Integral exponencial

Plot of E₁ function (top) and Ei function (bottom).

En Matemáticas, la función Exponencial Integral es una función especial definida en el plano complejo. Se denota por el símbolo  Ei.

Definiciones

Para valores reales no negativos x,, la función exponencial integral Ei(x) puede ser definida como

${\mbox{Ei}}(x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,dt.\,$

La definición de arriba puede ser usada para valores positivos de x, pero la integral tiene que entenderse en términos de valor principal de Cauchy, debido a la singularidad del integrando en el cero. Para valores complejos del argumento, la definición es ambigua debido al punto de ramificación en 0 e $\infty$.​ En general, se realiza un corte en el eje real negativo y Ei puede ser definida mediante continuación analítica en el resto del plano complejo en esa representación principal.

Es usual usar la siguiente notación,​

$\mathrm {E} _{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}dt,\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi$

Para valores positivos de la parte real de $z$, esto puede escribirse como​

$\mathrm {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt,\qquad \Re (z)\geq 0.$

El comportamiento de E₁ cerca del corte de rama puede verse en la siguiente relación:​

$\lim _{\delta \to 0\pm }\mathrm {E_{1}} (-x+i\delta )=-\mathrm {Ei} (x)\mp i\pi ,\qquad x>0,$

Propiedades

Series Asintóticas

Relative error of the asymptotic approximation for different number $~N~$ of term in the truncated sum

Integral Exponencial de argumento imaginario

$\mathrm {E_{1}} (ix)$ against $x$; real part black, imaginary part red.

Referencias

• Abramovitz, Milton; Irene Stegun (1964). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Abramowitz and Stegun. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4. 
• Bender, Carl M.; Steven A. Orszag (1978). Advanced mathematical methods for scientists and engineers. McGraw-Hill. ISBN 0-07-004452-X. 
• Bleistein, Norman; Richard A. Handelsman (1986). Asymptotic Expansions of Integrals. Dover. ISBN 0486650820. 
• Misra, Rama Dhar (1940). «On the Stability of Crystal Lattices. II». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 36 (2): 173. doi:10.1017/S030500410001714X. 
• Press, William H.; et al (1994). Numerical recipes in C: the art of scientific computing. Cambridge [England]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-43108-5.  contains code for evaluating $\mathrm {Ei}$ and $\mathrm {E_{1}}$, starting p.222.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Exponential Integral». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «En-Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Formulas and identities for Ei