Homotopieäquivalenz

Eine Homotopieäquivalenz ist ein zentraler Begriff im mathematischen Teilgebiet Topologie: eine stetige Abbildung zwischen zwei Objekten, die eine "Umkehrabbildung bis auf Homotopie" besitzt.

Zwei Räume heißen homotopieäquivalent, wenn es eine Homotopieäquivalenz zwischen ihnen gibt. Homotopieäquivalenz definiert eine schwächere Äquivalenzrelation als Homöomorphismus. Topologie handelt zwar eigentlich von Eigenschaften, die unter Homöomorphismen invariant sind, viele topologische Invarianten sind aber auch invariant unter Homotopieäquivalenz.

Während man sich einen Homöomorphismus als Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren, Verdrillen (aber nicht Zerschneiden) vorstellt, ist bei Homotopieäquivalenzen anschaulich gesprochen auch das Aufdicken und Zusammenquetschen zulässig.

Definition

Eine stetige Abbildung $f:X\to Y$ zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$ ist eine Homotopieäquivalenz, wenn es eine stetige Abbildung $g:Y\to X$ gibt, so dass die Verknüpfungen $g\circ f$ und $f\circ g$ jeweils homotop zu den Identitätsabbildungen von $X$ bzw. $Y$ sind. Die Abbildung $g$ heißt Homotopie-Inverse von $f$, sie ist i.A. nicht eindeutig bestimmt.

Zwei topologische Räume $X$ und $Y$ heißen homotopieäquivalent, wenn es eine Homotopieäquivalenz $f:X\to Y$ gibt.

Spezialfälle

Die schwarzen Unterräume sind jeweils Deformationsretrakte.

• Jeder Homöomorphismus ist eine Homotopieäquivalenz.
• Ein Unterraum $A\subset X$ ist ein Deformationsretrakt von $X$, wenn die Inklusion $i:A\rightarrow X$ eine Homotopieäquivalenz ist und es eine Homotopie-Inverse $r:X\rightarrow A$ mit $r\circ i=id_{A}$ gibt.

Schwache Homotopieäquivalenz

Seien $X$ und $Y$ topologische Räume, $x\in X$ und $y\in Y$, und sei

$f:X\to Y$

eine stetige Abbildung mit $f(x)=y$. Dann hat man für alle n ≥ 0 einen Homomorphismus der Homotopiegruppen

$f_{n}:\pi _{n}(X,x)\to \pi _{n}(Y,y).$

$f$ heißt schwache Homotopieäquivalenz wenn alle $f_{n}$ Isomorphismen sind.

Zwei topologische Räume $X$ und $Y$ heißen schwach homotopieäquivalent, wenn es eine schwache Homotopieäquivalenz $f:X\to Y$ gibt.

Kettenhomotopieäquivalenz

Zwei Kettenkomplexe $A_{\bullet },d_{A,\bullet })$ und $(B_{\bullet },d_{B,\bullet })$ heißen kettenhomotopieäquivalent, wenn es Kettenhomomorphismen

$f_{\bullet }:(A_{\bullet },d_{A,\bullet })\to (B_{\bullet },d_{B,\bullet }),g_{\bullet }:(B_{\bullet },d_{B,\bullet })\to (A_{\bullet },d_{A,\bullet })$

gibt, so dass $f\circ g$ und $g\circ f$ kettenhomotop zu den Identitäts-Abbildungen sind.

Eine Kettenhomotopieäquivalenz zwischen zwei Kettenkomplexen induziert einen Isomorphismus der Homologiegruppen.

Eine Homotopieäquivalen zwischen topologischen Räumen induziert eine Kettenhomotopieäquivalenz ihrer singulären Kettenkomplexe.