Utilisateur:Robert FERREOL/Brouillon

En mathématiques

Forme réduite

Comme Euler, on peut considérer que les $n$ éléments du carré latin sont les entiers de 1 à $n$.

Une permutation sur les colonnes ou sur les lignes ne changeant pas le caractère latin du carré, une des $n!$ permutations des colonnes permet d'obtenir un carré latin de première ligne $1,2,\cdots ,n$ dans cet ordre, puis l'une des $(n-1)!$ permutations des $n-1$ autres lignes permet d'obtenir un carré de première colonne $1,2,\cdots ,n$ dans cet ordre.

Un tel carré est dit réduit ou normalisé, et tout carré latin possède une unique forme réduite.

Le nombre $L_{n}$ de carrés latins d'ordre $n$ est donc égal à $n!(n-1)!$ fois le nombre $L'_{n}$ de carrés latins réduits. En voici les premières valeurs :

n	$L'_{n}$ , nombre de carrés latins réduits suite A000315 de l'OEIS	$L_{n}$, nombre de carrés latins suite A002860 de l'OEIS
1	1	1
2	1	2
3	1	12
4	4	576
5	56	161 280

Isotopie

Carré latin correspondant au groupe cyclique (Z/3Z; +)

${\begin{bmatrix}0&1&2\\1&2&0\\2&0&1\\\end{bmatrix}}\quad \quad$

En revanche il existe deux carrés latins d'ordre 4 (si l'on ne tient pas compte des permutations ou des éventuelles bijections sur les n éléments) :

Carré latin correspondant au groupe cyclique (Z/4Z; +)	${\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\\2&3&0&1\\3&0&1&2\\\end{bmatrix}}$
Carré latin correspondant au groupe de Klein	${\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&0&3&2\\2&3&0&1\\3&2&1&0\\\end{bmatrix}}$

Les carrés latins sont les tables de Cayley de quasigroupes finis et ont un lien étroit avec les carrés magiques.