Integralexponentialfunktion

In der Mathematik ist die Integralexponentialfunktion $\operatorname {Ei} (x)$ als

{\mbox{Ei}}(x)=\int _{\infty }^{x}{\frac {e^{-t}}{t}}\mathrm {d} t\quad x>0

definiert.

Da ${\frac {1}{t}}$ bei $t=0$ divergiert, ist das obige Integral als Cauchyscher Hauptwert zu verstehen.

Die Integralexponentialfunktion hat die folgende Reihendarstellung:

{\mbox{Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!k}}\,,

Die Integralexponentialfunktion ist eng mit dem Integrallogarithmus $\operatorname {li} (x)$ verwandt, es gilt:

\operatorname {li} (x)=\operatorname {Ei} (\ln(x))\quad x>1

Ebenfalls eng verwandt ist eine Funktion, die über einen anderen Integrationsbereich integriert:

{\rm {E}}_{1}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tx}}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\mathrm {d} t.

Diese Funktion kann als Erweiterung der Integralexponentialfunktion auf negative reelle Werte aufgefasst werden, da

{\rm {Ei}}(-x)=-{\rm {E}}_{1}(x).\,

Beide Funktionen können gemeinsam als Ganze Funktion ausgedrückt werden:

{\rm {Ein}}(x)=\int _{0}^{x}(1-e^{-t}){\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k!k}}

.

Durch diese Funktion lassen sich die anderen beiden als

{\rm {E}}_{1}(x)\,=\,-\gamma -\ln x+{\rm {Ein}}(x)

und

{\rm {Ei}}(x)\,=\,\gamma +\ln x-{\rm {Ein}}(-x).

darstellen.

Die Integralexponentialfunktion ist Spezialfall der unvollständigen Gammafunktion:

E_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x)

Sie kann auch als

E_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,dt\quad \Re (x)>0

verallgemeinert werden.

Quellen

Press, William H. et al. Numerical Recipes (FORTRAN). Cambridge University Press, New York: 1989.
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (Siehe Kapitel 5)