Función sobreyectiva

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En matemáticas, una función:

{\begin{aligned}f:X&\longrightarrow Y\\x&\longmapsto f(x)\end{aligned}}

es sobreyectiva,^[1] epiyectiva, suprayectiva,^[1] suryectiva, exhaustiva,^[1] onto o subyectiva si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de $Y$ es la imagen de como mínimo un elemento de $X$ .

Formalmente,

$\forall y\in Y\quad \exists x\in X:\quad f(x)=y$

Para todo y de Y existe x de X, que cumple que la función: f de x es igual a y.

Definición

Una función sobreyectiva es una función cuya imagen es igual a su codominio. Equivalentemente, una función $f$ con dominio $X$ y codominio $Y$ es sobreyectiva si para cada $y$ en $Y$ existe al menos una $x$ en $X$ tal que $f(x)=y$ .

Simbólicamente

Si

f:X\to Y

entonces se dice que

f

es sobreyectiva si

\forall \;y\in Y,\exists \;x\in X:f(x)=y

Notación

En ocasiones para denotar que una función $f:X\to Y$ es sobreyectiva se utiliza la notación:

f:X\twoheadrightarrow Y

Cardinalidad y sobreyectividad

Dados dos conjuntos $A$ y $B$ , entre los cuales existe una función sobreyectiva $f:A\to B$ , se tiene que los cardinales cumplen:

${\mbox{card}}(A)\geq {\mbox{card}}(B)$

Si además existe otra aplicación sobreyectiva $g:B\to A$ , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre $A$ y $B$ , por el teorema de Cantor-Bernstein-Schröder.