Kundtsches Staubrohr

Physikalische Grundlagen

Das Kundtsche Rohr erlaubt es, stehende Schallwellen in einem einseitig offenen Glasror sichtbar zu machen. In dem Rohr enthaltene Bärlappsporen (oder Korkmehl) werden durch die intensive Schallwelle bewegt und sammeln sich an Stellen, bei denen die Schallschnelle (Die Auslenkungsgeschwindigkeit oder Zeitableitung der Auslenkung) der Schallwellen am kleinsten ist. Dadurch werden die Schnelleknoten und Schnellebäuche der Schallwellen sichtbar. Bärlappsporen geben u.U. ein besseres Bild ab, da sie leichter und kleiner sind.

Damit Resonanz (Physik), d.h. eine stehende Welle auftritt, muss die Länge des Rohres durch einen Stempel, der von der einen Seite in das Rohr geschoben werden kann, eingestellt werden.

Schematische Darstellung des Kundtschen Rohres

Um herzuleiten, wann im Kundtschen Rohr eine stehende Welle ensteht, wird die Schnellewelle des Schalls betrachtet. Das eine Ende des luftgefüllten Glasrohrs ist durch einen Stempel geschlossen, das andere Ende ist offen. Vor dem offenen Ende befindet sich die Schallquelle, ein sehr starker Lautsprecher. Am offenen Ende hat die Schnelle einen Wellenbauch, das heißt maximale Auslenkung, weil das offene Ende mitschwingt. Die Membran des Lautsprechers schwingt im Gleichtakt mit den ankommenden Schallwellen. An dem geschlossenen festen Ende muss sich dagegen ein Knoten der Schnellewelle befindem, weil das Ende starr ist und somit nicht mitschwingt.

Auf diesen Voraussetzungen resultiert, dass für eine gegebene Wellenlänge $\lambda$ nur bestimmte Rohrlängen in Frage kommen, bei denen Resonanz auftritt. Die Länge des Rohres $l$ muss ein Vielfaches von halben Wellenlängen $\lambda /2$ minus einer Viertelswellenlänge $\lambda /4$ sein. Damit ergibt sich für $l$:

$l=k\cdot {\frac {\lambda _{k}}{2}}-{\frac {\lambda _{k}}{4}},\quad \quad k\in \mathbb {N} \backslash \{0\}$

$l=(2k-1)\cdot {\frac {\lambda _{k}}{4}}$

Durch Einsetzen von $\lambda _{k}={\frac {c}{f_{k}}}$ mit der Schallgeschwindigkeit $c$ und Auflösen nach der Resonanzfrequenz $f_{k}$ ergibt sich:

$f_{k}=(2k-1)\cdot {\frac {c}{4l}}$

Für die Schwingungen $f_{k}$ tritt Resonanz auf. Die Frequenz $f_{1}$ nennt man Grundschwingung, die weiteren Frequenzen für $k>1$ 1. Harmonische, 2. Harmonische, usw.

Messung der Schallgeschwindigkeit in Luft

Da mit Hilfe des Kundtschen Rohres Schallwellen sichtbar gemacht werden können, kann damit die Schallgeschwindigkeit gemessen werden. Es ergibt sich aus der vorherigen Gleichung

$c={\frac {f\cdot 4l_{k}}{2k-1}}$

In der Gleichung wurde $f_{k}$ durch $f$ und $l$ durch $l_{k}$ ersetzt, da wir bei der Schallgeschwindigkeitsmessung die Länge des Rohres $l$ bei konstanter Frequenz variieren. $k$ kann durch Zählen der Wellenberge bestimmt werden. Da diese aber unter Umständen nicht gut zu erkennen sind, bietet sich ein rechnerisches Vorgehen an. Die Gleichung muss für zwei aufeinander folgenden Resonanzen bei gleicher Frequenz gleichgesetzt werden, um $k$ zu bestimmen.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \frac{f \cdot 4l_k}{2k - 1} = \frac{f \cdot 4{l_k+1}}{2k + 1} }

$k={\frac {l_{k+1}+l_{k}}{2\left(l_{k+1}-l_{k}\right)}}$

Durch Messen von $l_{k}$ und $l_{k+1}$ kann $k$ bestimmt werden. Einsetzen von $k$ und der gegebenen Frequenz $f$ in die Gleichung für die Schallgeschwindigkeit liefert diese schließlich.