« Norme (mathématiques) » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Balises : Modification par mobile Modification par application mobile Modification avec l’application Android |
|||
Ligne 56 :
=== Premières propriétés ===
* La norme est '''sous-linéaire''', c'est-à-dire qu'elle vérifie la propriété suivante :<center><math>\forall (\lambda,x,y) \in K\times E^2\ ,\ \|\lambda x + y\| \leq |\lambda|\|x\| + \|y\|,</math>Proof: <math>\forall a,b\in\mathbb{R}, we\;have \sqrt{ab}\geq 0,\; \textrm{ then } \;a+b+2\sqrt{ab}\geq a+b
\; so\;(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\geq \;(\sqrt{a+b})^2. </math> </center>qui se généralise par [[Raisonnement par récurrence|récurrence]] en :<center><math> \|\lambda_1 x_1 +\ldots+ \lambda_n x_n\| \le| \lambda_1|\|x_1\|+\ldots+|\lambda_n|\|x_n\|.</math></center> * La séparation et l'homogénéité garantissent les propriétés de séparation et de symétrie de la fonction<center><math>d \colon (x,y) \mapsto \|y-x\|.</math></center>(Pour la symétrie, on utilise que [[Valeur absolue#Valeur absolue sur un corps|<math>\mid -e\mid = 1</math>]], où ''e'' désigne le [[Élément neutre|neutre]] multiplicatif de ''K'', d'où, pour tout vecteur ''z'', ║–''z''║ = ║(–''e'')''z''║ = |–''e''|║''z''║ = ║''z''║.)<br />La sous-additivité justifie alors l'[[inégalité triangulaire]],<center><math>\|z - x\| \leq \|z - y\| + \|y - x\|,</math></center>nécessaire pour montrer que {{math|''d''}} est une [[distance (mathématiques)|distance]] sur ''E'', qui plus est invariante par translation.<br />Un espace vectoriel normé est donc un [[espace métrique]] homogène et la [[Espace topologique|topologie]] associée est [[espace vectoriel topologique#Définition|compatible]] avec les opérations vectorielles.
* La sous-additivité permet d'obtenir la propriété suivante :<center><math>\forall (x,y) \in E^2\ ,\ \big| \|x\|- \|y\|\big| \leq \|x-y\|,</math></center>qui montre que la norme est une application [[application lipschitzienne|1-lipschitzienne]] donc [[continue]].
| |||