grundsätzliches, scheint mir. Du sagst ja, dass Dein Anspruch sei, "einfach nur erklären, wie rum man die Normlenvektoren wählt und was es überhaupt bedeutet, dass eine Fläche orientiert ist". Dann sag ich: Dann musst Du es auch ernsthaft versuchen. Nimm beispielsweise den Abschnitt "Relevanz in der Physik und Mathematik"! Da stellt sich ja vielleicht doch die Frage, was der Gaußsche Integralsatz eigentlich besagt, wann und wann nicht man ihn anwenden darf und was dieser Satz mit den orientierten Flächen zu tun hat. Und schon ist man mitten drin in der mathematischen Strenge. Oder?Schojoha (Diskussion) 23:11, 30. Aug. 2012 (CEST)

mal zum moebiusband: haett man das magnetfeld wenn der erdkern eins waerBolZig (Diskussion) 17:20, 1. Sep. 2012 (CEST)

Berandete Flächen

Mir erschließt sich nicht, was bei einer Raumkurve mit "gegen den Uhrzeigersinn" bzw. "im mathematisch positiven Sinn" heißen soll. "Die Fläche liegt immer links vom Beobachter" ist keine geeignete Erklärung. Wenn - anschaulich gesprochen - ein der Kurve folgendes Flugzeug sich um 180° um die Längsachse dreht, liegt die Fläche, die vorher links lag, jetzt rechts. Was der Autor wohl sagen möchte (das ergibt sich aus dem nächsten Satz) dass eine Orientierung der Randkurve eine Orientierung der Fläche bestimmt. Dies ist aber nicht verständlich. Es ist auch nicht so einfach. Es funktioniert z.B. nicht, wenn die Fläche mehrere Randkurven besitzt. Und es funktioniert z.B. nicht bei einem Möbiusband. Deshalb geht man eigentlich andersherum vor: Ausgehend von einer Orientierung der Fläche bekommt man eine Orientierung der Randkurve.

Der Fußpunkt des Flächennormalenvektors liegt natürlich in der Fläche selbst, nicht "auf einer Seite". Eine mathematische Fläche hat ja keine Dicke. --Digamma (Diskussion) 20:41, 29. Aug. 2012 (CEST)

Auch hier: Diese Erklärung habe ich mir nicht ausgedacht, sie ist aus Fußnote 4 (Absatz 620, vllt. nicht ganz sauber zitiert...) Und dort steht, dass man aus dem Umlaufsinn der Kurve die Orientierung der Fläche gewinnt: Zitat a) „Dadurch wird also eine Orientierung der Fläche definiert, und zwar[...]“, Zitat b) „so bestimmt also die Wahl der Seite der Fläche deren Orientierung, und umgekehrt bestimmt die Wahl des Umlaufsinns der Randkurve der Fläche eindeutig deren Seite“

Abgesehen davon finde ich die Definition über den „Beobachter der auf dem Rand läuft und die Fläche immer zur linken Seite hat“ sehr einleuchtend und anschaulich.

Die 180°-Drehung des Flugzeugs ist doch ein schönes Beispiel. Nun liegt die Fläche immer rechts, offensichtlich „läuft man nun kopfüber“ und muss den Normalenvektor der eine positive Orientierung darstellt vom Kopf in Richtung Fuß malen. Ich hätte jetzt eher die Kritik verstanden, dass man erstmal definieren müsste was links und was rechts bedeutet... Aber wenn man links und rechts als Voraussetzung nimmt, so ist mit der Definition „Fläche immer links wenn man aufm Rand rumlatscht“ eindeutig Außen- und Innenseite definiert.

Mehrere Randkurven: a) Bitte löchrige Flächen hier ausschließen, b) Zylinder u.ä. haben 2 Randkurven, richtig. Hier ist aber intuitiv klar welche Seite innen und welche außen ist (könnte man das vllt. lokal über konvex/konkav rigeros definieren?). Ich sehe daher ein, dass man umformulieren müsste. Z.B. die Einschränkung, dass hier nur berandete Flächen mit genau einer Randkurve betrachtet werden.

Fußpunkt: Das ist Haarspalterei. Genauso kann ich behaupten, dass der Fußpunkt nicht in der Fläche liegt, da es kein Innen gibt (da volumenlos). Hier ging es nur darum zuartikulieren von wo nach wo man den Vektor zu „zeichnen“ hat.--svebert (Diskussion) 21:42, 29. Aug. 2012 (CEST)

"Offensichtlich läuft man nun kopfüber": Dazu müsste man erstmal wissen, was oben ist. Deine Formulierung passt nicht ganz zum Zitat. In dem Zitat wird gesagt, dass eine Orientierung der Randkurve gewählt wird. Du sprichst aber davon, dass man gegen den Uhrzeigersinn läuft. Es scheint damit schon von vornherein klar zu sein (ohne Auswahl), was positiv orientiert für die Randkurve bedeutet.

"und muss den Normalenvektor der eine positive Orientierung darstellt vom Kopf in Richtung Fuß malen". Eben: Man muss vorher schon festlegen, was "oben" ist. Oder man benutzt die Bedingung, dass die Fläche links liegt, um zu definieren, was "oben" bedeutet. Bei deiner Formulierung wird aber überhaupt nicht klar, was schon gegeben ist, und was dadurch dann festgelegt wird.

"a) Bitte löchrige Flächen hier ausschließen". Warum? Dazu gibt es keinen Grund, wenn man in der richtigen Reihenfolge vorgeht. Schließlich gilt der Satz von Stokes auch für "löchrige" Flächen.

"Hier ging es nur darum zuartikulieren von wo nach wo man den Vektor zu „zeichnen“ hat." Von einem Punkt der Fläche aus. Das meinte ich mit "in der Fläche". Man kann auch "auf" der Fläche sagen". Die Fläche hat keine Dicke, deshalb kann man auch beim Zeichnen den Fußpunkt nicht auf eine Seite der Fläche zeichnen.

Ich sage das nicht, um dich zu ärgern, sondern weil deine Formulierung irreführend ist. Sie suggeriert, dass der Zusammenhang zwischen "Seite" der Fläche und Normalenvektor darin besteht, wo man den Fußpunkt des Normalenvektors wählt. Er besteht aber in der Richtung des Normalenvektors. Der Normalenvektor zeigt zur ausgewählten Seite. --Digamma (Diskussion) 22:39, 29. Aug. 2012 (CEST)

Unberandete Fäche

"Flächen, die ein Volumen einschließen". Folgt man dem Link, so erfährt man, dass mit Volumen der Rauminhalt eines geometrischen Körpers (man könnte auch sagen: eines Raumbereichs, einer Teilmenge des Raums) gemeint ist. Hier wird das Wort aber für den Raumbereich selbst gebraucht. Ist das in der Physik üblich? In der Mathematik wird Volumen nur als Synonym für "Rauminhalt" benutzt. --Digamma (Diskussion) 20:41, 29. Aug. 2012 (CEST)

Man könnte auch schreiben: „unberandete Flächen sind Flächen ohne Rand“ ist dir das lieber? Ich verstehe deinen Kritikpunkt nicht. Ein Zylinder ohne Deckel schließt keinen Rauminhalt ein. Z.B. würde ich ne Wasserquelle in einen Zylinder ohne Deckel packen, so würde das Wasser rauslaufen. Dagegen passiert das bei einer Kugeloberfläche nicht.

Gefällt dir das besser: „Flächen, die ein endliches Volumen festlegen“?--svebert (Diskussion) 21:49, 29. Aug. 2012 (CEST)

Meine Kritik ist, dass "Volumen" eine Größe ist, eine Zahl mit Maßeinheit. Gemeint ist aber eine Teilmenge des Raums, ein geometrisches Objekt. --Digamma (Diskussion) 22:45, 29. Aug. 2012 (CEST)

Ergänzung: Es geht in dem Abschnitt ja nicht darum, dass die Fläche keinen Rand hat, sondern darum, dass sie den Raum in zwei Teile zerlegt, das Innere (der Teil, der von der Fläche eingeschlossen wird - dieser Teil ist beschränkt) und das Äußere (der unbeschränkte Teil). Meine Kritik hier bezog sich nur auf den m.E. falsch gebrauchten Ausdruck "Volumen". --Digamma (Diskussion) 23:02, 29. Aug. 2012 (CEST)