Integral exponencial

Gráfica de la función E₁ (arriba) y de la función Ei (parte inferior).

En el ámbito de las matemáticas la integral exponencial es una función especial definida en el plano complejo e identificada con el símbolo  Ei.

Definiciones

Para valores reales de  x, la integral exponencial Ei(x) se define como

${\mbox{Ei}}(x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,dt.\,$

Esta definición puede ser utilizada para valores positivos de  x, pero a causa de la singularidad del integrando en cero, la integral debe ser interpretada en término del valor principal de Cauchy. Para valores complejos del argumento, esta definición es ambigua a causa de los puntos de ramificación en 0 y en $\infty$.​ En general, se toma un branch cut sobre el eje real negativo y Ei puede ser definida mediante una continuación analítica en el resto del plano complejo.

Se utiliza la siguiente notación,​

$\mathrm {E} _{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}dt,\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi$

Para valores positivos de la parte real de $z$, esto se puede expresar como​

$\mathrm {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt,\qquad \Re (z)\geq 0.$

El comportamiento de E₁ cerca del branch cut puede ser analizado mediante la siguiente relación:​

$\lim _{\delta \to 0\pm }\mathrm {E_{1}} (-x+i\delta )=-\mathrm {Ei} (x)\mp i\pi ,\qquad x>0,$

Usos

• Transferencia del calor en régimen transitorio
• Flujo de agua subterraneo en condiciones de noequilibrio en la solución de Theis (denominada función pozo)
• Transferencia radiativa en atmósferas estelares
• Ecuación de difusividad radial para flujo transitorio con fuentes y sumideros lineales

Referencias

• Abramovitz, Milton; Irene Stegun (1964). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Abramowitz and Stegun. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4. 
• Bender, Carl M.; Steven A. Orszag (1978). Advanced mathematical methods for scientists and engineers. McGraw-Hill. ISBN 0-07-004452-X. 
• Bleistein, Norman; Richard A. Handelsman (1986). Asymptotic Expansions of Integrals. Dover. ISBN 0486650820. 
• Misra, Rama Dhar (1940). «On the Stability of Crystal Lattices. II». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 36 (2): 173. doi:10.1017/S030500410001714X. 
• Press, William H.; et al (1994). Numerical recipes in C: the art of scientific computing. Cambridge [England]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-43108-5.  contains code for evaluating $\mathrm {Ei}$ and $\mathrm {E_{1}}$, starting p.222.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Integral Exponencial». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Función En». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Fórmulas e identidades para Ei