Ricciren kurbadura-tentsore

Ricciren kurbadura tentsorea,  Gregorio Ricci-Curbastroren omenez izendatuta dago. Tentsorea geometria diferentzialean, Riemannen metrika edo pseudo-Riemannen metrikaren aukera baten bidez barietate batean definitutako objetua bat da. Ricciren tentsorea, Riemannen kurbadura tentsorearen indizeen kontrakzio bat da. Orokorrean kontsidera daiteke, era lokalean, tentsore metrikoaren geometriaren aldaketaren neurritzat espazio euklidearra edo pseudo-eruklidearrarekin konparatuz.

Ricciren tentsorea karakterizatu daiteke neurtuz bere deformazioa geodesiken  ibilbidean zehar. Erlatibitate orokorrean, pseudo-Riemannen metrika dakarrena, hau islatzen da Ricciren tentsorearen agerpenean  Raychaudhuri-ren ekuazioetan.  Neurri batean arrazoi honengatik, Einsteinen eremu ekuazioak espazio-denbora, pseudo-Riemannen metrika baten bidez deskribatu daitekela proposatzen dute, Ricciren tentsorearen eta unibertsoko materiaren erlazio simple bat dena. Ricciren tentsorea $R_{ij}$ edo Ric moduan adierazten da.

Ricciren tentsorea, tentsore metrikoa bezala forma bilineal simetriko bat esleitzen dio barietateren espazio tangente bakoitzari . Errazagoa den operadore batekin analogia bat eginez, Rimannen geometrian Ricciren tentsorea funtzioen analisiaren Laplacearraren antzekoa papera jokatzen du. Kasu honetan Riemannen kurbadura tentsorea bigarren ordenako deribatuz osatutako tentsore bat izango litzateke. Hala eta guztiz ere,  analogia hau beste bide batetik egin daiteke.

Hiru dimentsiotako topologian, Ricciren tentsorea informazio guztia dauka. Orden altuagoko informazioa Riemannen tentsorean kodetuta dago. Ricciren tentsorearen sinpletasunagatik, geometria eta analisiaren tresna askoren erabilpena ahalbidetzen du. Honek Poincaréren ustearen ebazpenera eraman zituen Richard S. Hamilton eta Grigory Perelman.

Geometria diferentzialean, Ricciren tentsorearen behe mugak Riemannen barietatean ahalbidetzen gaitu informazio geometrikoa eta topologikoa konparatzen kurbadura konstateko espazio batekin. Hau Ricciren tentsorearen behe mugak Riemannen geometriaren luzera funtzionala ikasteko erabili daitekelako da, 1941-an Mayers-en teoremaren bidez frogatu zena.

Ricciren tentsorea lortzen da deribatu kobariantea trukatzen bada tentsore Lapacearrarekin. Honela azaltzen da bere agerpena Bochnneren formulan, Riemannen  geometrian edonodik agertzen dena. Adibidez, hau azaltzen du zergaitik Shing-Tung Yau estimatutako gradientea ia beti Ricciren tentsorearen behe mugaren menpekoa den.

2007 urtean John W. Lott, Karl-Theodor Sturm eta Cedric Villanik frogatu zuten Ricciren tentsorearen behe mugak metrikaren espazioaren estrukturaren arabera ulertu ahal zirela Riemannen barietatetan.

Definizioa

Lehen azpisailak Ricciren tentsorearen definizioa adierazten du aljebra linealarekin eta aldagai anitzeko kalkuluarekin eroso sentitzen diren irakurleentzat. Ondorengo azpiatalek terminologia sofistikatuagoa erabiltzen dute

Sarrera eta definizio lokala

Izan bedi $U$ $\mathbb {R} ^{n}$-ren azpimultzo ireki bat, eta i eta j zenbaki-pare bakoitzeko 1 eta n artean, $g_{ij}:U\rightarrow \mathbb {\mathbb {R} }$ funtzio leun bat

${\begin{pmatrix}g_{11}(p)&\cdots &g_{1n}(p)\\\vdots &\ddots &\vdots \\g_{n1}(p)&\cdots &g_{nn}(p)\end{pmatrix}}$

non $U$-n $p$ bakoitzarentzat matrizea simetrikoa eta alderanzgarria den. Izan bedi $U$-n $p$ bakoitzerako $[g^{ij}(p)]$ aurreko matrizearen alderantzizkoa$[g_{ij}(p)]$. $R_{ij}$ funtzioak modu esplizituan definitzen dira formula hauen bidez:

${\begin{aligned}R_{ij}={}&-{\frac {1}{2}}\sum _{a,b=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}g_{ij}}{\partial x^{a}\partial x^{b}}}+{\frac {\partial ^{2}g_{ab}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{ib}}{\partial x^{j}\partial x^{a}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{jb}}{\partial x^{i}\partial x^{a}}}\right)g^{ab}\\&+{\frac {1}{2}}\sum _{a,b,c,d=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{ac}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial g_{bd}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial g_{ic}}{\partial x^{a}}}{\frac {\partial g_{jd}}{\partial x^{b}}}-{\frac {\partial g_{ic}}{\partial x^{a}}}{\frac {\partial g_{jb}}{\partial x^{d}}}\right)g^{ab}g^{cd}\\&-{\frac {1}{4}}\sum _{a,b,c,d=1}^{n}\left({\frac {\partial g_{jc}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{ic}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{c}}}\right)\left(2{\frac {\partial g_{bd}}{\partial x^{a}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{d}}}\right)g^{ab}g^{cd}.\end{aligned}}$

Formula horretatik zuzenean ikus daiteke $R_{ij}$-k $R_{ji}$-ren berdina izan behar duela edozein i eta j-rentzat. Orduan, ikus daitezke $R_{ij}$ funtzioak , $U$-ren edozein $p$ punturi $n\times n$ matrize simetriko bat lotuz. $U$-ko balio matrizialen mapa horri $g_{ij}$ funtzioen bildumarekin lotutako Ricciren kurbadura deritzo.

Aurkezten den bezala, ez dago ezer intuitibo edo naturalik Ricciren kurbaduraren definizioan. Aztergai gisa hurrengo propietate nabarmena betetzen duelako nabarmentzen da. Izan bedi $V\subset \mathbb {\mathbb {R} } ^{n}$  beste multzo ireki bat, eta izan bedi $y:V\rightarrow U$ mapa leun bat, zeinen lehenengo deribatuen matrizea honakoa den:

$J(q)={\begin{pmatrix}D_{1}y^{1}(q)&\cdots &D_{n}y^{1}(q)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{1}y^{n}(q)&\cdots &D_{n}y^{n}(q)\end{pmatrix}}$

zein alderanzgarria den edozein $q\in V$-rako. Defini dezagun $g_{ij}:V\rightarrow \mathbb {\mathbb {R} }$ matrize bideradura bidez:

${\begin{pmatrix}{\overline {g}}_{11}(q)&\cdots &{\overline {g}}_{1n}(q)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\overline {g}}_{n1}(q)&\cdots &{\overline {g}}_{nn}(q)\end{pmatrix}}=J(q)^{\text{T}}{\begin{pmatrix}g_{11}(y(q))&\cdots &g_{1n}(y(q))\\\vdots &\ddots &\vdots \\g_{n1}(y(q))&\cdots &g_{nn}(y(q))\end{pmatrix}}J(q).$

Produktuaren araua eta katearen araua erabiliz, erlazio hau kalkula daiteke $g_{ij}$ funtzioen bildumako Ricciren kurbaduraren eta ${\bar {g}}_{ij}$ funtzioen bildumako Ricciren kurbaduraren artean, edozein $q$-rako $V$-n:

${\begin{pmatrix}{\overline {R}}_{11}(q)&\cdots &{\overline {R}}_{1n}(q)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\overline {R}}_{n1}(q)&\cdots &{\overline {R}}_{nn}(q)\end{pmatrix}}=J(q)^{\text{T}}{\begin{pmatrix}R_{11}(y(q))&\cdots &R_{1n}(y(q))\\\vdots &\ddots &\vdots \\R_{n1}(y(q))&\cdots &R_{nn}(y(q))\end{pmatrix}}J(q)$

Hori nahiko ustekabekoa da; izan ere, $R_{ij}$ definitzen duen formulan $g_{ij}$ definitzen duen formula zuzenean konektatuz gero, ikusten da i-tik eratorritako hirugarrenak ere hartu beharko direla kontuan, $R_{ij}$-en definizioaren lehen lau terminoetako bigarren deribatuek $J$-ren osagaien gainean jarduten dutenean sortzen direnak. "Miraria" da Ricciren kurbaduraren definizioa osatzen duten lehenengo deribatuen, bigarren deribatuen eta alderantzizko deribatuen bilduma izugarria behar bezala konfiguratuta dagoela, i-ren deribatu horiek guztiak bertan behera uzteko moduan, eta bat $R_{ij}$ eta ${\bar {R}}_{ij}$erlazionatzen dituen matrize nabarmen garbiko aurreko formularekin geratu zen. Are nabarmenagoa da termino-ezeztapen hori; izan ere, $R_{ij}$ eta ${\bar {R}}_{ij}$lotzen dituen matrize-formula $g_{ij}$ eta ${\bar {g}}_{ij}$lotzen dituen matrize-formularen berdina da.

Terminologia sofistikatu bat erabiliz, honela laburbil daiteke Ricciren kurbaduraren definizioa:

Izan bedi $U$ $\mathbb {R} ^{n}$-ren  azpimultzo ireki bat. Matrize alderantzikagarrien espazioan $n\times n$ simetriko gisa baloratzen den $g$ gainazal baten mapatze leuna eginez, ($g$-ren osagaien zenbait deribatu partzial dituen formula konplexu baten bidez), Ricciren $g$ kurbadura $U$-ren mapatze leun gisa defini daiteke $n\times n$ matrize simetrikoen espazioan.

Ricciren kurbaduraren propietate nabarmen eta ustekabekoa honela laburbil daiteke:

Izan bedi $J$ difeomorfismo baten eta $V$-etik $U$-ra irekitako beste multzo baten matrize jacobiarra. $J^{T}(g\circ y)J$ produktu matrizialak emandako funtzio matrizialaren Ricciren kurbadura $J^{T}(R\circ y)J$ produktu matrizialak ematen du, non $R$-k $g$-ren Ricciren kurbadura adierazten baitu.

Matematikan, propietate hori aipatzen da esanez Ricciren kurbadura "zenbateko tentsoriala" dela, eta Ricciren kurbadura definitzen duen formula adierazten du, konplexua izanagatik ere, garrantzi handikoa dela geometria diferentzialaren arloan.Termino fisikoetan, propietate hori "kobariantza orokorraren" adierazpena da, eta horregatik erabili zuen Albert Einsteinek erlatibitate orokorra formulatzean $R_{ij}$ definitzen duen formula. Testuinguru honetan, mapatzea aukeratzeko aukerak y erreferentzia-markoen artean aukeratzeko aukerak adierazten dute; Ricciren kurbaduraren "ustekabeko propietatea" fisikaren ekuazioak erreferentzia-esparru baten mende ez egotearen printzipio orokorraren isla da.

Hori hurrengo azpiatalean barietate bereizgarrien ikuspegitik aztertzen da, nahiz eta azpiko edukia azpiatal honetakoaren ia berdina izan.

Definizioa Riemannen tentsoretik

Ricciren tentsorea Riemannen tentsorearen, $R_{ikj}^{l}$, lehengo eta hirugarren indizeen kontrakzioaren bidez lor daiteke:

$R_{ikj}^{k}=R_{ij}$

Tensore simetriko bat biltzen da Riemannen tentsoertik hasita. Lehenengo bi indizeen kontrakzioa eginez ez da simetrikotasuna lortzen, beraz lehenengo eta hirugarren indizeen kontrakzioa egiten da:

$R_{ij}=\Gamma _{ij,\rho }^{\rho }-\Gamma _{i\rho ,j}^{\rho }+\Gamma _{ij}^{\rho }\Gamma _{\rho \sigma }^{\sigma }+\Gamma _{i\sigma }^{\rho }\Gamma _{j\rho }^{\sigma }$

Koordenatu lokalen bidezko definizioa barietate leun batean

Izan bedi $(M,g)$ n-barietate riemanniarra edo sasi-riemanniar leuna. Grafiko uniforme bat emanda $(U,\varphi )$, batek $g_{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R}$ eta $g^{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R}$ funtzioak ditu, i eta j bakoitzerako 1 eta n artean edozein x-rako $\varphi (U)$-n:

$\sum _{k=1}^{n}g^{ik}(x)g_{kj}(x)={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}}$

Koordenatu-bektoreen eremuetan $g$ ebaluatuz definitzen dira $g_{ij}$ funtzioak; $g^{ij}$ funtzioak, berriz, honela definitzen dira: matrize-balioak dituen funtzio gisa, $x\rightarrow g_{ij}(x)$ matrize-balioen funtzioaren alderantzizkoa ematen dute.

Orain, defini ditzagun, a, b, c, i eta j bakoitzerako, 1 eta n artean, ondorengo funtzioak $\varphi (U)\rightarrow \mathbb {\mathbb {R} }$ mapa gisa:

${\begin{aligned}\Gamma _{ab}^{c}&={\frac {1}{2}}\sum _{d=1}^{n}\left({\frac {\partial g_{bd}}{\partial x^{a}}}+{\frac {\partial g_{ad}}{\partial x^{b}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{d}}}\right)g^{cd}\\R_{ij}&=\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{ij}^{a}}{\partial x^{a}}}-\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{aj}^{a}}{\partial x^{i}}}+\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{n}\left(\Gamma _{ab}^{a}\Gamma _{ij}^{b}-\Gamma _{ib}^{a}\Gamma _{aj}^{b}\right)\end{aligned}}$

Orain izan bitez $(U,\varphi )$ eta $(V,\psi )$ bi grafiko leun zeinentzat U eta V-k ebakidura ez hutsa duten. Izan bitez,  $R_{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R}$ funtzioak lehen bezala kalkulatuak $(U,\varphi )$ bidez eta  $r_{ij}:\psi (V)\rightarrow \mathbb {R}$ funtzioak lehen bezala kalkulatuak $(V,\psi )$ bidez. Ondoren froga dezakegu katearen eta produktuaren erregelak erabiliz:

$R_{ij}(x)=\sum _{k,l=1}^{n}r_{kl}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}(x)\right)D_{i}{\Big |}_{x}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}\right)^{k}D_{j}{\Big |}_{x}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}\right)^{l}.$

Honek frogatzen du hurrengo definizioa ez dagoela $(U,\varphi )$-ren menpe. Edozein $p$-rako $U$-n defini dezagun  $Ric_{p}:T_{p}M\times T_{p}M\rightarrow \mathbb {R}$ mapa bilineal bat:

$\operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\sum _{i,j=1}^{n}R_{ij}(\varphi (x))X^{i}(p)Y^{j}(p),$

non $X^{1},...,X^{n}$ eta $Y^{1},...,Y^{n}$, $X$ eta $Y$-ren osagaiak diren, $(U,\varphi )$ koordenatuen bektore-eremuei dagokienez.

Ohikoa da aurreko aurkezpen formala estilo honekin laburtzea:

Izan bitez $M$ baritate leuna, eta $g$ riemanniar edo pseudo-riemanniar metrika bat. Koordenatu lokal leunetan, honela definitzen dira Christoffelen ikurrak:

$\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}g^{kl}(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij})$

$R_{jk}=\partial _{i}\Gamma _{jk}^{i}-\partial _{j}\Gamma _{ki}^{i}+\Gamma _{ip}^{i}\Gamma _{jk}^{p}-\Gamma _{jp}^{i}\Gamma _{ik}^{p}$

Zuzenean froga daiteke:

$R_{jk}={\tilde {R}}_{ab}{\frac {\partial {\tilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial {\tilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}}$

Beraz, $R_{ij}$-ek (0,2) tentsio-eremu bat definitzen du $M$-n. Zehazki, $X$ eta $Y$ $M$-ren bektore-eremuak badira, orduan, batek dituen koordenatu leunekin erlazionatuta:

$R_{jk}X^{j}Y^{k}=\left({\tilde {R}}_{ab}{\frac {\partial {\tilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial {\tilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}}\right)\left({\tilde {X}}^{c}{\frac {\partial {x}^{j}}{\partial {\tilde {x}}^{c}}}\right)\left({\tilde {Y}}^{d}{\frac {\partial {x}^{k}}{\partial {\tilde {x}}^{d}}}\right)={\tilde {R}}'{\tilde {X}}^{a}{\tilde {Y}}^{b}$

Azken lerroan, Ric mapa bilineala ongi definituta dagoela frogatzen da, notazio informalarekin idazteko askoz errazagoa baita.

Definizioa bektore eremuen bereizketaren bidez

Onartu dezagun $(M,g)$ barietate riemanniar edo pseudo-riemaniar bat dela n dimentsiokoa,$\nabla$ Levi-Civita koneksioarekin hornitua. $M$-ren Riemann-en tentsoreak $X$, $Y$ eta $Z$ bektore-eremu leunak hartzen ditu, eta bektore-eremua itzultzen du $X$, $Y$ , $Z$ bektore-eremuetan.

$R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z$

Mapatze horren propietate erabakigarria da $X$, $Y$,$Z$ eta $X'$, $Y'$,$Z'$ eremu bektorial ahulak badira eta, $X$ eta $X'$, $Y$ eta $Y'$, eta $Z$ eta $Z'$ -k $T_{p}M$ espazioko elementu bera definitzen badute orduan $R(X,Y)Z$ eta $R(X',Y')Z'$ ere $T_{p}M$-ko elementu bera definitzen dute.

Inplikazioa da Riemann-en kurbadura, a priori eremu bektorialeko sarrerak eta eremu bektorialeko irteera dituen mapatze bat dena, bektore tangentearen sarrerak eta bektore tangentearen irteera dituen mapatze gisa ikus daitekeela. Beraz, $M$-n $p$ bakoitzerako defini dezakegu mapa bat:

$\operatorname {Rm} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to T_{p}M.$

Defini dezagun $p$ bakoitzerako $M$-n $Ric_{p}:T_{p}M\times T_{p}M\rightarrow \mathbb {R}$:

$\operatorname {Ric} _{p}(Y,Z)=\operatorname {tr} {\big (}X\mapsto \operatorname {Rm} _{p}(X,Y,Z){\big )}.$

Hau da, $Y$ eta $Z$ zehaztuz, $v_{1},...,v_{n}$ $T_{p}M$-ko edozein oinarrirentzat defini dezakegu:

$\operatorname {Ric} _{p}(Y,Z)=\sum _{i=1}c_{ii}$

non edozein i finkorentzat $c_{i1},...,c_{in}$ zenbakiak $Rm_{p}(v_{i},Y,Z)$ ren koordenatuak diren $v_{1},...,v_{n}$ oinarrian. Aljebra lineala erabiliz froga daiteke definizio hau ez dagoela oinarriaren menpe.

Definizioen konparazioa

Aurreko bi definizioak berdinak dira. Koordenatuen ikuspegian $\Gamma _{ij}^{k}$ eta $R_{ij}$ definitzen duten formulek paralelo zehatza dute Levi-Civita konexioa eta Levi-Civita konexioaren bidez Riemann-en kurbadura definitzen dituzten formuletan. Esan daiteke tokiko koordenatuek zuzenean erabiltzen dituzten definizioak hobeak direla; izan ere, Riemann-en tenkagailuaren "propietate erabakigarria" dela eta, $M$ Hausdorff izan behar da mantentzeko.

Koordenatu lokalen ikuspegiak, aldiz, atlas uniforme bakarra behar du. Halaber, errazagoa da tokiko ikuspegiaren azpian dagoen "inbariantzaren" filosofia objektu geometriko exotikoagoak eraikitzeko metodoekin lotzea, hala nola, arantza-eremuekin.

Kontuan izan, halaber, $R_{ij}$-ek sarrera-sekzioan definitzen duen formula konplexua hurrengo sekziokoaren berdina dela. Desberdintasun bakarra da terminoak multzokatu egin direla, eta erraza dela ikustea $R_{ij}$= $R_{ji}$ dela.

Propietateak

Ricciren tentsorea Riemannen barietatean simetrikoa da, Bianchiren identitateak frogatzen duten bezala.

$\operatorname {Ric} (X,Y)=\operatorname {Ric} (Y,X)$

edozein $X,Y\in T_{p}M$. Beraz Ricciren tentsorearen algebra lineala guztiz zehaztuta dago $\operatorname {Ric} (X,X)$ kantitaren bidez,  edozein X bektore unitariorako. Funtzio honi bektore unitario tangentzialen multzoan Ricciren kurbadura deritzo, Ricciren kurbadura tentsorea ezagutzearen baliokidea delako.

Ricciren kurbadura guztiz zehaztuta dago Riemannen barietatearen ebakidura kurbaturengatik, hala eta guztiz ere, orokorrean, Riemannen barietatea baino informazio gutxiago dauka. Izan ere, Riemannen n-barietatean $Ric(\xi ,\xi )$ zehaztu dezakegu ebakidura kurbaren batez besteko balioa, ξ barnean daukaten 2-planoen artean, bider (n-1) aldiz eginez. Beti ere ξ bektore unitario bat izanda Riemannen n-barietatean. (n-2) dimentzioko 2-planoetako familia bat dago, beraz bakarrik 2 eta 3 dimentzioetarako Ricciren tentsorea zehazten du guztiz kurbadura tentsorea. Izan ere, erlatibitate orokorrean denbora-espazioa 4 dimentzio dituenez, Ricciren tentsorea ez du guztiz zehazten kurbatura. Salbuespen bakarra barietatea euklidear espazioko hiperplano bat bezala emanten denean sortzen da. Bigarren forma fundamentalan, Gauss-Codazzi ekuazioaren bidez kurbadura osoa zehazten duena, Ricciren tentsorearenn bidez zehaztuta dago. Hiperplanoaren norabide nagusiak baita ere Ricciren tentsorearen autobektoreak ematen dizkigu, arrazoi hauengatik planteatu zuen Riccik bere tentsorea.

Bianchi-ren bigarren identitateagatik:

$\operatorname {div} \operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}dR,$

non R kurbadura eskalarra den, eta ondorengo eran definituta dago:

$R=g^{ij}R_{ij}$

Aurreko ekuazioari baita ere Bianchi-ren bigarren identitate uzkurtua deritzo.

Propietate informalak

Ricciren kurbadura baita ere ikusi daiteke tentsore metrikoaren laplacearra bezala. Koordenatu harmoniko lokaletan ondorengo ekuazioa betetzen da:

$R_{ij}=-{\frac {1}{2}}\Delta \left(g_{ij}\right)+{\text{orden baxuagoko gaiak}}$

non $\Delta =\nabla \cdot \nabla$, zein $g_{ij}$-ren gainean eragiten duen. Honek Ricciren fluxu ekuazioa ekarri zuen, bero ekuazioaren adierazle natural bezala. p puntu bateko koordenatu normaletan honela adierazten da:

$R_{ij}=-{\frac {2}{3}}\Delta \left(g_{ij}\right)$

Esangura geometrikoa

Riemannen barietatearen $(M,g)$ edozein puntutan p, defini daitezke koordenatu geodesiko normalak. Koordenatu hauek esplizituki aukeratuak dira, p puntuak eta jatorria lotzen dituzten geodesikak lerro zuzenak izateko. Beraz, kasu honetan. p puntua eta jatorriaren arteko distantzia, distantzia euklidearra da, horregatik kasu honetan metrika hurbildu dezakegu metrika euklidearrarekin.

$g_{ij}=\delta _{ij}+O\left(|x|^{2}\right)$

Jacobi eremuaren taylorren serie bat egiten badugu geodesika erradial batean zehar koordenatu normaletan hurrengo hurbilketa ateratzen zaigu:

$g_{ij}=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{ikjl}x^{k}x^{l}+O\left(|x|^{3}\right)$

Hurbilketa hau euklidearraren antzekoa da baina $x^{2}$ faktorean Riemannen tentsorea sartuz. Koordenatu hauekin bolumena, bolumen euklidearrarekin alderatuz ateratzen diren desberdintasunak Ricciren tentsorea ematen du.

$d\mu _{g}=\left[1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O\left(|x|^{3}\right)\right]d\mu _{\text{Euklidearra}}$

Beraz Ricciren kurbadura positiboa bada espazioko-denborako zonalde batean, espazio horren bolumena txikiagoa izango da konparatzen baldin badugu geometria euklidearrean beteko zuen espazioarekin. Era berean, Ricciren kurbadura negatiboa bada, izango genukeen bolumena bolumen euklidearrarekin konparatuz txikiagoa izango da.

Ricciren kurbadura ξ barnean hartzen duten planoen arteko batez bestekoa da. Era horrentan, hasieran emititutako konoa sekzio transbersal zirkular bat badauka distorsionatu daiteke elipse batean, hala eta guztiz ere, distorsio hori desagertu daiteke ardatz nagusien artea, beraien distortzioa konpentzatzen delako. Fisikoki, distortzio horren agerpenak ez du masa lokal baten beharra inplikatzen, hasieran zirkularra zen sekzioa eliptiko bihurtzen badu baina bere bolumena ez bada aldatzen, horrek beste leku batean dagoen masa baten marea efektua sorrarazten du.

Aplikazioak

Erlatibitate orokorrean

Ricciren kurbadura tentsoreak garrantzi handia dauka erlatibitate orokorrean, izan ere, Einsteinen eremu ekuazioak Ricciren tentsorearen terminoetan idazten dira:

$G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$

non $G_{\mu \nu }$ Einsteinen kurbadura tentsorea den, $T_{\mu \nu }$ energia-momentu tentsorea, c argiaren abiadura eta G konstante grabitazionala den.

Einsteinen kurbadura tentsorea Ricciren tentsorearen funtzio idatzi daiteke:

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R$

non $R_{\mu \nu }$ Ricciren tentsorea den, $g_{\mu \nu }$ metrika eta R Ricciren kurbadura eskalarra.

Topologian

Ricciren tentsorea baita ere agertzen da Ricciren fluxu ekuazioan, zeinean parametro bakerreko Rimannen metrikaren familia batxuk deribatu partzialen ekuazio diferentzial baten soluzioak diren. Ekuazio hau bero ekuazioaren analogoa da. Beraz bero ekuazioaren analogoa bada  “oreka egoera” batera ailegatzea espero dugu, Einstein edo kurbadura konstantekoa. Baina ez da oreka irudi argirik lortzen barietate batzuek ezin dutelako hainbat metrika jasan.

Traza gabeko Ricciren tentsorea

Riemannen geometria edo pseudo-Riemannen geometrian, trazarik gabeko Ricciren tentsorea Riemannen edo pseudo-Riemannen n-barietatean $(M,g)$ ondorengo tentsorea da:

$Z=\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg$

non Ric eta R, Ricciren tentsorea eta kurbadura eskalara diren hurrenez hurren.

Bere izenak adierazten duen bezala traza gabeko tentsore bat da:

$\operatorname {tr} _{g}Z\equiv g^{ab}Z_{ab}=0$

Tentsore honen bidez Ricciren tentsorearen deskonposizio ortogonala egin daiteke.

Deskonposizio ortogonala

Z tentsorearentzako emandako ekuazioarekin Ricciren tentsorea beste era batean defini dezakegu:

$\operatorname {Ric} =Z+{\frac {1}{n}}Rg$

Erraz ikusten da Ricciren tentsorearen deskonposatzerakoan bi factoreak ortogonalak direla:

$\left\langle Z,{\frac {1}{n}}Rg\right\rangle _{g}\equiv g^{ab}\left(R_{ab}-{\frac {1}{n}}Rg_{ab}\right)=0$

Beste identitate bat honekin estuki erlazionatuta dagoena eta simpleki frogatu daitekena:

$|\operatorname {Ric} |_{g}^{2}=|Z|_{g}^{2}+{\frac {1}{n}}R^{2}.$

Traza gabeko tentsorea eta Einsteinen metrika

Dibergentzia eta Bianchiren bigarren identitatea erabiliz froga daiteke Z=0 kasurako:

${\frac {1}{2}}dR-{\frac {1}{n}}dR=0$

Baita ere lortu daiteke n>2 eta M konektatuta, Z=0 kasurako kurbadura eskalarra konstantea izango dela. Hau guztiagatik ondorengo berdintzak baliokideak dira:

• Z=0
• $\operatorname {Ric} =\lambda g;\;\;\forall \;\lambda$
• $\operatorname {Ric} ={\frac {1}{n}}Rg$

Riemannen konfiguraziorako deskonposizio ortogonala ondorengoa baieztatzen du Z=0 kasurako:

$R^{2}=n|\operatorname {Ric} |^{2}$

Bestalde pseudo-Riemannen konfigurazioan $|Z|_{g}^{2}=0$ ez du zihurtatzen Z=0 izatea, beraz kasu honetan ezan dezakegun gausa bakarra $R^{2}=n|\operatorname {Ric} |_{g}^{2}$ da.

Kasu partikular honetan, traza gabeko Ricciren tentsorean Eistenien batietatea definitzen du $\operatorname {Ric} =\lambda g$ kondizioarekin. Erlatibitate orokorrean, ekuazio honek adierazten du $(M,g)$ konstante kosmologikoarekin Einsteinen eremu ekuazio sinplearen soluzio bat dela.

Kähler-en barietateak

Kähler $X$ barietate batean Ricciren kurbadura tentsoreak lerro sorta kanonikoaren kurbatura forma definitzen du. Lerro sorta kanonikoa Kähler-en diferentzial holomorfoen kanpoko potentzia handiena da:

$\kappa ={\textstyle \bigwedge }^{n}~\Omega _{X}.$

X-n egindako metrikari dagokion Levi-Civita konexioak k-rako konexioa sortzen du. Konexio horren kurbadura honela definitzen da:

$\rho (X,Y)\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\;\operatorname {Ric} (JX,Y)$

non $J$ baita egitura konplexuko mapa, Kähler barietatearen egiturak zehaztutako pakete ukitzailean. Ricciren forma 2-forma itxia da. Haren kohomologia-klasea, benetako faktore konstante bateraino, pakete kanonikoaren lehen Chern klasea da, eta, beraz, $X$-ren inbariante topologikoa da ($X$ trinkoaren kasuan), $X$-ren topologiaren eta homotopia-motaren araberakoa baita. egitura konplexuarena.

Ricciren formak, berriz, Ricciren tentsorea zehazten du:

$\operatorname {Ric} (X,Y)=\rho (X,JY).$

$z^{\alpha }$ koordenatu holomorfo lokaletan, honela adierazten da Ricciren forma:

$\rho =-i\partial {\overline {\partial }}\log \det \left(g_{\alpha {\overline {\beta }}}\right)$

non $\partial$ Dolbeault eragilea baita eta

$g_{\alpha {\overline {\beta }}}=g\left({\frac {\partial }{\partial z^{\alpha }}},{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{\beta }}}\right).$

Ricciren tentsorea desagertzen bada, pakete kanonikoa laua da; beraz, egitura-taldea $SL(n,C)$ talde lineal bereziaren azpitalde batera murritz daiteke. Hala ere, Kähler-en barietateek badute holonomia $U(n)$-n, eta, beraz, Ricciren Kähler lau barietate baten holonomia (murriztua) $SU(n)$ adierazpenean dago. Aldiz, 2-n dimentsioko barietate Riemanniar baten holonomia (mugatua) $SU(n)$ jasota badago, barietatea Kähler-en Ricci aldaera laua da.

Antzeko konexioetara orokortzea

Ricciren tentsorea antzeko konexio arbitrarioetara ere orokortu daiteke; izan ere, inbariantea da, eta zeregin garrantzitsua du geometria proiektiboaren azterketan (parametrizatu gabeko geodesikoei lotutako geometria). $\nabla$-k antzeko konexio bat adierazten badu, $R$ kurbadura-tentsorea honako honek definitzen du, edozein $X,Y,Z$ eremu bektorialerako

$R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z$

Ricciren tentsorea ondorengo traza bezala defini daiteke:

$\operatorname {ric} (X,Y)=\operatorname {tr} {\big (}Z\mapsto R(Z,X)Y{\big )}.$

Egoera orokorrago horretan, Ricciren tentsorea simetrikoa da, baldin eta lokalki konexiorako bolumen forma paralelo bat badago.

Kanpo estekak

• Datuak: Q1195879