گروه تیت-شافارویچ

در هندسه حسابی، گروه تیت-شافارویچ (Tate-Shafarevich Group) (که با نماد ‎Ш(A/K) نمایش داده می‌شود) از واریته آبلی چون A (یا به‌طور کلی تر از یک اسکیم گروهی) که بر روی میدان عددی چون K تعریف شده است، شامل عناصری از گروه ویل-شتله (Weil-Châtelet) است (با نماد $WC(A/K)=H^{1}(G_{K},A)$) که در تمام کامل‌سازی‌های $K$ (یعنی میدان‌های p-ادیک که از $K$ بدست آمده‌اند، به علاوه کامل‌سازی‌های حقیقی و مختلط) بدیهی می‌شود. ازین رو، این گروه را برحسب کوهمولوژی گالوا می‌توان به صورت زیر نوشت:

$\bigcap _{v}\mathrm {ker} \left(H^{1}\left(G_{K},A\right)\rightarrow H^{1}\left(G_{K_{v}},A_{v}\right)\right).$

این گروه توسط سرج لانگ و جان تیت و ایگور شافارویچ معرفی شد. کسِلز نماد ‎Ш(A/K) را معرفی نمود که در آن Ш الفبای سیریلیک «شا» است که اول اسم شافارویچ است. او این نماد را جایگزین نماد قدیمی‌تر TS ساخت.

منابع

• Cassels, John William Scott (1962), "Arithmetic on curves of genus 1. III. The Tate–Šafarevič and Selmer groups", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 12: 259–296, doi:10.1112/plms/s3-12.1.259, ISSN 0024-6115, MR 0163913
• Cassels, John William Scott (1962b), "Arithmetic on curves of genus 1. IV. Proof of the Hauptvermutung", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 211 (211): 95–112, doi:10.1515/crll.1962.211.95, ISSN 0075-4102, MR 0163915
• Cassels, John William Scott (1991), Lectures on elliptic curves, London Mathematical Society Student Texts, vol. 24, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9781139172530, ISBN 978-0-521-41517-0, MR 1144763
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Diophantine geometry: an introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 201, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98981-5
• Greenberg, Ralph (1994), "Iwasawa Theory and p-adic Deformation of Motives", in Serre, Jean-Pierre; Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven L. (eds.), Motives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1637-0
• Kolyvagin, V. A. (1988), "Finiteness of E(Q) and SH(E,Q) for a subclass of Weil curves", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya, 52 (3): 522–540, 670–671, ISSN 0373-2436, 954295
• Lang, Serge; Tate, John (1958), "Principal homogeneous spaces over abelian varieties", American Journal of Mathematics, 80 (3): 659–684, doi:10.2307/2372778, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372778, MR 0106226
• Lind, Carl-Erik (1940). Untersuchungen über die rationalen Punkte der ebenen kubischen Kurven vom Geschlecht Eins (Thesis). Vol. 1940. University of Uppsala. 97 pp. MR 0022563.
• Poonen, Bjorn; Stoll, Michael (1999), "The Cassels-Tate pairing on polarized abelian varieties", Annals of Mathematics, Second Series, 150 (3): 1109–1149, arXiv:math/9911267, doi:10.2307/121064, ISSN 0003-486X, JSTOR 121064, MR 1740984
• Rubin, Karl (1987), "Tate–Shafarevich groups and L-functions of elliptic curves with complex multiplication", Inventiones Mathematicae, 89 (3): 527–559, Bibcode:1987InMat..89..527R, doi:10.1007/BF01388984, ISSN 0020-9910, MR 0903383
• Selmer, Ernst S. (1951), "The Diophantine equation ax³+by³+cz³=0", Acta Mathematica, 85: 203–362, doi:10.1007/BF02395746, ISSN 0001-5962, MR 0041871
• Shafarevich, I. R. (1959), "The group of principal homogeneous algebraic manifolds", Doklady Akademii Nauk SSSR (به روسی), 124: 42–43, ISSN 0002-3264, MR 0106227 English translation in his collected mathematical papers
• Stein, William A. (2004), "Shafarevich–Tate groups of nonsquare order" (PDF), Modular curves and abelian varieties, Progr. Math., vol. 224, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, pp. 277–289, MR 2058655
• Swinnerton-Dyer, P. (1967), "The conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer, and of Tate", in Springer, Tonny A. (ed.), Proceedings of a Conference on Local Fields (Driebergen, 1966), Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 132–157, MR 0230727
• Tate, John (1958), WC-groups over p-adic fields, Séminaire Bourbaki; 10e année: 1957/1958, vol. 13, Paris: Secrétariat Mathématique, MR 0105420
• Tate, John (1963), "Duality theorems in Galois cohomology over number fields", Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Stockholm, 1962), Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, pp. 288–295, MR 0175892, archived from the original on 2011-07-17
• Weil, André (1955), "On algebraic groups and homogeneous spaces", American Journal of Mathematics, 77 (3): 493–512, doi:10.2307/2372637, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372637, MR 0074084