„Integralexponentialfunktion“ – Versionsunterschied
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In der [[Mathematik]] ist die '''Integralexponentialfunktion''' beziehungsweise das '''Exponentialintegral''' eine nicht-elementare infinitesimalanalytische Funktion. Die Ableitung der Integralexponentialfunktion ist die Kardinalische Exponentialkehrwertfunktion und somit sehr wohl elementar darstellbar. Das Exponentialintegral beschreibt die Stammfunktionen von Produkten aus Exponentialfunktionen und gebrochen rationalen Funktionen sowie die Stammfunktionen aus den Kehrwerten einiger Logarithmusfunktionen. |
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In der [[Mathematik]] ist die '''Integralexponentialfunktion''' <math>\operatorname{Ei}(x)</math> als |
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== Definition == |
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Das Exponentialintegral <math>\operatorname{Ei}(x)</math> ist über folgende Formel definiert: |
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Da <math>\tfrac 1t</math> bei <math>t=0</math> divergiert, ist das obige [[Integralrechnung|Integral]] für <math>x>0</math> als [[cauchyscher Hauptwert]] zu verstehen. |
Da <math>\tfrac 1t</math> bei <math>t=0</math> divergiert, ist das obige [[Integralrechnung|Integral]] für <math>x>0</math> als [[cauchyscher Hauptwert]] zu verstehen. |
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Die Integralexponentialfunktion hat die Reihendarstellung |
Die Integralexponentialfunktion hat die Reihendarstellung |
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:<math>\operatorname{Ei}(x) = \gamma + \ln \left|x\right| + \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k! \cdot k}\ ,</math> |
: <math>\operatorname{Ei}(x) = \gamma + \ln \left|x\right| + \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k! \cdot k}\ ,</math> |
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wobei ln der [[Natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]] und <math>\gamma</math> die [[Euler-Mascheroni-Konstante]] ist. |
wobei <math>\ln</math> der [[Natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]] und <math>\gamma</math> die [[Euler-Mascheroni-Konstante]] ist. |
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Die Integralexponentialfunktion ist eng mit dem [[Integrallogarithmus]] <math>\operatorname{li}(x)</math> verwandt, |
Die Integralexponentialfunktion ist eng mit dem [[Integrallogarithmus]] <math>\operatorname{li}(x)</math> verwandt, |
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es gilt |
es gilt |
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:<math>\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)\quad 0 < x \neq 1.</math> |
: <math>\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)\quad 0 < x \neq 1.</math> |
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== Abgewandelte Integralexponentialfunktionen == |
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Ebenfalls eng verwandt ist eine Funktion, die über einen anderen Integrationsbereich integriert: |
Ebenfalls eng verwandt ist eine Funktion, die über einen anderen Integrationsbereich integriert: |
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:<math>\operatorname |
: <math>\operatorname{E}_{1}(x) = \exp(-x)\int_{0}^{\infty} \frac{\exp(-tx)}{t+1} \,\mathrm{d}t = \int_1^\infty \frac{e^{-tx}}t\,\mathrm dt = \int_x^\infty \frac{e^{-t}}t\,\mathrm dt</math> |
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Diese Funktion kann als Erweiterung der Integralexponentialfunktion auf negative reelle Werte aufgefasst werden, da |
Diese Funktion kann als Erweiterung der Integralexponentialfunktion auf negative reelle Werte aufgefasst werden, da |
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:<math>\operatorname{Ei}(-x) = -\operatorname E_1(x).</math> |
: <math>\operatorname{Ei}(-x) = -\operatorname E_1(x).</math> |
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Die Funktion <math>\operatorname{Ein}(x)</math> ist eine [[ganze Funktion]] und ist mit dem standardisierten Exponentialintegral sehr eng verwandt: |
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Beide Funktionen können gemeinsam als [[ganze Funktion]] ausgedrückt werden: |
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:<math>\operatorname{Ein}(x) = \ |
: <math>\operatorname{Ein}(x) = \int_{0}^{1} \frac{1}{t}\bigl[1 - \exp(-tx)\bigr] \,\mathrm{d}t = \int_0^x\frac{1-e^{-t}}t\,\mathrm dt</math> |
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: <math>\operatorname{Ein}(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{x^{2n - 1}}{(2n - 1)!(2n - 1)} - \frac{x^{2n}}{(2n)!(2n)}\biggr] = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{k!k}</math> |
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Zwischen der soeben genannten ganzen Funktion und den vorher genannten Exponentialintegralausdrücken gelten diese Beziehungen: |
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Durch diese Funktion lassen sich die anderen beiden als |
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:<math>\operatorname |
: <math>\operatorname{Ei}(x) = \gamma+\ln |x| - \operatorname{Ein}(-x)</math> |
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: <math>\operatorname E_1(x) = -\gamma-\ln |x| + \operatorname{Ein}(x)</math> |
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und |
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:<math> |
: <math>E_n(x) =x^{n-1}\Gamma(1-n,x).</math> |
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Sie kann auch mit der nun folgenden Ausdrucksform verallgemeinert werden: |
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darstellen. |
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== Integralhyperbelfunktionen == |
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:<math>E_n(x) =x^{n-1}\Gamma(1-n,x).</math> |
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Durch arithmetische Mittelungen aus den Exponentialintegralausdrücken werden die '''Integralhyperbelfunktionen''' <math>\operatorname{Shi}(x)</math> und <math>\operatorname{Chi}(x)</math> gebildet: |
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: <math>\operatorname{Shi}(x) = \frac{1}{2}\operatorname{Ein}(x) - \frac{1}{2}\operatorname{Ein}(-x) </math> |
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: <math>\operatorname{Chi}(x) = \frac{1}{2}\operatorname{Ei}(x) + \frac{1}{2}\operatorname{Ei}(-x) </math> |
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: <math>\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln|x| - \frac{1}{2}\operatorname{Ein}(x) - \frac{1}{2}\operatorname{Ein}(-x) </math> |
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So lauten ihre Integraldefinitionen: |
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: <math>\operatorname{Shi}(x) = \int_{0}^{1} \frac {\sinh(tx)}{t} \,\mathrm{d}t = \int_{0}^{x} \frac {\sinh(t)}{t} \,\mathrm{d}t</math> |
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: <math>\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln|x| + \int_0^1\frac{\cosh(tx)-1}{t} \,\mathrm{d}t =</math> |
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: <math>= \gamma + \ln|x| + \int_0^x\frac{\cosh(t)-1}{t} \,\mathrm{d}t</math> |
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== Literatur == |
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Sie kann auch als |
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verallgemeinert werden. |
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== Quellen == |
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* William H. Press et al.: ''Numerical Recipes (FORTRAN)''. Cambridge University Press, New York 1989. |
* William H. Press et al.: ''Numerical Recipes (FORTRAN)''. Cambridge University Press, New York 1989. |
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* [[Milton Abramowitz]] |
* [[Milton Abramowitz]], [[Irene Stegun|Irene A. Stegun]] (Hrsg.): ''[[Abramowitz-Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]].'' Dover, New York 1972. [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_227.htm ''(Siehe Kapitel 5)''.] |
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* R. D. Misra: ''Proc. Cambridge Phil. Soc.'' Band 36, 1940, S. 173 (Bitte überprüfen! Nach JFM zweifelhaft, befremdlicher Titel: ''On the stability of crystal lattices. II'', |
* R. D. Misra: ''Proc. Cambridge Phil. Soc.'' Band 36, 1940, S. 173 (Bitte überprüfen! Nach JFM zweifelhaft, befremdlicher Titel: ''On the stability of crystal lattices. II'', S. 173–182) |
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== Weblinks == |
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* {{MathWorld |id=ExponentialIntegral |title=Exponential Integral}} |
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* {{MathWorld| |
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* [[Maxim Lwowitsch Konzewitsch]]: [https://av.tib.eu/series/45 Exponential Integral]. Vorlesungsreihe (englisch), 2015. |
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[[Kategorie:Analytische Funktion]] |
[[Kategorie:Analytische Funktion]] |
Aktuelle Version vom 18. April 2024, 00:15 Uhr
In der Mathematik ist die Integralexponentialfunktion beziehungsweise das Exponentialintegral eine nicht-elementare infinitesimalanalytische Funktion. Die Ableitung der Integralexponentialfunktion ist die Kardinalische Exponentialkehrwertfunktion und somit sehr wohl elementar darstellbar. Das Exponentialintegral beschreibt die Stammfunktionen von Produkten aus Exponentialfunktionen und gebrochen rationalen Funktionen sowie die Stammfunktionen aus den Kehrwerten einiger Logarithmusfunktionen.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Das Exponentialintegral ist über folgende Formel definiert:
Da bei divergiert, ist das obige Integral für als cauchyscher Hauptwert zu verstehen.
Die Integralexponentialfunktion hat die Reihendarstellung
wobei der natürliche Logarithmus und die Euler-Mascheroni-Konstante ist.
Die Integralexponentialfunktion ist eng mit dem Integrallogarithmus verwandt, es gilt
Abgewandelte Integralexponentialfunktionen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ebenfalls eng verwandt ist eine Funktion, die über einen anderen Integrationsbereich integriert:
Diese Funktion kann als Erweiterung der Integralexponentialfunktion auf negative reelle Werte aufgefasst werden, da
Die Funktion ist eine ganze Funktion und ist mit dem standardisierten Exponentialintegral sehr eng verwandt:
Zwischen der soeben genannten ganzen Funktion und den vorher genannten Exponentialintegralausdrücken gelten diese Beziehungen:
Die Integralexponentialfunktion ist ein Spezialfall der unvollständigen Gammafunktion:
Sie kann auch mit der nun folgenden Ausdrucksform verallgemeinert werden:
Integralhyperbelfunktionen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Durch arithmetische Mittelungen aus den Exponentialintegralausdrücken werden die Integralhyperbelfunktionen und gebildet:
So lauten ihre Integraldefinitionen:
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- William H. Press et al.: Numerical Recipes (FORTRAN). Cambridge University Press, New York 1989.
- Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (Hrsg.): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover, New York 1972. (Siehe Kapitel 5).
- R. D. Misra: Proc. Cambridge Phil. Soc. Band 36, 1940, S. 173 (Bitte überprüfen! Nach JFM zweifelhaft, befremdlicher Titel: On the stability of crystal lattices. II, S. 173–182)
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Eric W. Weisstein: Exponential Integral. In: MathWorld (englisch).
- Eric W. Weisstein: En-Function. In: MathWorld (englisch).
- Maxim Lwowitsch Konzewitsch: Exponential Integral. Vorlesungsreihe (englisch), 2015.