Homotopieäquivalenz
Eine Homotopieäquivalenz ist ein zentraler Begriff im mathematischen Teilgebiet Topologie: eine stetige Abbildung zwischen zwei Objekten, die eine "Umkehrabbildung bis auf Homotopie" besitzt.
Zwei Räume heißen homotopieäquivalent, wenn es eine Homotopieäquivalenz zwischen ihnen gibt. Homotopieäquivalenz definiert eine schwächere Äquivalenzrelation als Homöomorphismus. Topologie handelt zwar eigentlich von Eigenschaften, die unter Homöomorphismen invariant sind, viele topologische Invarianten sind aber auch invariant unter Homotopieäquivalenz.
Während man sich einen Homöomorphismus als Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren, Verdrillen (aber nicht Zerschneiden) vorstellt, ist bei Homotopieäquivalenzen anschaulich gesprochen auch das Aufdicken und Zusammenquetschen zulässig.
Definition
Eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und ist eine Homotopieäquivalenz, wenn es eine stetige Abbildung gibt, so dass die Verknüpfungen und jeweils homotop zu den Identitätsabbildungen von bzw. sind. Die Abbildung heißt Homotopie-Inverse von , sie ist i.A. nicht eindeutig bestimmt.
Zwei topologische Räume und heißen homotopieäquivalent, wenn es eine Homotopieäquivalenz gibt.
Spezialfälle
- Jeder Homöomorphismus ist eine Homotopieäquivalenz.
- Ein Unterraum ist ein Deformationsretrakt von , wenn die Inklusion eine Homotopieäquivalenz ist und es eine Homotopie-Inverse mit gibt.
- Ein topologischer Raum heißt kontrahierbar, wenn er homotopieäquivalent zum Punkt ist.
Schwache Homotopieäquivalenz
Seien und topologische Räume, und , und sei
eine stetige Abbildung mit . Dann hat man für alle n ≥ 0 einen Homomorphismus der Homotopiegruppen
heißt schwache Homotopieäquivalenz wenn alle Isomorphismen sind.
Zwei topologische Räume und heißen schwach homotopieäquivalent, wenn es eine schwache Homotopieäquivalenz gibt.
Satz von Whitehead
J. H. C. Whitehead bewies 1949 folgenden Satz:
- Jede schwache Homotopieäquivalenz zwischen zusammenhängenden CW-Komplexen ist eine Homotopieäquivalenz.
Es trifft jedoch nicht zu, dass es zwischen Räumen mit isomorphen Homotopiegruppen immer eine (schwache) Homotopieäquivalenz gibt. Zum Beispiel sind und zusammenhängende CW-Komplexe mit isomorphen Homotopiegruppen. Falls zum Beispiel ungerade und gerade ist, ist aber und , weshalb die beiden Räume nicht (schwach) homotopieäquivalent sein können.
Kettenhomotopieäquivalenz
Zwei Kettenkomplexe und heißen kettenhomotopieäquivalent, wenn es Kettenhomomorphismen
gibt, so dass und kettenhomotop zu den Identitäts-Abbildungen sind.
Eine Kettenhomotopieäquivalenz zwischen zwei Kettenkomplexen induziert einen Isomorphismus der Homologiegruppen.
Eine Homotopieäquivalen zwischen topologischen Räumen induziert eine Kettenhomotopieäquivalenz ihrer singulären Kettenkomplexe.