Mecánica matricial

La Mecánica Matricial es una formulación de la mecánica cuántica creada por Werner Heisenberg, Max Born y Pascual Jordan en 1925. La mecánica matricual fue la primera definición completa y correcta de la mecánica cuántica. Extiende el Modelo de Bohr al describir como ocurren los saltos cuánticos. Lo realiza al interpretar las propiedades físicas de partículas como matrices que evolucionan en el tiempo. Es el equivalente a la formulación ondulatoria planteada por Erwin Schrödinger y es la base de la notación bra-ket de Paul Dirac para la formulación ondulatoria.

Introducción

A inicios del siglo XX la ruptura de los conceptos clásicos con los experimentos realizados era evidente. Los primeros modelos fueron propuestos por Albert Einstein, Niels Bohr, Arnold Sommerfeld y muchos otros; quienes fundaron las bases de lo que ahora se conoce como Mecánica cuántica. Sin embargo, esta ruptura con la Mecánica Clásica a pesar de ser prometedora era evidente que muchos de los conceptos estaban siendo establecidos ad hoc. En la década de los veinte, un grupo de relativamente jóvenes físicos tomaron el liderazgo en la elaboración de una teoría acorde con los nuevos postulados encontrados; teoría que, contraria a la formulación clásica, debía ser basada en los experimentos y no en la intuición. Además de requerir un lenguaje matemático más preciso.

En este sentido, Werner Heisenberg fue el primero en realizar una formulación matemática mas elaborada de la Mecánica Cuańtica. Esta formulación se basa en que los aspectos teóricos de los sistemas están fundados exclusivamente en las relaciones entre cantidades pertenecientes al sistema que, en principio, es observable. En Mecánica Cuántica, los observables son las cantidades que directa o indirectamente pueden ser experimentalmente medidas. Esta premisa lo condujo a una formulación exitosa de la Mecánica Cuántica basado en la teoría de matrices.

Heisenberg trabajo con datos experimentales relacionados a la transición atómica de las interacciones de los átomos con cuantos de luz, fotones, tratando de identificar los observables relevantes. De esta manera él argumentó que las cantidades relacionadas a las transiciones eran los objetos básicos relevantes. En 1925 Heisenberg propuso la primera estructura matemática coherente acerca de la teoría atómica para los átomos.

En la elaboración de esta Mecánica Matricial fue importante el trabajo de Max Born y Pascual Jordan, quienes reconocieron que esas cantidades obedecían las reglas preestablecidas por el álgebra matricial.

Razomaniento de Heissenberg

Previo a la Mecánica Matricial, la teoría cuántica anterior describía el movimiento de una partícula por medio de una orbita clásica con posición $X(t)\,$ y momento $P(t)\,$ bien definido, con la restricción que la integral temporal sobre un período T de momento por velocidad debía ser un múlplito entero positivo de la constante de Planck:

$\int _{0}^{T}PdX=nh.$

La teoría cuántica anteior no describe procesos dependientes del tiempo, como la absorción o emisión de radiación, sin embargo esta restricción empleada correctamente toma orbitas con energía $E_{n}\,$.

Cuando a una partícula clásica se la acopla débilmente a un campo de radiación, es decir cuando el amortiguamiento de la radiación puede ser despreciado, este emitirá radiación en un patrón que se repite cada periodo orbital. Las frecuencias que componen la onda saliente son entonces son múltiplos enteros de la frecuencia orbital. Este es un síntoma que manifiesta que $X(t)\,$ es periódico, lo que nos indica que las representaciones de Fourier únicamente tienen los valores de frecuencia $2\pi n/T\,$:

$X(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi int/T}X_{n}$

donde los coeficientes $X_{n}\,$ son complejos. Los que tienen frecuencias negativas deben ser los complejos conjugados de los que tienen frecuencias positivas, de esta manera $X(t)\,$ es siempre real:

$X_{n}=X_{-n}^{*}$.

Por otro lado, una partícula mecanocuántica no puede emitir continuamente radiación, solo puede emitir fotones. Asumiendo que esta partícula se encuentra en una órbita $n\,$, emite un fotón y se traslada a una órbita $m\,$. La energía del fotón es $E_{n}-E_{m}\,$, que significa que su frecuencia es $(E_{n}-E_{m})/h\,$. Para $n\,$ y $m\,$, pero con $n-m\,$ relativamente pequeños, éstas son las frecuencias clásicas del principio de correspondencia planteado por Bohr:

$E_{n}-E_{m}\approx {\frac {h(n-m)}{T}}$

donde $T\,$ es el período clásico de una de las orbitas $n\,$ o $m\,$ cuando la diferencia entre ellas es de un orden mayor a $h\,$. Sin embargo para $n\,$ o $m\,$ pequeños o si $n-m\,$ es muy grande, las frecuencias no son múltiplos enteros de ninguna de las frecuencias.

Cuando las frecuencias de emisión de la partícula son las mismas frecuencias de la descripción de Fourier de su movimiento, esto sugiere que algo esta oscilando en la descripción dependiente del tiempo de la partícula con frecuencia $(E_{n}-E_{m})/h\,$. Heisenberg denominó a esta cantidad $X_{nm}\,$ y exigió que sea reducido a los coeficientes clásicos de Fourier en el límite clásico. Para valores muy grandes de $n\,$ y $m\,$, pero con valores relativamente pequeños de $n-m\,$, $X_{nm}\,$ es el coeficiente de Fourier $(n-m)$-ésimo del movimiento clásico en la órbita $n\,$. Cuando $X_{nm}\,$ tiene frecuencias opuestas a $X_{mn}\,$, la condición que $X\,$ sea real se convierte en:

$X_{nm}=X_{mn}^{*}$.

Por definición, $X_{nm}\,$ tiene solo las frecuencias $(E_{n}-E_{m})/h\,$, así que su evolución temporal es simplemente:

$X_{nm}(t)=e^{2\pi i(E_{n}-E_{m})t/h}X_{nm}(0)$.

que es la forma original de la ecuación de movimiento de Heisenberg.

Dadas dos matrices $X_{nm}\,$ y $P_{nm}\,$ que describen dos cantidades físicas, Heisenberg pudo formar un nuevo arreglo del mismo tipo al combinar los términos $X_{nk}P_{km}\,$, que oscilan con la frecuencia correcta. Como los coeficientes de Fourier del producto de dos cantidades es la convolución de éstos coeficientes de forma separada, la correspondencia con las series de Fourier permitieron a Heisenberg deducir la regla por la que éstas matrices debían ser multiplicados:

$(XP)_{mn}=\sum _{k=0}^{\infty }X_{mk}P_{kn}$

Max Born notó que esta es la ley de multiplicación para matrices, por lo que la posición, el momento, la energía y todos los observables son interpretados como matrices. Debido a la regla de multiplicación el producto depende del orden, es decir $XP\neq PX\,$.

La matriz X describe completamente el movimiento de una partícula mecanocuántica. Debido a que las frecuencias en el movimiento cuántico no son múltiplos de una frecuencia común, los elementos de la matriz no pueden ser interpretados como los coeficientes de Fourier de una trayectoria clásica. No obstante, como $X(t)\,$ y $P(t)\,$ son matrices, satisfacen las ecuaciones clásicas del movimiento.

Referencias

• Lakshmibala, S. (2004). «Heisenberg, Matrix Mechanics, and the Uncertainty Principle». Resonance. Journal of Science Education 9 (8): 46-56. Consultado el 12 de febrero de 2011. 
• Lam, Kai S. (2009). Non-Relativistic Quantum Theory: Dynamics, Symmetry, and Geometry. World Scientific Publishing Company. pp. 11-16. ISBN 978-981-4271-79-0.