Formula (matematika)

Matematikan, formula bat aldagaien arteko erlazioa adierazten duen ekuazio bat da. Formula batek, orokorren, aldagai bat edo gehiago du eta berez ez da adierazpen bat soilik, enuntziatu bat baizik. Horrek aldagaiei edo aplikatutako eragiketei buruz zerbait esan dezake. Formula baten esanahi zehatza testuinguruan inplizitua egon ohi da eta ezin da zuzenean bere itxuraren bidez ulertu. Hiru kasu komun bereiz daitezke:

• Formula batek aldagai baten balioa bilatzeko modua adierazi behar du (ekuazioak, etab.)
• Formula batek ('bilatutakoa = adierazpena bezala idatzita) bere parametroen bidez balio bat zehazten du (programazioko esleipenaren antzera eta batzuetan digrafo ":=" baten bidez idatzita dago, Pascalen bezala, baina printzipioz ekuazio batetik eratorritako kasu berezi bat kontsidera daiteke).;
• Formula bat enuntziatu logiko bat da: identitateak (adibidez, axioma bat), teorema baten enuntziatua, etab.

Pitagorasen teoremaren formula triangelu angeluzuzenetarako.

Geometrian, Estatistikan eta Matematikako beste adarretan, formula edo adierazpena zenbakien, aldagaien edota ikurren (eragileak, parentesiak ...) bidezko edozein konbinazio matematikoa da, zeinaren helburua balioen edo formen egiaztatzea den.

Adierazpen matematikoak alfabetoko sinboloz osatuta daude, zeintzuk adierazpen matematiko baten hurrengoa duten:

• Konstanteak eta aldagaiak, entitate hauek izendatzeko era desberdinak daude:
  • Zenbakiak, konstante mota bat dira.
  • Latindar alfabetoko zeinuak, bai konstanteak zein aldagaiak izendatzeko erabiltzen direnak.
  • Alfabeto grekoko zeinuak, aurrekoen era berean erabiltzen direnak.
• Funtzio eta predikatuak; zeinu hauetatik zehazki batzuk ondorengorako erabiltzen dira:
  • Eragileak, funtzio moduan interpretatzen direnak, adibidez, gehiketa + edo produktua · bi osagaiz osatutako funtzioak kotsidera daitezke.
• Logikazko ikurrak
  • Lokailu logikoak ($\lor ,\leftarrow ,\land ,\top ,\dots$)
  • Zenbatzaile logikoak. (∀; ∃)
• Puntuazio markak, bereizleak eta zatitzaile horizontalak eta bertikalak.
• Esklusiboki hizkuntza honetarako sortutako zeinuak. $\int ,\emptyset ,$ integralerako edo multzo hutserako, beste askoren artean.

Adibidez, gorputz geometrikoen bolumena zehazteko problema, edo triangeluaren lotura metrikoak, edo arrazoi trigonometrikoak. Esfera baten bolumena kalkulatzeko kalkulu integrala erabili behar da; Arquimidesen arabera, bolumena eta erradioa erlazionatzen dituen formularen bidez kalkula daiteke.

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

Aljebran, formula bat kalkuluak sinplifikatzeko edo ekuazioak ebazteko edo polinomioak faktorizatzeko erabiltzen den identitatea da. Adibidez, koefiziente errealak edo konplexuak dituen bigarren mailako ekuaziorako, beti bi emaitza existitzen dira. Hauek ez dute zertan desberdina izan, errealak zein konplexuak izan daitezke eta erro izenaz ezagutzen dira. Bigarren mailako ekuazioaren erroak ematen dituen formulari formula koadratiko deritzo:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

non ± ikurrak ondorengo bi balio hauek

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

eta

$\ x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

ekuazioaren soluzioak direla adierazten duen.

Ageri diren kantitateak, neurriak edo ezezagunak, hizki larrien (V=bolumena), letra xeheen (r=erradioa), letra grekoen (π=pi=3,1415926…) eta beste ikur (Σ antzeko kantitateen batura adierazten du, letra baten gainean gezi bat ageri bada hori bektore bat izango da, $\textstyle {\overrightarrow {a}}$, letra betan gaineko puntu batek, $\textstyle {\dot {a}}$, funtzio horretan deribatua edo diferentziala adierazten du, etab.) batzuen bidez adierazi ohi dira. Batzuetan azpiindizeak (x₁, x₂, …) eta goi-indizeak (x², x³, …) erabili behar dira.

Ekuazioak

Ekuazio bat formula bat da zeinen barneko lotura (goikoa) erlazio bitar ekuazioa den. Hala ere, ekuazio baten ezaugarri nagusia bere ikurrak aldagai eta parametroetan (azken hauen agerpena hautazkoa da) banatzen direla da. Adibidez, $x^{2}=1$ ekuazio bat da non x aldagai bat den. Berdinketa betetzen duten aldagaien balioei ekuazioaren erroak deritze: kasu honetan biak zenbaki arruntak dira, 1 eta -1. Orokorrean, ekuazio bat aldagai baten ez bada identitate bat, orduan ekuazioaren erroak multzo diskretu bat dira, maizago multzo finitua (edo multzo hutsa baita ere).

Ekuazioak parametroak baditu, bere esanahia emandako parametroekin ekuazioaren erroak aurkitzea da (hau da, aldagaiaren zein baliotarako beteko den berdintza). Batzuetan, hau parametroetan aldagaiaren menpekotasun esplizitua aurkitzea bezala enuntzia daiteke. Adibidez, $x^{2}=a$ x gaineko ekuazio bezala uler daiteke (x aldagaiak izendatzeko erabiltzen den ohiko letra da, y, z eta t letrekin batera). Ekuazioaren erroak a-ren erro karratuak dira (bi omen daude, kontrako zeinukoak).

Formula horrek, berez, x eta a arteko erlazio bitarra soilik ematen du eta alderantziz a gaineko eta x-rekiko ekuazio moduan uler daiteke. Kasu honetan, a x-ren bidez definitzen dela esan daiteke : $a=x^{2}$.

Identitateak

Identitate bat parametroen edozein baliorako egia den proposizioa da. Orokorrean, identitate bat identitate zuzeneko berdintza esan nahi du, hala ere, desberdintza bat ala beste erlazio bat egon daiteke identitate baten kanpoaldean. Kasu askotan, identitate bat erabilitako eragiketa matematikoaren propietate bezala ezagutu ahal da, adibidez $a+b=b+a$ identitateak gehiketaren trukakortasuna zehazten du.

Formula matematikoen bidez esaldi konplexuak modu trinko eta eroso baten idatz daitezke. Arlo zehatz bateko edozein baliotarako aldagaien ordezkapena erabiliz betetzen diren formulak egiazko identitateak izenaz ezagutzen dira arlo zehatz horretan. Adibidez: "edozein a eta b aldagaietarako $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ berdintza betetzen da". Identitate hau axiometatik ondoriozta daiteke, eraztun trukakor baten gehiketaren eta biderketaren logika erabiliz, aldi berean identitateen itxura ere dutelarik.

Gerta daiteke identitate batek aldagairik ez izatea eta berdintza aritmetikoa izatea (edo beste mota batekoa), adibidez, $6^{3}=3^{3}+4^{3}+5^{3}$.

Hurbilpeneko ekuazioak

Adibidez: $x\approx \sin(x)$ hurbildutako berdintza bat da $x$ txikia denean, hau da, angelu baten sinua angelu horren radianen bidez adierazitako balioa da. Kasu honetan, errorea % 1ekoa da 0,244 radianen inguruan.

Beste adibide batzuk hauek izan daitezke:

$\cos x\simeq 1$, edo $\cos x\simeq 1-{\frac {x^{2}}{2}}$, bigarren mailako hurbilketa,

$\tan x\simeq x$.

Angelua radianetan emanda egon behar da hurbilketa egin ahal izateko. Formula hauek gehien bat elektromagnetismorako, optikan, kartografian eta astronomian erabiltzen dira.

• 
  1. Irudia. θ eta $\sin$ θ funtzio trigonometrikoen hurbilketa. Angelua 0-ra hurbiltzen den heinean hurbilketa hobea dela ikus daiteke.
• 
  2. Irudia. $\cos$ θ eta 1 − θ²/2 arteko konparaketa. Angelua 0-ra hurbiltzen den heinean hurbilketa hobea dela iksu daiteke.

Desberdintzak

Desberdintzako formula bat atal honen hasieran deskribatutako bi zentzuen moduan uler daiteke: identitate bat bezala (adibidez, Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza) edo, ekuazio bat bezala, multzo bat (zehatzago, definizio-eremuko azpimultzoa) aurkitzeko problema bezala, zeinetan aldagaiak egongo diren.

Adierazpen aljebraikoa

Kasu berezia da adierazpen aljebraikoa, eskuarki polinomioekin erabiltzen dena. Adierazpen aljebraikoa zenbakien eta hizkien nahastura da. Adibidez: zuk erosten baduzu idazluma bat, 2 arkatz eta ezabagoma bat, honela adieraz daiteke: 1y+2x+1z.

Zenbakizko koefizientea

Zenbakizko koefizientea objektu konkretu baten faktore konstantea da. Adibidez, 9x² adierazpenean, x² -ren zenbakizko koefizientea 9 da. Hau da, adierazpen aljebraiko baten edozein zenbakia da.

Oinarrizko aljebran, pareko elementuen zenbakizko koefizienteak taldekatzen dira adierazpen aljebraikoa laburtzeko.

Zati literal

Adierazpen aljebraiko baten edozein aldagai (edo hizki) da.

Adibideak

• Newtonen binomioa:

${\begin{aligned}(x+y)^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\\&={n \choose 0}x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}y+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}xy^{n-1}+{n \choose n}y^{n}\end{aligned}}$

non

${\binom {n}{k}}$

koefiziente binomiala den, zeinek adeirazten duen $k$ elementu $n$ elementuz osatutako multzotik hartzeko dauden era guztiak.

• Binomio konjugatua:

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\,$.

• De Moivre-ren formula:

$(\cos(x)+i\operatorname {sen}(x))^{n}=\cos(nx)+i\operatorname {sen}(nx)$

non $x$ edozein zenbaki konplexu den eta $n\in \mathbb {Z}$.

• Euler-en formula:

$e^{ix}=\cos x+i\,\operatorname {sen} x$

non $x$ edozein zenbaki erreal den.

• Serie aritmetiko baten lehen $n$ elementuren batura:

$S_{a}(n;a_{1},d)={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}.$

• Deribatuen formulak. Adibidez:

${d \over dx}x^{c}=cx^{c-1}\qquad$ non $x$ zenbaki erreala den.

• Integralen formulak. Adibidez:

$\int (x)dx={\frac {x^{2}}{2}}$

$\int (ax+b)^{n}dx={\frac {1}{a}}\int (ax+b)^{n}adx={\frac {1}{a}}{\frac {(ax+b)^{n+1}}{n+1}}\qquad (\;para:\;n\neq -1\;)$

$\int {\frac {dx}{ax+b}}={\frac {1}{a}}\int {(ax+b)^{-1}}adx={\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|$

Ariketak

• Azalera (zirkuluarena):

• Bolumena (laukizuzenarena):

• Bigarren mailako ekuazioa:

• Deribatuak:

Ikus, gainera

• Deribatu taula
• Integralen zerrenda

Kanpo estekak

• Datuak: Q976981
• Multimedia: Mathematical formulas / Q976981