3-dimensia turnada grupo

En matematiko, turnada grupo estas la grupo de ĉiuj turnadoj ĉirkaŭ la fonto de koordinatoj - la punkto (0, 0, 0) de 3-dimensia eŭklida spaco R³ sub la operacio de komponaĵo.

Laŭ difino, turnado ĉirkaŭ la fonto estas lineara transformo kiu konservas longojn kaj orientiĝon (dekstrecon) de spaco. Longo-konservanta transformo kiu donas la malan orientiĝon estas nepropra turnado.

Kompono de du turnadoj donas ankaŭ turnadon. Ĉiu turnado havas unikan inversan turnadon. Ankaŭ identa bildigo estas turnado. Pro la pli supre donitaj propraĵoj, la aro de ĉiuj turnadoj estas grupo sub komponaĵo. Ankaŭ, la turnada grupo havas naturan sternaĵan strukturon por kiu la grupaj operacioj estas glataj; tiel ĝi estas fakte grupo de Lie. La turnada grupo estas ofte skribata kiel SO(3), vidu pli sube pri la kaŭzoj.

La turnada grupo estas neabela grupo (ne komuta grupo). Tio estas ke gravas la ordo en kiu kelkaj turnadoj estas komponitaj. Ekzemple, kvaroncirkla turno je la pozitiva x-akso sekvita per kvaroncirkla turno je la pozitiva y-akso estas malsama turnado ol tiu ricevita per unue turno ĉirkaŭ y-akso kaj poste ĉirkaŭ x-akso. Ĉi tio estas malsama de turnado en du dimensioj, kie ordo de turnadoj ne gravas.

Konservadaj propraĵoj

Krom konservado de longo, ĉiu turnado konservas ankaŭ angulojn. Ĉi tiu sekvas de tio ke la skalara produto de du vektoroj u kaj v povas esti skribata nur per longoj:

$u\cdot v={\tfrac {1}{2}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u\|^{2}-\|v\|^{2}\right)$

De ĉi tie, ĉiu longo-konservanta transformo en R³ konservas la skalaran produton, kaj tiel la angulon. Ĉiu turnado bildigas ortonormalan bazon en R³ ankaŭ al ortonormala bazo.

Turnado estas ofte difinita kiel lineara transformo kiu konservas la enan produton sur R³. Pro la pli supre donita argumento, ĉi tio estas ekvivalento al postulo de konservo de longo.

Turnada akso

Ĉiu netriviala turnado en 3 dimensioj fiksas unikan 1-dimensian rekton kiu estas nomata kiel la rotacia akso (ĉi tio estas eŭlera turnada teoremo). Ĉiu turnado agas kiel normala 2-dimensia turnado en ĉiu ebeno perpendikulara al ĉi tiu akso. Pro tio ke ĉiu 2-dimensia turnado povas esti prezentita per angulo φ, ajna 3-dimensia turnado povas esti precizigita per rotacia akso kaj angulo de turnado ĉirkaŭ ĉi tiu akso. Oni bezonas precizigi orientiĝon de la akso kaj ĉu la turnado estas prenita al esti laŭhorloĝnadla aŭ kontraŭhorloĝnadla kun respekto al ĉi tiu orientiĝo.

Por donita unuobla vektoro n en R³ kaj angulo φ, estu R(φ, n) kontraŭhorloĝnadla turnado ĉirkaŭ la akso tra n (kun orientiĝo difinita per n).

Ĉiu turnado povas esti prezentita per unika angulo φ en la limigo 0 ≤ φ ≤ π kaj unuobla vektoro n tia ke

• n estas ajna se φ = 0.
• n estas unika se 0 < φ < π.
• n estas unika supren ĝis signo se φ = π, tio estas ke turnadoj R(π, n) kaj R(π, -n) estas identaj.

Propraĵoj de turnado estas ke por ĉiuj n kaj φ:

• R(0, n) estas la identa transformo
• R(φ, n) = R(-φ, -n)
• R(π+φ, n) = R(π-φ, -n)
• R(φ, n) = R(φ+2πk, n) por ĉiu entjero k

Matrica prezento

Kiel ĉiu lineara transformo, turnado povas ĉiam esti prezentita per matrico.

Ekzemple, kontraŭhorloĝnadlaj turnadoj ĉirkaŭ pozitivaj x, y kaj z aksoj je angulo φ estas donitaj respektive per matricoj

$R_{x}(\phi )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}$

$R_{y}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \phi &0&\sin \phi \\0&1&0\\-\sin \phi &0&\cos \phi \end{bmatrix}}$

$R_{z}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Estu R donita turnado. Kun respekto al la norma bazo (e₁, e₂, e₃) de R³ la kolumnoj de R estas donitaj per (Re₁, Re₂, Re₃). Pro tio ke la norma bazo estas ortonormala, la kolumnoj de R formas ankaŭ ortonormalan bazon. Ĉi tiu ortonormaleco povas esti esprimita kiel

R^TR = I

kie R^T estas la transpono de R kaj I estas la 3 × 3 identa matrico. Matricoj por kiu ĉi tiu propraĵo veras estas perpendikularaj matricoj. La grupo de ĉiuj 3 × 3 perpendikularaj matricoj estas skribata kiel O(3).

Aldone al konservado de longo, turnado konservas ankaŭ orientiĝon. Matrico priskribanta la transformon konservas aŭ malkonservas orientiĝon laŭ tio ĉu ĝia determinanto estas pozitiva aŭ negativa respektive. Por orta matrico R, det R^TR = det I = 1, kun tio ke det R^T = det R ĉi tio implicas ke (det R)² = 1 kaj do det R = ±1. La subgrupo de perpendikularaj matricoj kun determinanto 1 estas nomata kiel la speciala perpendikulara grupo, skribata kiel SO(3).

Tial ĉiu turnado povas esti prezentita unike per orta matrico kies determinanto estas 1. Ankaŭ, pro tio ke komponaĵo de turnadoj respektivas al matrica multipliko, la turnada grupo estas izomorfia al la speciala perpendikulara grupo SO(3).

Nepropraj turnadoj estas donataj per perpendikularaj matricoj kun determinanto -1. Ili ne formas grupon ĉar komponaĵo de du nepropraj turnadoj estas propra turnado.

Topologio

Konsideru solidan pilkon en R³ de radiuso π - aro de ĉiuj punktoj de R³ de distanco π aŭ malpli granda de la (0, 0, 0). Por ĉiu punkto en ĉi tiu pilko estas respektiva turnado, kun akso tra la (0, 0, 0) kaj la punkto kaj turnada angulo egala al distanco de la punkto al la (0, 0, 0). La identa turnado respektivas al (0, 0, 0) - la centro de la pilko. Turnado tra anguloj inter 0 kaj -π estas konforma laŭ la punkto sur la sama akso kaj distanco de la fonto sed sur la transa flanko de la (0, 0, 0). Unu cetera problemo estas ke du turnadoj je π kaj je -π ĉirkaŭ la sama akso estas la samaj. Tiel oni identigas (aŭ gluas kune aŭ konsideras kvocientan spacon) antipodajn punktojn de surfaco de la pilko. Post ĉi tiu identigo, rezultiĝas topologia spaco homeomorfa al la turnada grupo.

Notu, ke la pilko ne estas tiu objekto kiu estas turnata per la transformoj. Temas pri turnado de iu la alia objekto.

La pilko kun antipodaj surfacaj punktoj identigitaj estas glata sternaĵo, kaj ĉi tiu sternaĵo estas difeomorfa al la turnada grupo. Ĝi estas ankaŭ difeomorfa al la 3-dimensia reela projekcia spaco RP³, tiel la lasta povas ankaŭ servi kiel topologia modelo por la turnada grupo.

Ĉi tiuj identigoj ilustras ke SO(3) estas koneksa sed ne simple koneksa. Por montri ne simplan koneksecon de la pilko kun antipodaj surfacaj punktoj identigitaj, konsideru vojojn de la norda poluso (0, 0, π) rekte tra la centro (0, 0, 0) suben ĝis la suda poluso (0, 0, -π). Ĝi estas fermita ciklo, ĉar la norda poluso kaj la suda poluso estas identigitaj. Ĉi tiu ciklo ne povas esti malpligrandigita al punkto, ĉar por ĉiu misformigo de la ciklo, la starta kaj fina punktoj restas antipodaj, alie la ciklo perdus fermitecon. En terminoj de turnadoj, ĉi tiu ciklo prezentas kontinuan vicon de turnadoj ĉirkaŭ la z-akso startante kaj finante kun la turnado je angulo π, kio estas serio de turnadoj je angulo φ kie φ ŝanĝiĝas de -π al π.

Tamen, se trapasi la vojon dufoje, tiel ke φ ŝanĝiĝas de -π al 3π aŭ ekvivalente de 0 al 4π, la rezultanta fermita ciklo povas esti malpligrandigita al sola punkto: unue movu la vojoj kontinue al la pilka surfaco, ankoraŭ konektante nordan poluson kaj sudan poluson dufoje. Duono de la vojo povas tiam esti spegulita al la antipoda flanko sen ŝanĝo de la vojo. Nun estas ordinara fermita ciklo sur la surfaco de la pilko, tra la du polusoj laŭ ĉefcirklo. Ĉi tiu cirklo povas esti malpligrandigita al punkto sen problemoj.

La sama rezonado povas esti plenumita ĝenerale, kaj ĝi montras ke la fundamenta grupo de SO(3) estas cikla grupo de ordo 2. En fizikaj aplikoj, la ne-banaleco de la fundamenta grupo permesas ekziston de specifaj objektoj, kaj estas grava laborilo en la evoluo de la spino-statistika teoremo.

La universala kovro de SO(3) estas grupo de Lie nomata kiel Spino(3). La grupo Spino(3) estas izomorfia al la speciala unuargumenta grupo SU(2); ĝi estas ankaŭ difeomorfa al la unuobla 3-sfero S³ kaj povas esti komprenita kiel la grupo de kvaternionoj kies estas absoluta valoro 1.

Prezentoj de turnadoj

Estas diversaj manieroj prezenti turnadon:

• Per perpendikulara matrico kun determinanto 1
• Per akso kaj turnada angulo
• Per punkto en pilko en R³ de radiuso π
• Per kvaterniono kies estas absoluta valoro 1
• Per eŭleraj anguloj - kiel vico de turnadoj ĉirkaŭ iuj fiksitaj aksoj.

Ĝeneraligoj

La turnada grupo povas esti ĝeneraligita al n-dimensia eŭklida spaco Rⁿ. La grupo de ĉiuj propraj kaj nepropraj turnadoj en n dimensioj estas nomata kiel la perpendikulara grupo, O(n), kaj ĝia subgrupo de nur propraj turnadoj estas nomata kiel la speciala perpendikulara grupo, SO(n).

La turnada grupo SO(3) estas subgrupo de E⁺(3), la eŭklida grupo de direktaj izometrioj de R³. Ĉi tiu pli granda grupo estas la grupo de ĉiuj movoj de solido. Ĉiu movo estas kombinaĵo de turnado ĉirkaŭ ajna akso kaj paralela movo, tiel kombinaĵo de ero de SO(3) kaj ajna paralela movo.

En speciala teorio de relativeco estas uzata 4-dimensia spaco de Minkowski. Malsimile al 4-dimensia eŭklida spaco, spaco de Minkowski havas enan produton kun nedifinita metrika signumo. Tamen, tie estas difinita lorenca transformo, kiu estas ĝeneraligita turnado kiu konservas ĉi tiun enan produton. La grupo de ĉiuj tiuj transformoj estas nomata kiel lorenca grupo.

Ĝenerale, la turnada grupo de objekto estas la geometria simetria grupo en la grupo de direktaj izometrioj; en aliaj vortoj, la intersekco de la plena geometria simetria grupo kaj la grupo de direktaj izometrioj. Por nememspegulsimetria objekto ĝi estas la sama kiel la plena geometria simetria grupo.

Vidu ankaŭ

• Perpendikulara grupo - ĝeneraligo al pli altaj dimensioj
• Koordinata turnado
• Solido
• Angula rapido
• Angula movokvanto
• Abakoj sur SO(3)
• Eŭleraj anguloj
• Infinitezima turnado
• Lorenca grupo
• Paralela mova grupo