Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Τρίγωνο με πλευρές
α
,
β
,
γ
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }
και κορυφές
A
,
B
,
Γ
{\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } }
.
Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία , ο νόμος των εφαπτομένων σε ένα τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
είναι η σχέση[ 1] [ 2] [ 3]
α
−
β
α
+
β
=
tan
(
1
2
(
A
−
B
)
)
tan
(
1
2
(
A
+
B
)
)
{\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}}}
,
όπου
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
οι πλευρές απέναντι από τις κορυφές
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
και
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
.
Θα χρησιμοποιήσουμε τον νόμο των ημιτόνων που λέει ότι
α
sin
A
=
β
sin
B
=
d
,
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\beta }{\sin \mathrm {B} }}=d,}
όπου
d
{\displaystyle d}
η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Από εδώ προκύπτει ότι
α
=
d
sin
A
{\displaystyle \alpha =d\sin \mathrm {A} }
,
(1 )
και
β
=
d
sin
B
{\displaystyle \beta =d\sin \mathrm {B} }
.
(2 )
Επίσης θα χρησιμοποιήσουμε τους τριγωνομετρικούς τύπους για το άθροισμα και την διαφορά δύο ημιτόνων
sin
A
+
sin
B
=
2
sin
(
1
2
⋅
(
A
+
B
)
)
⋅
cos
(
1
2
⋅
(
A
−
B
)
)
{\displaystyle \sin \mathrm {A} +\sin \mathrm {B} =2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\quad }
(3 )
και
sin
A
−
sin
B
=
2
sin
(
1
2
⋅
(
A
−
B
)
)
⋅
cos
(
1
2
⋅
(
A
+
B
)
)
{\displaystyle \sin \mathrm {A} -\sin \mathrm {B} =2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}
.
(4 )
Για να αποδείξουμε τον νόμο των εφαπτομένων ξεκινάμε από το αριστερό μέλος και χρησιμοποιούμε τις σχέσεις (1 ) και (2 ),
α
−
β
α
+
β
=
d
sin
A
−
d
sin
B
d
sin
A
+
d
sin
B
=
sin
A
−
sin
B
sin
A
+
sin
B
.
{\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {d\sin \mathrm {A} -d\sin \mathrm {B} }{d\sin \mathrm {A} +d\sin \mathrm {B} }}={\frac {\sin \mathrm {A} -\sin \mathrm {B} }{\sin \mathrm {A} +\sin \mathrm {B} }}.}
Τέλος, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (3 ) και (4 ), έχουμε ότι
α
−
β
α
+
β
=
2
sin
(
1
2
⋅
(
A
−
B
)
)
⋅
cos
(
1
2
⋅
(
A
+
B
)
)
2
sin
(
1
2
⋅
(
A
+
B
)
)
⋅
cos
(
1
2
⋅
(
A
−
B
)
)
=
sin
(
1
2
⋅
(
A
−
B
)
)
/
cos
(
1
2
⋅
(
A
−
B
)
)
sin
(
1
2
⋅
(
A
+
B
)
)
/
cos
(
1
2
⋅
(
A
+
B
)
)
=
tan
(
1
2
(
A
−
B
)
)
tan
(
1
2
(
A
+
B
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}&={\frac {2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}{2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}}={\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)/\cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)/\cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}}\\&={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}}\end{aligned}}}
,
που ολοκληρώνει την απόδειξη.
Οι τύποι Mollweide είναι οι εξής
α
−
β
γ
⋅
cos
Γ
2
=
sin
(
1
2
(
A
−
B
)
)
{\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\gamma }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}
,
και
α
+
β
γ
⋅
sin
Γ
2
=
cos
(
1
2
(
A
−
B
)
)
{\displaystyle {\frac {\alpha +\beta }{\gamma }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\cos \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}
.
Διαιρώντας και τους δύο τύπους κατά μέλη, έχουμε ότι
α
−
β
α
+
β
⋅
cot
Γ
2
=
tan
(
1
2
(
A
−
B
)
)
{\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}\cdot \cot {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}
.
Αφού
A
,
B
,
Γ
{\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } }
είναι γωνίες τριγώνου έχουμε ότι
Γ
=
π
−
(
A
+
B
)
{\displaystyle \mathrm {\Gamma } =\pi -(\mathrm {A} +\mathrm {B} )}
. Χρησιμοποιώντας ότι
tan
ϕ
=
tan
(
π
−
ϕ
)
{\displaystyle \tan \phi =\tan(\pi -\phi )}
, λαμβάνουμε ότι
α
−
β
α
+
β
=
tan
(
1
2
(
A
−
B
)
)
tan
(
1
2
(
A
+
B
)
)
{\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}}}
.
Μία απόδειξη χωρίς λόγια είχε δοθεί από τον Rex H. Wu[ 4]
Είδη τριγώνου
Βάσει μεγαλύτερης γωνίας Βάσει πλευρών Άλλα
Σημεία τριγώνου
Ευθείες τριγώνου
Κύκλοι τριγώνου
Μετρικές σχέσεις
Αναλογίες Εμβαδόν Μήκη σεβιανών Τριγωνομετρικές σχέσεις Άλλες
Σχετικά θεωρήματα Παράγωγα τρίγωνα