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Aktuelle Version vom 19. Mai 2024, 19:18 Uhr

Der Begriff gute Primzahl wird in der Mathematik in unterschiedlichen Bedeutungen verwendet. Die häufigsten Verwendungen beziehen sich auf den Vergleich einer Primzahl mit geeigneten Mittelwerten von Primzahlen aus der Umgebung.

Definition nach Erdős und Straus

Die n-te Primzahl $p_{n}$ heißt gut, falls für alle Paare von Primzahlen $p_{n-i}$ und $p_{n+i}$ , wobei $i$ von 1 bis $n-1$ geht, gilt:

p_{n}^{2}\;>\;p_{n-i}\cdot p_{n+i}.

Es gibt unendlich viele gute Primzahlen. Die ersten lauten

5, 11, 17, 29, 37, 41, 53, 59, 67, 71, 97, … (Folge A028388 in OEIS)

Diese Definition geht auf Paul Erdős und Ernst Gabor Straus zurück.^[1]

Beispiele

Beispiel 1:

Es soll geprüft werden, ob 11 eine gute Primzahl ist.

11 ist die 5. Primzahl: $2,3,5,7,\mathbf {11} ,13,17,19,23$ . Also ist zu prüfen:

11^{2}=121>7\cdot 13=91

11^{2}=121>5\cdot 17=85

11^{2}=121>3\cdot 19=57

11^{2}=121>2\cdot 23=46

Also ist 11 eine gute Primzahl.

Beispiel 2:

Es soll geprüft werden, ob 13 eine gute Primzahl ist.

13 ist die 6. Primzahl: $2,3,5,7,11,\mathbf {13} ,17,19,23,29,31$ . Da

13^{2}=169<11\cdot 17=187

,

gilt nicht $13=p_{6}^{2}>p_{5}\cdot p_{7}$ . Daher ist 13 keine gute Primzahl.

Abgeschwächte Definition

Eine Primzahl heißt gut, wenn sie größer ist als das geometrische Mittel des unmittelbar benachbarten Primzahlpaares.

Die n-te Primzahl $p_{n}$ also heißt gut, falls

p_{n}^{2}\;>\;p_{n-1}\cdot p_{n+1}

.

Auch nach dieser Definition gibt es unendlich viele gute Primzahlen, die ersten davon lauten

5, 11, 17, 29, 37, 41, 53, 59, 67, 71, 79, 97, 101, … (Folge A046869 in OEIS)

Beispiel

Die 79 ist in diesem Sinne eine gute Primzahl, weil

79^{2}=6241>73\cdot 83=6059

.

Sie ist aber keine gute Primzahl im ersten Sinne, weil für das vorhergehende Primzahlpaar gilt

79^{2}=6241<71\cdot 89=6319

.

Weblinks

Eric W. Weisstein: Good Prime. In: MathWorld (englisch).
Folge A028388 in OEIS: Liste der ersten 10000 guten Primzahlen (im ersten Sinn) auf On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Folge A046869 in OEIS: Liste der ersten 10000 guten Primzahlen (im zweiten Sinn) auf On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Einzelnachweise

↑ Richard Kenneth Guy: Good Primes and the Prime Number Graph. In: Unsolved Problems in Number Theory. 2. Auflage. Springer, New York 1994, S. 32 f, §A14. (Google books)

[1] Richard Kenneth Guy: Good Primes and the Prime Number Graph. In: Unsolved Problems in Number Theory. 2. Auflage. Springer, New York 1994, S. 32 f, §A14. (Google books)

[1]

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
+Der Begriff '''gute Primzahl''' wird in der Mathematik in unterschiedlichen Bedeutungen verwendet. Die häufigsten Verwendungen beziehen sich auf den Vergleich einer [[Primzahl]] mit geeigneten Mittelwerten von Primzahlen aus der Umgebung.
-Eine '''gute Primzahl''' hat 2 Definitionen:
-== 1. Definition ==
+== Definition nach Erdős und Straus ==
+Die n-te Primzahl <math>p_n</math> heißt gut, falls für alle Paare von Primzahlen <math>p_{n-i}</math> und <math>p_{n+i}</math>, wobei <math>i</math> von 1 bis <math>n-1</math> geht, gilt:
-Eine '''gute Primzahl''' ist eine [[Primzahl]], deren [[Quadrat_(Arithmetik)|Quadrat]] größer ist als das [[Produkt_(Mathematik)|Produkt]] von je zwei Primzahlen, dessen 1. [[Multiplikation|Faktor]] um i Folgeglieder vor und der 2. Faktor um i Folgeglieder hinter der Primzahl in einer Folge von Primzahlen steht.<br>
+:<math> p_n^2 \;>\; p_{n-i}\cdot p_{n+i}. </math>
-Mathematisch formuliert heißt das, dass eine Primzahl gut ist, wenn
+Es gibt unendlich viele gute Primzahlen. Die ersten lauten
+: 5, 11, 17, 29, 37, 41, 53, 59, 67, 71, 97, … ({{OEIS|A028388}})
-:<math>p_n^2>p_{(n-i)} \cdot p_{(n+i)}</math>
+Diese Definition geht auf [[Paul Erdős]] und [[Ernst Gabor Straus]] zurück.<ref>[[Richard Kenneth Guy]]: ''Good Primes and the Prime Number Graph.'' In: ''Unsolved Problems in Number Theory.'' 2. Auflage. Springer, New York 1994, S. 32 f, §A14. ([https://books.google.de/books?id=1AP2CEGxTkgC&pg=PA54&dq=%22good+prime%22&hl=de#v=onepage&q=%22good%20prime%22&f=false Google books])</ref>
-für alle <math>1 \leq i \leq n-1</math>, wobei <math>p_n</math> für die n-te Primzahl steht. Es gibt unendlich viele gute Primzahlen.
 === Beispiele ===
+'''Beispiel 1:'''
 Es soll geprüft werden, ob 11 eine gute Primzahl ist.
-ist die 5. Primzahl: <math>2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23</math>.
+ist die 5. Primzahl: <math>2, 3, 5, 7, \mathbf{11}, 13, 17, 19, 23</math>.
 Also ist zu prüfen:
-:<math>11^2 = 121 > 7 \cdot 13 = 91</math>
+: <math>11^2 = 121 > 7 \cdot 13 = 91</math>
-:<math>11^2 = 121 > 5 \cdot 17 = 85</math>
+: <math>11^2 = 121 > 5 \cdot 17 = 85</math>
-:<math>11^2 = 121 > 3 \cdot 19 = 57</math>
+: <math>11^2 = 121 > 3 \cdot 19 = 57</math>
-:<math>11^2 = 121 > 2 \cdot 23 = 46</math>
+: <math>11^2 = 121 > 2 \cdot 23 = 46</math>
 Also ist 11 eine gute Primzahl.
+'''Beispiel 2:'''
-Es soll geprüft werden, ob 13 eine gute Primzahl ist. 13 ist die 6. Primzahl: <math>2, 3, 5, 7, 11, 13, 17</math>.
-Also ist zu prüfen:
+Es soll geprüft werden, ob 13 eine gute Primzahl ist.
-:<math>13^2 = 169 < 11 \cdot 17 = 187</math>
-Damit ist klar, dass 13 '''keine''' gute Primzahl ist.
+ist die 6. Primzahl: <math>2, 3, 5, 7, 11, \mathbf{13}, 17, 19, 23, 29, 31</math>.
+Da
+: <math>13^2 = 169 < 11 \cdot 17 = 187</math>,
+gilt nicht <math>13 = p_6^2 > p_5\cdot p_7</math>.
+Daher ist 13 ''keine'' gute Primzahl.
+== Abgeschwächte Definition ==
+Eine Primzahl heißt gut, wenn sie größer ist als das geometrische Mittel des unmittelbar benachbarten Primzahlpaares.
+Die n-te Primzahl <math>p_n</math> also heißt gut, falls
+: <math> p_n^2 \;>\; p_{n-1}\cdot p_{n+1}</math>.
+Auch nach dieser Definition gibt es unendlich viele gute Primzahlen, die ersten davon lauten
+: 5, 11, 17, 29, 37, 41, 53, 59, 67, 71, 79, 97, 101, … ({{OEIS|A046869}})
+=== Beispiel ===
+Die 79 ist in diesem Sinne eine gute Primzahl, weil
+: <math>79^2 = 6241 > 73 \cdot 83 = 6059</math>.
+Sie ist aber keine gute Primzahl im ersten Sinne, weil für das vorhergehende Primzahlpaar gilt
-=== Externe Links ===
-* {{OEIS|A028388}}
-* {{MathWorld|title=Good Prime|urlname=GoodPrime}}
-* [http://www.research.att.com/~njas/sequences/b028388.txt Die ersten 10000 guten Primzahlen auf On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
+: <math>79^2 = 6241 < 71 \cdot 89 = 6319</math>.
-== 2. Definition ==
-Eine '''gute Primzahl''' ist eine [[Primzahl]], deren [[Quadrat_(Arithmetik)|Quadrat]] größer ist als das [[Produkt_(Mathematik)|Produkt]] von je zwei Primzahlen, dessen 1. [[Multiplikation|Faktor]] um 1 Folgeglied vor und der 2. Faktor um 1 Folgeglied hinter der Primzahl in einer Folge von Primzahlen steht.<br>
-Mathematisch formuliert heißt das, dass eine Primzahl gut ist, wenn
+== Weblinks ==
-:<math>p_n^2>p_{(n-1)} \cdot p_{(n+1)}</math>
+* {{MathWorld |id=GoodPrime |title=Good Prime}}
+* {{OEIS|A028388}}: Liste der ersten 10000 guten Primzahlen (im ersten Sinn) auf ''On-Line Encyclopedia of Integer Sequences''
+* {{OEIS|A046869}}: Liste der ersten 10000 guten Primzahlen (im zweiten Sinn) auf ''On-Line Encyclopedia of Integer Sequences''
-=== Externe Links ===
+== Einzelnachweise ==
+<references />
-* {{OEIS|A046869}}
-* [http://www.research.att.com/~njas/sequences/b046869.txt Die ersten 10000 guten Primzahlen auf On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
+{{Navigationsleiste Primzahlklassen}}
-[[en:Good prime]]
+[[Kategorie:Ganzzahlmenge]]
 [[Kategorie:Primzahl]]
-[[Kategorie:Zahl]]
+[[Kategorie:Zahlentheorie]]
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