Επεξεργασία σήματος

Ως επεξεργασία σήματος ορίζουμε την ανάλυση και τον χειρισμό σημάτων, όπου ως σήμα ορίζεται οποιαδήποτε συνάρτηση μεταξύ φυσικών ποσοτήτων. Η επεξεργασία σήματος είναι ουσιαστικώς ένα διεπιστημονικό γνωστικό πεδίο, ορισμένο με αυστηρά μαθηματικά και με τις δικές του μεθοδολογίες και ορολογία. Οι εφαρμογές του είναι πάρα πολλές στις τεχνολογικές επιστήμες και βρίσκεται στη βάση τομέων όπως οι τηλεπικοινωνίες, ο αυτοματισμός, η επεξεργασία εικόνας, βίντεο και ήχου, η συμπίεση δεδομένων κλπ. Σε συστήματα τηλεπικοινωνιών, επεξεργασία σήματος λαμβάνει χώρα μόνο στο πρώτο επίπεδο του μοντέλου αναφοράς OSI, το φυσικό επίπεδο, και προαιρετικά στο έκτο και έβδομο επίπεδο του ίδιου μοντέλου.

Δειγματοληψία και ψηφιοποίηση αναλογικού σήματος

Σήματα και συστήματα

Ως σήμα ορίζουμε τις τιμές που λαμβάνει μία ποσότητα y (εξαρτημένη μεταβλητή) η οποία μεταβάλλεται συναρτήσει μίας άλλης ποσότητας x (ανεξάρτητη μεταβλητή). Αν οι ποσότητες x και y λαμβάνουν συνεχείς τιμές (π.χ. από το κλειστό πραγματικό διάστημα [0,+100]) τότε το σήμα είναι μία συνάρτηση y(x) και χαρακτηρίζεται αναλογικό. Αν η ποσότητα y λαμβάνει συνεχείς τιμές αλλά η ποσότητα x μόνο διακριτές τιμές (π.χ. από το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών) τότε το σήμα λέγεται διακριτού χρόνου και πρόκειται για μία ακολουθία y[n], ενώ αν τα x και y λαμβάνουν διακριτές τιμές έχουμε πάλι ακολουθία y[n] και το σήμα λέγεται ψηφιακό. Ένα ψηφιακό σήμα μπορεί να προκύψει από ένα αναλογικό σήμα, μέσω μίας διεργασίας γνωστής ως δειγματοληψίας, π.χ. με στόχο το σήμα να αποθηκευτεί και να υποστεί επεξεργασία σε έναν ψηφιακό ηλεκτρονικό υπολογιστή.

Ορισμένα παραδείγματα:

• Η τιμή της τάσης μεταξύ των οπλισμών ενός πυκνωτή σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα συναρτήσει του χρόνου, καθώς ο πυκνωτής φορτίζεται και μετά εκφορτίζεται, είναι αναλογικό σήμα.
• Η τιμή του πληθωρισμού στην οικονομία μίας χώρας κατά τη διάρκεια ενός έτους, μετρημένη σε κάθε μήνα, είναι σήμα διακριτού χρόνου όπου πεδίο ορισμού είναι οι ακέραιοι 1-12.
• Οι τιμές λαμπρότητας κάθε πίξελ σε μία ασπρόμαυρη ψηφιακή εικόνα είναι ψηφιακό σήμα, με πεδίο τιμών π.χ. 1-256 (αν για κάθε πίξελ αποθηκεύεται ένα byte) και πεδίο ορισμού το σύνολο φυσικών 1-Μ*Ν, όπου ΜxΝ η ανάλυση της εικόνας.

Σύστημα είναι οτιδήποτε δέχεται ως είσοδο ένα σήμα και παράγει ως έξοδο ένα άλλο σήμα. Μαθηματικά είναι ένας μετασχηματισμός που αντιστοιχίζει σε μία συνάρτηση y(x), ή σε μία ακολουθία y[n], κάποια άλλη συνάρτηση y'(x), ή ακολουθία y'[n]. Τα συστήματα διακρίνονται επίσης σε αναλογικά, διακριτού χρόνου και ψηφιακά, ανάλογα με τους τύπους σημάτων που δέχονται ως είσοδο και παράγουν ως έξοδο, ενώ υπάρχουν και υβριδικά. Π.χ. σύστημα είναι μία υπορουτίνα κάποιου προγράμματος επεξεργασίας εικόνας σε υπολογιστή, ένα ηλεκτρικό κύκλωμα που δέχεται μία τάση στα άκρα του και παράγει τάση σε έναν πυκνωτή ή ένα διαστημόπλοιο στο οποίο ασκούνται δυνάμεις (σήμα εισόδου) και αυτό ακολουθεί ανάλογη τροχιά (σήμα εξόδου). Τα σήματα και τα συστήματα είναι οι δύο όψεις του ίδιου νομίσματος καθώς μπορούμε να φερθούμε σε ένα σήμα ως έξοδο κάποιου γνωστού συστήματος ή να χαρακτηρίσουμε πλήρως ένα σύστημα μελετώντας την έξοδό του για δεδομένη είσοδο.

Τα συστήματα χωρίζονται σε κατηγορίες με βάση διάφορα κριτήρια:

• Γραμμικά συστήματα και μη γραμμικά συστήματα, όπου στα γραμμικά η έξοδος ενός γραμμικού συνδυασμού επιμέρους εισόδων ισούται με τον γραμμικό συνδυασμό των αντίστοιχων επιμέρους εξόδων (για σύστημα F ισχύει F(k₁x₁(t)+k₂x₂(t)) = k₁F(x₁(t))+k₂F(x₂(t)))
• Χρονικά αμετάβλητα και χρονικά μεταβλητά, όπου στα χρονικά αμετάβλητα η μόνη επίπτωση μίας ολίσθησης προς τα δεξιά της εισόδου είναι μία ίδια ολίσθηση της εξόδου (αν F(x(t)) = y(t), τότε F(x(t+s)) = y(t+s))
• Στατικά και δυναμικά (ή με μνήμη) συστήματα, όπου στα στατικά η έξοδος σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της εξαρτάται μόνο από την τιμή της εισόδου στο ίδιο σημείο, ενώ στα δυναμικά εξαρτάται και από άλλες τιμές της εισόδου.
  • Τα δυναμικά συστήματα υποδιαιρούνται σε αιτιατά, όπου η έξοδος σε κάθε σημείο επηρεάζεται μόνο από την τρέχουσα και από προηγούμενες τιμές της εισόδου, και σε μη αιτιατά, όπου η έξοδος σε κάθε σημείο επηρεάζεται επιπλέον και από μελλοντικές τιμές της εισόδου.

Η γραμμικότητα ενός συστήματος συνεπάγεται ότι δύο διαφορετικά σήματα μπορούν να διέλθουν μέσα από το σύστημα ταυτοχρόνως χωρίς να επηρεάζουν το ένα το άλλο, επομένως στην ολική έξοδο συμμετέχουν αθροιζόμενες οι έξοδοι των επιμέρους σημάτων, υπολογισμένες σαν τα τελευταία να διήλθαν μόνα τους απ' το σύστημα. Η χρονική ανεξαρτησία σημαίνει ότι τα χαρακτηριστικά του συστήματος δεν μεταβάλλονται καθώς αλλάζει τιμή η ανεξάρτητη μεταβλητή (συνήθως ο χρόνος), ενώ τα μη αιτιατά συστήματα δεν είναι ρεαλιστικά καθώς δεν δύνανται να λειτουργήσουν σε πραγματικό χρόνο και συνήθως χρησιμοποιούνται μόνο για μοντελοποίηση προσομοιώσεων ή επεξεργασία αποθηκευμένων δεδομένων. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό των γραμμικών συστημάτων είναι ότι αν η είσοδος είναι ένα απλό ημιτονοειδές σήμα, τότε η έξοδος είναι ένα ημίτονο ίδιας συχνότητας αλλά με τροποποιημένο πλάτος και φάση.

Χειρισμός σημάτων

Τα πιο ενδιαφέροντα συστήματα είναι τα γραμμικά και χρονικά αμετάβλητα (ΓΧΑ), τα οποία ευτυχώς μοντελοποιούν ευρύ πλήθος πραγματικών συστημάτων. Η καρδιά της επεξεργασίας σήματος είναι η έννοια της υπέρθεσης που ισχύει στα ΓΧΑ συστήματα. Ο μόνος τρόπος να συνδυαστούν διαφορετικά σήματα σε ένα κοινό, σύνθετο σήμα είναι (λόγω της γραμμικότητας) με πρόσθεση των επιμέρους σημάτων, όπου το κάθε σήμα όμως μπορεί να είναι πολλαπλασιασμένο επί μία σταθερά. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται σύνθεση και το τελικό σήμα λέγεται υπέρθεση των αρχικών. Η αντίστροφη διαδικασία ονομάζεται ανάλυση, όπου ξεκινώντας από μία υπέρθεση καταλήγουμε σε επιμέρους σήματα. Έστω λοιπόν ένα ΓΧΑ σύστημα, ένα σήμα εισόδου x(t) και ένα σήμα εξόδου y(t). Αν αναλύσουμε το σήμα εισόδου σε επιμέρους σήματα, περάσουμε το καθένα από αυτά μέσα από το σύστημα και προσθέσουμε τις επιμέρους εξόδους, το τελικό αποτέλεσμα ισούται με το σήμα εξόδου y(t). Αυτή η διαδικασία βρίσκεται στο επίκεντρο της επεξεργασίας σήματος καθώς απλοποιεί κατά πολύ την εύρεση της εξόδου ενός συστήματος για δεδομένη είσοδο.

Η κρουστική απόκριση ενός συστήματος σε τρεις εκδοχές: μία κανονική, μία με ενισχυμένες τις υψηλές της συχνότητες και μία με ενισχυμένες τις χαμηλές της συχνότητες

Δύο τρόποι ανάλυσης είναι ευρέως διαδεδομένοι: η κρουστική ανάλυση και η ανάλυση Φουριέ. Στην κρουστική ανάλυση διασπούμε το σήμα σε ελάχιστης διάρκειας (απειροελάχιστες και άπειρες σε πλήθος για αναλογικά σήματα) «ωθήσεις», δηλαδή στιγμιαία σήματα που το καθένα βρίσκεται σε διαφορετικό σημείο του πεδίου ορισμού και έχει το πλάτος του ολικού σήματος στο σημείο εκείνο. Για την ακρίβεια στα αναλογικά σήματα η ώθηση έχει άπειρο πλάτος, μηδενικό εύρος και εμβαδόν της περιοχής που σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα ίσο με το ζητούμενο πλάτος (καμία πραγματική συνάρτηση δεν καλύπτεται από αυτές τις ιδιότητες, μα η ώθηση είναι ειδικώς ορισμένη περίπτωση). Μία κανονικοποιημένη ώθηση, με εμβαδόν περιοχής ίσο με τη μονάδα, περιγράφεται μαθηματικά από την κρουστική συνάρτηση δ(t). Η έξοδος του υπό μελέτη συστήματος όταν του δοθεί ως είσοδος η δ(t) ονομάζεται κρουστική απόκριση και χαρακτηρίζει πλήρως ένα ΓΧΑ σύστημα. Αν η κρουστική απόκριση είναι επίσης ώθηση, δηλαδή στιγμιαίας διάρκειας, τότε το σύστημα είναι στατικό (χωρίς μνήμη), διαφορετικά είναι δυναμικό.

Οι ενδιαφέρουσες περιπτώσεις είναι τα δυναμικά ΓΧΑ συστήματα στα οποία μπορούμε, αν γνωρίζουμε την κρουστική απόκριση h(t), να βρούμε την έξοδο του συστήματος για κάθε πιθανή είσοδο x(t) με τον εξής τρόπο: εκτελούμε κρουστική ανάλυση του σήματος εισόδου και, για κάθε ώθηση που προκύπτει, προσμετρούμε στην έξοδο την αντίστοιχη απόκριση του συστήματος (η οποία είναι αh(t-t₀) για είσοδο αδ(t-t₀), λόγω γραμμικότητας και χρονικής ανεξαρτησίας). Κάθε σημείο της εξόδου επηρεάζεται από πολλά σημεία της εισόδου λόγω της μνήμης του συστήματος (π.χ. αν η κρουστική απόκριση είναι μη μηδενική στο διάστημα [0,5] του πεδίου ορισμού της, τότε μία ώθηση στο σημείο t₀ της εισόδου συμβάλλει στον σχηματισμό της εξόδου σε όλο το διάστημα [t₀,t₀+5] του πεδίου ορισμού της) αλλά όλη η διαδικασία του, φαινομενικά περίπλοκου, υπολογισμού μπορεί να μοντελοποιηθεί πλήρως από τη μαθηματική πράξη της συνέλιξης μεταξύ των δύο συναρτήσεων x(t) και h(t) (συμβολίζεται με «*»). Η εν λόγω συνέλιξη, με κατάλληλη ολοκλήρωση, δίνει ως αποτέλεσμα μία νέα συνάρτηση y(t) η οποία στην περίπτωση αυτή είναι η έξοδος του συστήματος (y(t) = x(t)*h(t)). Η κρουστική απόκριση συνήθως μετράται με εμπειρικά μέσα και τον ρόλο της κρουστικής εισόδου δ(t) μπορεί να παίξει οποιαδήποτε είσοδος είναι «επαρκώς σύντομη» για τα δεδομένα του συστήματος (π.χ. με γυμνό μάτι οποιοδήποτε αστέρι ή πλανήτης του νυχτερινού ουρανού δρα ως δ(t) για το ανθρώπινο οπτικό σύστημα και η μικροσκοπική αστρική εικόνα που τελικά βλέπουμε είναι η κρουστική απόκριση του ματιού).

Μία εναλλακτική μέθοδος ανάλυσης όπως προαναφέρθηκε είναι η ανάλυση Φουριέ, με την οποία αναλύουμε ένα οποιοδήποτε περιοδικό σήμα σε άθροισμα απείρων ημιτόνων, όλων των δυνατών συχνοτήτων, τα οποία σχηματίζουν αθροιζόμενα το ολικό αρχικό σήμα. Κάθε ένα από αυτά τα ημίτονα συμμετέχει με διαφορετικό πλάτος στο ολικό σήμα και ο μαθηματικός Μετασχηματισμός Φουριέ μας λέει κατά πόσο συμμετέχει κάθε πιθανή συχνότητα στον σχηματισμό του. Έτσι π.χ. ο Μετασχηματισμός Φουριέ ενός απλού ημιτονοειδούς σήματος είναι η κρουστική συνάρτηση, μία ώθηση, καθώς το ημίτονο περιέχει μόνο μία συχνότητα. Η σημασία της ανάλυση Φουριέ έγκειται στο ότι σε ένα ΓΧΑ σύστημα η έξοδος για ημιτονοειδή είσοδο είναι πάλι ένα ημίτονο, ίδιας συχνότητας αλλά διαφορετικού πλάτους και φάσης. Έτσι μπορούμε να εκφράσουμε την έξοδο ενός συστήματος για δεδομένη είσοδο ως άθροισμα απείρων ημιτόνων, ίδιων συχνοτήτων με τα ημίτονα που αθροιζόμενα παράγουν την είσοδο αλλά με κατάλληλα τροποποιημένη (λόγω της επίδρασης του συστήματος) φάση και πλάτος. Ο Μετασχηματισμός Φουριέ απεριοδικών σημάτων είναι συνεχής, δηλαδή το συχνοτικό φάσμα των σημάτων περιέχει μη μετρήσιμα άπειρες διαφορετικές συχνότητες. Αντιθέτως ο Μετασχηματισμός Φουριέ περιοδικών σημάτων (γνωστός και ως σειρά Φουριέ) είναι διακριτός, δηλαδή το φάσμα των σημάτων περιέχει μετρήσιμα άπειρες διαφορετικές συνιστώσες: ένα ημίτονο της θεμελιώδους συχνότητας (η οποία είναι η συχνότητα του αρχικού, ολικού περιοδικού σήματος) και άπειρα ημίτονα που οι συχνότητες τους είναι ακέραια πολλαπλάσια της θεμελιώδους (αρμονικές συνιστώσες). Τον Μετασχηματισμό Φουριέ μίας ποσότητας x(t) (αντίστοιχα f(t)) τον συμβολίζουμε με Χ(Ω) (αντίστοιχα F(Ω)), όπου η ανεξάρτητη μεταβλητή Ω υποδηλώνει πως το πεδίο ορισμού είναι πεδίο συχνοτήτων.

Διαδοχική πρόσθεση αρμονικών συνιστωσών με τελικό στόχο τη σύνθεση ενός «τετραγωνικού» περιοδικού σήματος

Ο Μετασχηματισμός Φουριέ της κρουστικής απόκρισης ενός ΓΧΑ συστήματος ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς ή απόκριση συχνοτήτων του συστήματος. Έχει ιδιαίτερη σημασία γιατί μία ιδιότητα της συνέλιξης είναι ότι στο πεδίο των συχνοτήτων μετατρέπεται σε ένα απλό γινόμενο (επομένως η σχέση y(t)=h(t)*x(t) μετασχηματίζεται στον τύπο Y(Ω)=H(Ω)X(Ω), αν λάβουμε το φάσμα Φουριέ των εμπλεκόμενων ποσοτήτων). Έτσι, αν η συνάρτηση μεταφοράς είναι μηδενική έξω από ένα περιορισμένο διάστημα συχνοτήτων [Ω₁,Ω₂], τότε το φάσμα κάθε εξόδου περιέχει τις συχνότητες της αντίστοιχης εισόδου οι οποίες εμπερικλείονται στο διάστημα αυτό (πιθανώς με τροποποιημένο πλάτος και φάση στο πεδίο του χρόνου σε σχέση με την είσοδο) και καμία άλλη συχνότητα, καθώς λόγω του πολλαπλασιασμού H(Ω)X(Ω) το φάσμα της εξόδου μηδενίζεται πέραν των ορίων του διαστήματος [Ω₁,Ω₂]. Το διάστημα αυτό καλείται εύρος ζώνης του συστήματος. Συστήματα τα οποία στην έξοδό τους διατηρούν απαράλλακτες, ως προς το πλάτος και τη φάση, τις συχνοτικές συνιστώσες της εισόδου οι οποίες εμπίπτουν σε ένα διάστημα [Ω₁,Ω₂], αλλά μηδενίζουν κάθε άλλη συνιστώσα, ονομάζονται φίλτρα. Ένα φίλτρο λέγεται:

• χαμηλοπερατό, αν Ω₁=0 και Ω₂$\neq \infty$ (σε αυτήν την περίπτωση το Ω₂ συμβολίζεται ως Ω_c και λέγεται συχνότητα αποκοπής)
• ζωνοπερατό, αν Ω₁$\neq$0 και Ω₂$\neq \infty$
• υψιπερατό, αν Ω₁$\neq$0 και Ω₂=$\infty$
• απόρριψης ζώνης ή ζωνοφρακτικό (band-reject)

Δείτε επίσης

• Επεξεργασία εικόνας
• Θεωρία πληροφορίας
• Θεωρία ελέγχου
• Συμπίεση δεδομένων
• Τηλεπικοινωνίες
• Ψηφιακή επεξεργασία σήματος

Πηγές

• Θεοδωρίδης Σ., Μπερμπερίδης Κ., Κοφίδης Λ., Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων, Δαρδανός, 2003
• Oppenheim A., Schafer R.W., Buck J., Discrete-Time Signal Processing, Prentice Hall, 1999