Problema del ganado
El Problema del Ganado de Arquímedes, es un problema en el análisis diofántico, el estudio de las soluciones de las ecuaciones polinómicas con Número entero. El problema consiste en calcular el número de reses de un rebaño de Dios del sol de un determinado conjunto de restricciones. El problema fue descubierto por Gotthold Ephraim Lessing en un manuscrito griego que contiene un poema de cuarenta y cuatro líneas, en la Biblioteca Herzog en Wolfenbüttel, Alemania. En el mes de agosto de 1773.
El problema seguía sin resolverse por un número de años, debido en parte a la dificultad de calcular los números en que se incurre en la solución. La solución general se encontró en 1880 por A. Amthor, le dio la solución exacta utilizando exponenciales y demostraron que se trataba de ganado. La forma decimal es demasiado largo para los seres humanos para calcular con exactitud, pero la Precisión arbitraria de los Computadores puede escribir de forma explícita.
Son muchos los problemas planteados por los grandes matemáticos clásicos que permanecen todavía sin solución. Algunos la han hallado recientemente gracias a la aparición de los ordenadores; los más conocidos son el de los cuatro colores y el del empaquetamiento de esferas (conjetura de Kepler). Otro recientemente demostrado es el de Fermat-Wiles[1].
Existe uno con estas características, menos conocido pero mucho más antiguo. Fue planteado nada menos que por Arquímedes (287-212 aJC) en su libro "El calculador en la arena" cuando dice:
Problema
Si eres diligente y sabio, oh, extranjero, calcula el número de cabezas de ganado del Sol…. Aunque el problema está redactado de forma algo ambigua, las interpretaciones más verosímiles lo reconstruyen así:
El dios sol tenía un rebaño formado por un cierto número de toros blancos, negros, moteados y amarillos, así como vacas de los mismos colores. De tal forma que:
- El número de toros blancos es la mitad y la tercera parte de los negros más los amarillos.
- El número de toros negros es igual a la cuarta más la quinta parte de los moteados más los amarillos.
- El número de toros moteados e igual a la sexta más la séptima parte de los blancos más los amarillos.
- El número de vacas blancas es igual a un tercio más un cuarto de la suma de los toros negros y las vacas negras.
- El número de vacas negras es igual a la cuarta parte más la quinta aparte de la suma de los toros moteados más las vacas moteadas.
- El número de vacas moteadas es igual a la quinta más la sexta parte de la suma de los toros amarillos más las vacas amarillas.
- El número de vacas amarillas es igual a la sexta más la séptima parte de la suma de los toros blancos más las vacas blancas.
- Además, a suma de los toros blancos y negros es un número cuadrado.
- Además, la suma de los toros moteados y amarillos es un número triangular.
Puesto en lenguaje actual, si llamamos:
W: Número de toros blancos. X: Número de toros negros. Y: Número de toros moteados. Z: Número de toros amarillos. w: Número de vacas blancas. x: Número de vacas negras. y: Número de vacas moteadas. z: Número de vacas amarillas.
El enunciado equivale al sistema de nueve ecuaciones diofánticas:
W = (½+1/3)X + Z X = (¼+1/5)Y + Z Y = (1/6+1/7)W + Z
w = (1/3+¼)(X+x) x = (¼+1/5)(Y+y) y = (1/5+1/6)(Z+z)
z = (1/6+1/7)(W+w) W + X = m2 Y + Z = n(n+1)/2
El sistema se reduce a la ecuación de Pell[2]:
u2 - 4729494v2 = 1 Su resolución mediante fracciones continuas lleva a los valores mínimos: u = 109931986732829734979866232821433543901088049 v = 50549485234315033074477819735540408986340
Y ello conduce a la solución original del problema, que es aproximadamente:
N = 7,760271·10206544
Es decir, un número con 206.545 cifras. Hasta recientemente no ha podido ser éste calculado con exactitud gracias al ordenador.