Usuario discusión:HiTe
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Esperamos que pases buenos momentos en Wikipedia.
Wikiproyecto La Rioja
Bienvenido al wikiproyecto. BigSus (Comentarios) 19:31 8 oct 2006 (CEST)
Mapas de comarcas de Cameros
Upss, que fallo. Gracias por avisar. Las he subido de nuevo, ya de forma correcta, pero no se que pasa en commons que no las ha actualizado bien. Puede que en las próximas horas empiecen ha aparecer de forma correcta, por lo que habrá que deshacer tus cambios. No lo he hecho hasta que solucionen el problema en commons. Tendré los artículos vigilados. Un saludo y gracias de nuevo. --BigSus (Comentarios) 21:03 14 oct 2006 (CEST)
- Ya esta solucionado, con cambiar un poco el tamaño de la imagen 399 en vez de 400px se ven las imágenes bien. --BigSus (Comentarios) 00:04 15 oct 2006 (CEST)
Por favor, mira el historial. Un saludo --Who? What?Where?@ 22:21 21 oct 2006 (CEST)
Categorías
Hola, para comentarte que revertí algunos cambios en los que la categoría agregada comprendía a la categoría específica (por ej., Categoría:Materiales comprende Categoría:Materiales en ingeniería). Si la específica está bien, no se debe agregar la general, y si la específica está mal se debe sustituir por otra. La idea, como comprenderás, es que no queden anidadas. Saludos, Tano ¿comentarios? 02:27 23 oct 2006 (CEST)
Imágenes matemáticas
Enseguida voy a trabajar en tu solicitud. Si necesitas más imágenes no dudes en preguntar. Soy estudiante de matemáticas y veo que tú también te interesas por esos temas. También te invito a mirar en Commons:User:Drini/math en caso de que alguna de esas te sirva para algún artículo (muchas de esas las cree cuando reescribí Círculo a partir de cero antesdespués -- drini 22:12 6 nov 2006 (CET)
- Tengo una ligera duda. ¿Quieres cuatro imágenes, una para cada cuadrante? ¿O debo intentar incluir los 4 en un solo diagrama? -- drini 22:30 6 nov 2006 (CET)
Primer bosquejo
Mira la imagen. No le puse signo a tangente, porque es confuso que la tangente del 2º cuadrante es negativa, sin embargo geométricamente está en el plano superior (coordenada y positiva), quizás sería mejor no poner la tangente o explicar en e l texto la forma de determinar su signo. Espero tus comentarios. -- drini 22:49 6 nov 2006 (CET)
-- drini 23:50 6 nov 2006 (CET)
las imágenes que te prometí
Disculpa la tardanza. Aquí tienes las imágenes
Auqnue me parece incorrecto decir que BD es, en todos los casos, el valor de la tangene incluido el signo. BD es positivo en el 2o cuadrante pero la tangente es negativa, y a la inversa en el 3er cuadrante.
Espero que te ayuden. Si tienes modificaciones, avísame en mi página. -- drini 00:12 14 nov 2006 (CET)
- Ya subí tus imágenes a cuadrante2 y cuadrante3 como nueva versión en commons. Te parece que borro las imágenes cuadrante22 y cuadrante32 por duplicadas? -- drini 22:15 14 nov 2006 (CET)
Hola, HiTe. No estoy en absoluto de acuerdo con el cambio de definición que has hecho en ese articulo, y así lo he manifestado en la página de discusión. No es que "función" se deba referir sólo a números reales o complejos, aunque "ocasionalmente" se confundan aplicación y función. Yo creo que aplicación y función son sinónimos, aunque informalmente existe la costumbre (en español y no sé si en francés, en inglés no) de usar aplicación como concepto general y función para los números. De paso, tampoco estoy de acuerdo en que una sucesión no sea una función, como has supuesto al editar otro artículo. Pero seguro que estoy equivocado. Por favor, ayúdame a salir del error. Vivero 03:12 15 nov 2006 (CET)
Muchas gracias, Hite, por tu esfuerzo para hacerme comprender el problema. Como es natural, estoy de acuerdo contigo en prácticamente todo lo que me has explicado; no en todo, pero las discrepancias puntuales no hacen al caso. En esencia tienes razón: si alguien se plantea escribir ex-novo un libro de matemáticas, lo mejor que puede hacer es llamar a cada cosa con un nombre, evitar ambigüedades, y ordenar el material. Cierto, y además tu nomenclatura y el orden que propones son buenos, aunque podría haber otros que también lo fueran... pero ese no es el problema que me aqueja.
Te contaré ahora mi problema, para ver si yo también consigo convencerte a ti, y entre los dos logramos la deseable síntesis. Imagínate que un lector de esta enciclopedia, quizá un estudiante de bachillerato, lee tu definición de función: “En matemática se denomina función a la aplicación matemática de los números reales, o en el caso de calculo complejo de los números complejos “. Como nuestro estudiante ya conocía el concepto de aplicación, se queda muy contento: ya sabe lo que es una función.
Al día siguiente nuestro estudiante, persona inquieta, acude a una biblioteca para ampliar sus conocimientos, y tropieza con el Diccionario de Matemática Moderna [1]. Allí, para la voz aplicación, encuentra la definición que esperaba. Satisfecho, busca la palabra función, y se encuentra con esto: “Función: sinónimo de aplicación”. Luego se entera, de paso, de que “una aplicación , para cualquier conjunto X, se llama “función numérica”, y de que una función cuyo codominio sea un conjunto de proposiciones lógicas se llama “función proposicional”.
Sorprendido (¿serán las proposiciones lógicas números reales, o complejos?... seguramente números de Gödel), sospecha que el libro está equivocado, y consulta otro diccionario de matemáticas, esta vez traducción de uno francés [2] y allí se encuentra la definición de aplicación que esperaba, seguida de esta frase: “Aplicación y función son sinónimos; sólo el uso o razones pedagógicas hacen emplear en ciertos casos una palabra en vez de la otra”. Busca la palabra “función”, y se encuentra, como era de esperar, con “Función: sinónimo de aplicación. A veces se hacen matices de orden pedagógico entre los dos términos...”
No se lo acaba de creer, y busca un tercer libro, esta vez el manual de matemáticas básicas de la Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED) española [3]. Allí puede leer que... “En matemáticas también hay un concepto que significa transformación o cambio. Es el concepto de aplicación o función... luego, el libro lo explica todo con detalle, usando siempre la palabra “aplicación”, hasta que llega a un punto en el que dice: “Por tradición, se denomina funciones a las aplicaciones entre conjuntos numéricos como o ...” Bueno, eso se parece algo más (como un huevo a una castaña) a la definición que aprendió en la wiki, pero se siguen manejando aplicación y función como sinónimos, y por tradición se usa preferentemente función para las aplicaciones numéricas, pero no sólo las de números reales o complejos (eso es lo que decía, aproximadamente, el texto antes de que lo reeditaras, ¿no?).
Bien, nuestro estudiante no se fía, y busca otras fuentes incansablemente. Encuentra un diccionario de matemáticas mexicano, para estudiantes de Bachillerato [4]. Allí encuentra la definición de aplicación que buscaba, y exactamente la misma definición para función (salvo que la de aplicación dice "elemento de un conjunto depende de...", y la de función dice "variable depende de..."). En su quinta fuente, otro diccionario [5], averigua que una aplicación es una correspondencia unívoca y aplicativa (entendiendo por aplicativa que todos los elementos del dominio tienen imagen) y que "una variable es función de otra cuando entre ambas se puede establecer una correspondencia unívoca" y que "En teoría de conjuntos, función es toda aplicación que relaciona conjuntos numéricos" (esto se acerca a la definición de la wiki, pero no del todo). Otro librote de mates, de original alemán [6] dice simplemente: "Se llama aplicación (función) a toda relación". Parecido recurso utilizan los traductores de un diccionario muy utilizado, el Oxford de Matemáticas: [7]"Una aplicación (o función) f de S en T, donde S y T son conjuntos..."; y para función dan la misma definición, añadiendo "por lo tanto es lo mismo que una aplicación", y explicando seguidamente que el término función "tiende a usarse" cuando dominio y codominio son el conjunto de los números reales, o subconjuntos de números reales... "tiende a usarse cuando...", ojo: no "se define como...". Hay otra edición en español del Oxford, titulada "Oxford-Complutense" [8], y consultándola se ve que los matices dependen mucho de la traducción al español, porque esta dice "Una aplicación f (llamada a veces función, aunque ese nombre suele reservarse para las aplicaciones cuyos valores son números)..." Pero en esencia nuestro usuario de wikipedia ya empieza a pensar que le hemos engañado, porque todas las fuentes dicen que función y aplicación son sinónimos, aunque hay cierta tendencia, tradición, costumbre pedagógica o propensión a usar función cuando la cosa va de números, todos los números.
Nuestro estudiante no se conforma: a él le han definido en la wikipedia función como "la aplicación matemática de los números reales, o en el caso de calculo complejo de los números complejos " , y todo el resto de los libros que encuentra dicen otras cosas, disímiles y heterogeneas. Decide buscar fuentes de mayor enjundia, como la monumental enciclopedia de las matemáticas rusa MIR-Rubiños [9] No encuentra entrada de "aplicación" (aunque sí docenas de aplicaciones con apellido, como la aplicación lineal, casi todas de topología). Pero en otro tomo sí encuentra un largo y detallado artículo sobre "función", en el que dice: "Todo conjunto f={(x,y)} de pares ordenados tal que [...] se denomina función o aplicación". Luego nuestro estudiante recurre al mítico Lentin y Rivaud [10] y se encuentra con que "La noción de función, ya conocida del lector, no difiere en principio del concepto de aplicación. Aquella se refiere al caso de ser E y F conjuntos de números" (primer mensaje: no difiere; segundo: se usa preferentemente para conjuntos de números; y nada de reales o complejos). Otro mítico es el Courant y Robbins [11], que no usa la palabra aplicación (en inglés no se usa, y el traductor no ha intervenido) y define función en términos totalmente generales (hablando de "objetos", y de "conjuntos", no de números, como se hace con la aplicación.
Cansado del papel, nuestro escéptico lector (¡me han dicho que una función es una aplicación de los números reales o los complejos!) recurre a Internet. En el Diccionario de la Real Academia encontrará las definiciones que los académicos matemáticos (los hay) han propuesto para aplicación, ver acepción 5 y para función, ver acepción 13. Aparte de que la definición de función está equivocada cuando dice "o ninguno" (¿no?), está clara la sinonimia de los dos términos. En la Web también hay diccionarios de matemáticas, y este de mismates.net le da la razón a la wikipedia (aunque se olvida de los complejos: no sé por qué se dice "funciones reales de variable real", si según eso todas lo son). Pero por supuesto la mejor fuente es la wikipedia. Nuestro lector ya sabe que en español una función es una aplicación entre reales o complejos. Y por curiosidad averigua que en inglés una function no es ni más ni menos que una aplicación, de modo que "función" y "function" serían "falsos amigos": no significarían lo mismo. Pero en francés, con fonction pasa lo mismo. El artículo de la wiki francesa dice: "Así, hay unas fonctions que transforman números en números (por ejemplo los polinomios, las funciones trigonométricas), fonctions que transforman puntos en puntos (por ejemplo las rotaciones, las traslaciones, homotecias), fonctions que transforman formas geométricas en números (por ejemplo la longitud de un segmento, el área delimitada por un polígono...)" ... la función española no es tan versátil: sólo sabe jugar con reales y complejos. Tampoco significa lo mismo función que el it:funzione (matematica) de los italianos: "Sinonimi di funzione sono: applicazione, operatore, mappa, relazione binaria univoca, trasformazione". En la wiki española lo organizamos todo mucho mejor, y ya no hay sinónimos... Puede ocurrir que dos palabras muy parecidas de distintos idiomas no signifiquen lo mismo (constipado y constipation o actualmente y actually... hay docenas) pero no resulta muy tranquilizador que eso ocurra con palabras técnicas como antibiótico-antibiotic. Yo creo que una de las cosas que debe pedirse a nuestra definición de función matemática es que sea consistente con las de function, fonction, funzione y funktion. No despistemos a los pobres estudiantes.
Mis conclusiones:
- Es cierto: es muy bueno adoptar los términos correctos, clasificar la materia de un modo racional, y desarrollar cada parte correctamente. Estoy de acuerdo.
- Pero también es cierto que esto es una enciclopedia, no una fuente primaria. En el caso de que consiguiéramos adoptar los términos mejor que todas las fuentes disponibles, tendríamos que ignorar nuestra perfección, y escribir lo que dicen las fuentes disponibles, porque eso es lo que hace una enciclopedia: contar lo que otros han desarrollado o lo que existe "fuera", y no inventar nuevos significados de las palabras (aunque sean mejores). No he encontrado una sola fuente externa que defina función como aplicación de reales o complejos (sí alguna que dice que sólo de reales, pero no es significativo ni por el número de fuentes ni por su importancia).
- Las fuentes disponibles no coinciden exactamente en su interpretación de las palabras "aplicación" y "función", pero la tendencia más generalizada, con gran diferencia, es la de considerar que esas dos palabras son sinónimos, y que hay una cierta tradición, predisposición, tendencia o costumbre de usar "función" para las de valor (codominio) numérico. Pero se puede usar siempre la palabra función sin ningún temor; en cambio, en cálculo (límites, derivadas, integrales,...) conviene usar sólo función, aunque sería perfectamente correcto (pero desusado) derivar una aplicación.
- En todos los idiomas, en la mayoría de las fuentes, la tendencia es la de adoptar preferentemente la palabra función en todos los contextos. Así, las enciclopedias tienden a tener artículo de "función" (en el que dicen que "aplicación" es un sinónimo) y no tenerlo de "aplicación". Ayuda a ello el hecho de que en inglés sólo exista function (hay quien dice que map=aplicación; no es esa mi impresión; por ejemplo, a las aplicaciones lineales las llaman linear transformations).
- En todo caso, function, fonction, funzione, funktion etc. deben usarse como referentes: sería absurdo que el significado de función fuera distinto del de esas palabras (¡sobre todo si difiere de todas ellas, que a su vez coinciden entre si!)
Mi propuesta, entonces:
- Cambiar el texto inicial del artículo [función (matemática)] revirtiéndolo al de antes de tu cambio de definición, para dejar de diferenciarnos (fuente primaria) de casi todo lo que se encuentra en la biblioteca de la esquina y en la de Babel.
- fusionar los artículos [función (matemática)] y [aplicación matemática] en [función (matemática)]. Ahora mismo estamos repitiendo innecesariamente lo unívoco, lo biunívoco, lo inyectivo, lo sobreyectivo, etc. y despistando al lector con dos artículos sobre lo mismo, exactamente lo mismo. El artículo aplicación (matemática) (¿no deberíamos seguir siempre el mismo criterio de poner matemática entre paréntesis?) sólo debe decir REDIRECT (a función).
- Ese artículo fusionado debe tener un apartado donde se explique la terminología (aplicación, función, transformación, mapeo, lo que se quiera), sus costumbres de uso, y sus equivalencias en otros idiomas. Donde quede claro lo difuso. Además, el propio artículo usará "aplicación" o "aplicación o función" cuando hable en términos generales, y solo usará "función" cuando hable de la la exponencial y el seno.
¿Nos hemos convencido el uno al otro, Hite? ¿Me ayudas con el artículo fusionado?
Y ya en general: no pretendamos que la subjetividad del lenguaje sea ajena a las matemáticas, aunque si debe ser ajena a los sistemas formales (que ya se sabe que se encargan ellos mismos de ser incompletos o indecidibles en cuanto los complican un poco). Siempre habrá quién dirá "los números naturales" pensando en que se incluye el cero, y otros que lo escucharán pensando que el cero no está. Es humano, y para eso está el diálogo.
Perdona el larguísimo rollo, pero siempre me molestó que me dijeran "casi todas las fuentes coinciden en...". No: búscalas y ponlas en fila. Tras la ardua búsqueda bibliotecaria, creo que estoy en lo cierto. Seguro que llegamos a un acuerdo.Vivero 23:42 16 nov 2006 (CET)
¡Maldición!... Los <ref>...</ref> no funcionan. Da igual: las refs. de los libros están en el texto, pulsando en "EDITAR"Vivero 23:46 16 nov 2006 (CET)
Termino con función matemática
Ya he prometido en la página de discusión del artículo que lo voy a dejar, tras soltar la última parrafada. Sospecho que me estoy poniendo pesado. Pero, amigo HiTe, a ver si puedes entenderme:
- Puede que tengas razón cuando piensas que el mundo estaría mejor ordenado y sería más riguroso y feliz si en español la palabra aplicación designara el concepto general de correspondencia unívoca y aplicativa, en tanto que la palabra función designara algo más concreto, por ejemplo aplicación entre conjuntos no numerables.
- Pero el mundo ha decidido no estar así de ordenado, ni ser tan riguroso y feliz. El mundo ha decidido que, en términos generales, función y aplicación sean sinónimos. Y también ha decidido que, de forma difusa e incontrolable, se use a veces función con preferencia a aplicación, como por ejemplo cuando se habla de la función de verdad en lógica de enunciados (nunca he oído "aplicación de verdad"), o cuando se habla de funciones en lógica de proposiciones,... o cuando se habla de funciones reales de variable real (nunca he oído "la derivada de la aplicación sen")
- Wikipedia no es una fuente primaria. Eso significa que sus artículos deben describir cómo es el mundo, no cómo debería ser. Si nadie (autorizado) define función como correspondencia entre conjuntos continuos, Wikipedia no debe hacerlo, aunque estemos seguros de que sería mejor, y ordenaría de maravilla la descripción de las matemáticas.
Por supuesto, puedo estar equivocado cuando digo que nadie autorizado define función como correspondencia entre conjuntos continuos. Esa sí es la verdadera discusión que tenemos que tener. En la página de discusión del artículo, y antes en esta misma página, he aportado referencias de las definiciones de función y aplicación. Quizá tu tengas mejores referencias, o me hagas ver que he interpretado mal las mías. Esa es la discusión que podemos tener. Pero no la de si es "más lógico" definir función de forma distinta a como la define todo el mundo: esa es inútil para nuestros fines de escribir artículos en Wikipedia siguiendo las normas de Wikipedia.
Por favor, perdóname si sigo sin explicarme bien, o si he podido ser incorrecto en algún momento de la discusión.
Vivero 04:16 19 nov 2006 (CET)
Pues no, no termino
Muchas gracias, HiTe. Yo tampoco estaré muy libre, porque además me he metido con dos artículos (uno es reformar Álgebra, a partir de la versión inglesa, y otro es traducir este de las construcciones con regla y compás, y quizá mezclarlo con la traducción de trocitos de la versión francesa), y me gustaría terminar al menos uno, que luego los dejo siempre a medias. Además, estoy pensando en la forma de conjugar, en el artículo en el que fusionemos aplicación y función, la necesaria formalidad/no ambigüedad por la que tu abogabas con la fidelidad a las fuentes externas por la que abogaba yo. A lo mejor puede hacerse... Te propongo algo en cuanto lo piense. Un cordial saludo Vivero 01:21 20 nov 2006 (CET)
Nuevos mapas de La Rioja
Veo que has estado enredando estos días con el svg de La Rioja creando nuevos mapas. Para gustos los colores pero creo que igual son demasiado chillones los elegidos para los mapas de Comarcas de La Rioja (creo que deberían ser un poco más suaves, ya que llaman la atención más que el texto) y en el de Tierra de Cameros has puesto un color de fondo diferente al de los mapas municipales. Por mantener la homogeneidad de los mapas que utilicemos sería bueno usar siempre colores similares. No hemos debatido todavía cuales pero creo que si deberíamos hacerlo. Gracias por colaborar con el wikiproyecto:La Rioja. Un saludo. --BigSus (Comentarios) 19:28 12 dic 2006 (CET)
Revertiste mis cambios sin replicar.
Lamento no haber firmado mi comentario, pero me gustaría saber por qué revertiste los cambios que hice a razonamiento circular. (Homo logos 17:51 16 dic 2006 (CET))
- No creo que ésa sea la definición de razonamiento circular. Hay que diferenciar entre lo que se trata de probar, y las premisas. Lo que se trata de probar puede ser una premisa dentro del razonamiento, o puede no serlo. Cuando lo que se pretende probar es una de las premias del razonamiento, entonces se trata de un razonamiento circular. El razonamiento circular no consiste en querer probar una proposición, y presentarla como cierta a partir de un razonamiento correcto. Si fuera así no serían posibles las demostraciones lógicas, por ejemplo: Se quiere probar que Juan está empapado, entonces se hace el siguiente razonamiento:
1.- Si Juan se queda parado en la lluvia quedará empapado
2.- Sucede que Juan se queda parado en la lluvia
Conclusión:
3.- Juan está empapado
En este caso lo que se intenta demostrar no es una premisa del razonamiento, por lo tanto no es un razonamiento cicular. Es válido afirmar que hecho Juan estará definitivamente empapado, siempre y cuando sean ciertas las premias. El problema viene cuando se incluye lo que se trata de demostrar en las premisas:
1.- Juan está empapado
2.- Si Juan está empapado, está todo mojado
3.- Si Juan está todo mojado, está empapado
Conclusiónes
4.- Juan está todo mojado
5.- Juan está empapado
Entonces se demuestra lo que se quería demostrar, pero el razonamiento es inútil, porque para que sea verdad que Juan está empapado, se debe aceptar como cierta la premisa 1.- Juan está empapado. En los ejemplos que escribiste, lo que se busca demostrar no es una de las premisas de los razonamientos. Por ejemplo, para que el razonamiento de los números sea un razonamiento circular, tendría que decir:
Queriendo demostrar que 5=7
1.- Si 5=7 entonces 7=5
2.- Si 7=5 entonces 5=7
3.- Sucede que 5=7
Conclusiones:
4.- 7=5
5.- 5=7
En cambio, lo que presentas:
1.- Si 5=7 entonces 7=5
2.- Si 7=5 entonces 5=7
No tiene otra conclusión más que 3.- Sí y sólo sí 5=7, 7=5. Y ésa conclusión no prueba que 5=7, porque no lo afirma. Como no quiero que ésto se convierta en una guerra de ediciones, esperaré tu respuesta antes de hacer algún cambio. Tienes razón en que no revertiste, pero debiste dejar una explicación en la página de discusión antes de modifiar mi versión. (Homo logos 03:17 18 dic 2006 (CET))
- Por supuesto que un razonamiento circular es una falacia. Lo que estoy diciendo, es que con la definición que das tú, un razonamiento circular puede ser un razonamiento lógico correcto, como en el primer ejemplo que dí. De hecho, no hay ningún problema con presentar algo como verdadero porque es el resultado de un razonamiento lógico correcto, es así como se hacen todas las demostraciones lógicas. La definición de razonamiento circular, es completamente diferente, y es aquel razonamiento que incluye su conclusión en sus premisas. Las imágenes que pusiste lo ilustran perfectamente. En verdad pienso que debería editar el artículo pero de nuevo esperaré tu respuesta.(Homo logos 03:00 19 dic 2006 (CET))
Problemas en Inkscape
Las flechas causan problemas en Inkscape (de hecho, es una limitante del formato SVG mismo). Voy a echar un ojo. -- drini 19:00 6 dic 2006 (CET)
Gracias Por La Bienvenida
Hola. Gracias por la bienvenida que me diste en mi página de discusión. Tengo una pregunta. ¿Dónde hay información sobre como revertir vandalismo a la Wikipedia? Estoy perdido. Muchas cosas aquí son muy diferentes a como son en la Wikipedia en inglés. Gracias por adelantado. Atentamente, Boricuaeddie 05:55 30 may 2007 (CEST)
- Gracias por contestar. Que tengas un buen día. Atentamente, Boricuaeddie 19:55 4 jun 2007 (CEST)
Gracias por la invitación
HiTe: Muchas gracias por la invitación. Cuando esté un poco más libre, me sumaré al proyecto. Un saludo, Ingenioso Hidalgo 13:23 25 jun 2007 (CEST)
- ↑ Darío Maravall Casesnoves, Madrid 1994, ed. RA-MA, ISBN 84-7897-146-7
- ↑ Diccionario Akal de Matemáticas, A. Bouvier y M. George, Madrid 2005 (el original francés es de 1979) de. Akal ISBN 84-460-1254-5
- ↑ Manual de Matemáticas Básicas, de V. Hernández, E. Ramos, R. Vélez y I. Yáñez, Madrid 1992, UNED, ISBN 84-362-2303-9
- ↑ Diccionario de Matemáticas (Nivel Bachillerato), Santiago Valiente Barderas. México 1988, ed. Alhambra mexicana, ISBN 968-444-068-5
- ↑ Diccionario de términos matemáticos, Pedro García Pérez, Valladolid 2004, ed. ZMC, ISBN 84-932310-8-8
- ↑ Atlas de matemáticas, Fritz Reinhardt y Heinrich Soeder, Madrid 1984, Alianza Editorial, ISBN 84-206-6203-8
- ↑ Diccionario Oxford de Matemáticas, C. Clapham, Madrid 1992, Celeste Ediciones, ISBN 84-87553-21-4.
- ↑ Diccionario de Matemáticas, colección "Diccionarios Oxford-Complutense" C. Clapham, Madrid 1998, ISBN 84-89784-56-6
- ↑ Enciclopedia de las Matemáticas MIR-Rubiños, dirigida por I.M. Vinogradov, Ávila 1993, ISBN 84-8041-020-5 y 021-3
- ↑ Álgebra Moderna, A. Lentin y J. Rivaud Madrid 1982 (la tercera reimpresión) Aguilar S.A. de ediciones, ISBN 84-03-20169-9
- ↑ ¿Qué es la matemática?, Richard Courant y Herbert Robbins, Madrid 1979 (segunda reimpresión de la quinta edición; el original inglés es de 1941), Aguilar S.A. de ediciones, ISBN 84-03-20032-3 capítulo 6, "funciones y límites", apartado 1, "variable y función"