Modularitätssatz

Das Taniyama-Shimura-Theorem ist ein mathematischer Satz, der besagt, dass es zwischen elliptischen Kurven und Modulformen eine enge Verbindung gibt. Das Theorem war lange Zeit als Taniyama-Shimura-Vermutung bekannt, bis es von Andrew Wiles, Robert Langlands, Richard Taylor und anderen bewiesen wurde. Die Taniyama-Shimura-Vermutung hängt, wie Gerhard Frey behauptete und Ken Ribet bewies, mit Fermats letztem Satz zusammen.

Die Aussage, dass es eine Verbindung zwischen Modulformen und elliptischen Kurven gibt, wurde 1957 von Yutaka Taniyama und Goro Shimura aufgestellt, aber nicht bewiesen, und geht auf eine (unzutreffende) Vermutung von Taniyama aus dem Jahr 1955 zurück. 1995 wurde sie von Wiles und Taylor für eine bestimmte Menge elliptischer Kurven bewiesen, die ausreichte, um das große fermatsche Theorem zu beweisen. 1999 verallgemeinerten Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond und Richard Taylor den Beweis und konnten so zeigen, dass die Vermutung auch auf alle anderen elliptischen Kurven zutrifft.

Skizzierung des Zusammenhangs zwischen Taniyama-Shimura und Fermat

Fermats letzter Satz sagt aus, dass es keine positiven ganzzahligen Lösungen der Gleichung $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ für n größer als 2 gibt. Seit der franzözische Mathematiker Pierre de Fermat 1637 behauptet hatte, einen Beweis für diese Aussage gefunden zu haben - ohne diesen jedoch anzugeben oder in seinen schriftlichen Aufzeichnungen zu hinterlassen - haben Mathematiker einen Beweis für diesen Satz gesucht.

Der Bonner Mathematiker Gerhard Frey konnte 1983 zeigen, dass sich ein Zusammenhang zwischen Fermats letztem Satz und der Taniyama-Shimura-Vermutung konstruieren lässt. Nimmt man an, dass Fermats letzter Satz falsch ist und es tatsächlich Lösungen der Gleichung $a^{p}+b^{p}=c^{p}$ gibt, so lässt sich daraus eine elliptische Gleichung $y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p})$ konstruieren, die nicht modular sein kann (der Beweis, dass diese Gleichung nicht modular ist, wurde von Ken Ribet geführt). Mit anderen Worten: wenn Fermats letzter Satz falsch ist, so auch die Taniyama-Shimura-Vermutung; ist die Taniyama-Shimura-Vermutung hingegen richtig, so muss auch Fermats letzter Satz richtig sein.

Dieser Zusammenhang versetzte Wiles in die Lage, einen Beweis für den großen fermatschen Satz anzugehen - ein Unterfangen, das sich bis dahin jedem anderen Zugang widersetzt hatte.

Bedeutung für die Mathematik

Das Taniyama-Shimura-Theorem ist ein Beispiel für die Vereinheitlichung der Mathematik; darunter wird die Etablierung von Zusammenhängen zwischen vormals als völlig verschieden betrachteten Gebieten der Mathematik verstanden, die Mathematiker in die Lage versetzt, Probleme, die in einem Gebiet nicht lösbar sind, in ein äquivalentes Problem eines anderen Gebietes zu übersetzen und dort ggf. zu lösen.

Quellenangaben

Der Beweis von Wiles und Taylor kann unter folgenden Adressen abgerufen:

• Andrew Wiles: Modular Elliptic Curves and Fermat's last theorem. Annals of Mathematics 141 (1995), 443–551
• Richard Taylor, Andrew Wiles: Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras. Annals of Mathematics 141 (1995), 553–572.

Literaturhinweise

Eine populärwissenschaftliche Erklärung der Taniyama-Shimura-Vermutung findet sich in Simon Singh: Fermats letzter Satz – Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels. ISBN 342333052X sowie in Simon Singh und Kenneth Ribet: Die Lösung des Fermatschen Rätsels, Spektrum der Wissenschaft 1/98, Seite 96 ff. ISSN 0170-2971 .