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« Octaèdre » : différence entre les versions

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[[File:Octaedro regular 3D.stl|thumb|150px|Octaèdre régulier 3D]]
{{Polyèdre
En [[géométrie]], un '''octaèdre''' (du [[grec ancien|grec]] ''oktô'', huit et ''hedra'', face) est un [[polyèdre]] à huit faces.
| nom=Octaèdre
| image=[[image:Octahedron.gif|Video|180px|Octaèdre]]
| type=[[Polyèdre régulier]]
| faces=[[Triangle]]
| nb_faces=8
| nb_arêtes=12
| nb_sommets=6
| caractéristique=2
| faces_par_sommet=4
| sommets_par_face=3
| isométries=[[Symétrie octaédrale|O<sub>h</sub>]]
| dual=[[Cube]]
| propriétés=[[Deltaèdre]] [[Polyèdre régulier|régulier]] et [[polyèdre convexe|convexe]]
}}


== Présentation ==
Un '''octaèdre''' (du [[grec ancien|grec]] ''oktô'', huit et ''hedra'', face) est un [[polyèdre]] à huit faces. Si ses faces sont triangulaires, il possède alors douze arêtes et six sommets.
Certains octaèdres satisfont des conditions de symétrie ou de régularité des faces :

* l'[[octaèdre régulier]],
Par exemple,  une [[pyramide]] heptagonale est un octaèdre,  dont les huit faces sont sa base heptagonale et ses sept faces triangulaires :  1 + 7 = 8.  Puisque  2 + 6 = 8,  une infinité de [[Prisme|prismes]] sont des octaèdres,   dont deux faces sont des hexagones.
* le [[prisme hexagonal]],

* la [[pyramide]] à base [[heptagone|heptagonale]],
== L'octaèdre régulier ==
* le [[tétraèdre tronqué]],

* le [[trapézoèdre]] tétragonal.
Un '''octaèdre régulier''' est un [[Polyèdre régulier|solide de Platon]] composé de huit faces dont chacune est un [[triangle]] équilatéral, se joignant quatre à quatre à chaque sommet. Platon, dans ses travaux, a voulu expliquer la matière par cinq éléments, et a utilisé des polyèdres réguliers pour les symboliser, l'octaèdre représentait l'élément « air »<ref>''Les cinq éléments de Platon'' : [[Solide de Platon#Histoire|Histoire du solide de Platon]]</ref>.
Un octaèdre dont toutes les faces sont triangulaires possède douze arêtes et six sommets.

<gallery>
L'aire ''A'' et le volume ''V'' de l'octaèdre régulier d'arête ''a'' valent respectivement :
Fichier:Octahedron.svg | Octaèdre régulier
:<math>A=2\sqrt{3}a^2 \quad {et} \quad V={1\over3}\sqrt{2}a^3</math>
Fichier:Hexagonal_prism.png | Prisme hexagonal
L'octaèdre régulier est un genre spécial d'antiprisme triangulaire et de bipyramide carrée.
Fichier:Truncated_tetrahedron.png | Tétraèdre tronqué

Fichier:Tetragonal_trapezohedron.png | Trapézoèdre tétragonal
[[Image:Octahedron flat.svg|230px|left|[[Patron (géométrie)|Patron]] de l'octaèdre régulier]]C'est aussi le dual du [[cube]], c'est-à-dire que c'est le polyèdre obtenu en prenant pour sommets les centres des faces d'un cube, et en joignant les sommets qui correspondent à des faces adjacentes. En conséquence, on peut faire correspondre aux sommets et aux faces de l'octaèdre les faces et les sommets du cube.
</gallery>

Les coordonnées canoniques pour les sommets d'un octaèdre centré à l'origine sont (±1,0,0), (0, ±1, 0), (0,0,±1).

Comme il a trois sommets par face, et quatre faces par sommet, son [[symbole de Schläfli]] est {3,4}.

Le squelette de l'octaèdre régulier, l'ensemble de ses sommets reliés par ses arêtes, forme un [[théorie des graphes|graphe]] appelé [[graphe octaédrique]].

== Généralisation ==
L''''hyperoctaèdre''' (ou '''polytope croisé''', ou orthoplexe, ou encore n-octaèdre) est la généralisation de l'octaèdre en n dimensions.

Le n-octaèdre est le [[dual]] du n-cube ([[hypercube]] à n dimensions) : pour obtenir un n-octaèdre on relie entre eux les centres des faces (de dimension ''n-1'') d'un n-cube.

L'hyperoctaèdre est, avec l'[[hypercube]] et le n-[[simplexe]], un des '''trois seuls polytopes existant sous forme régulière dans toute dimension n'''. Les polytopes réguliers sont en effet une infinité en dimension 2 (voir [[polygone régulier]]), 5 en dimension 3 (voir [[solide de Platon]]), 6 en dimension 4, et après ils ne sont plus que 3, comme [[Ludwig Schläfli]] l'a démontré.

Le [[symbole de Schläfli]] d'un n-octaèdre est de la forme {3,3,3,…,3,4} avec ''(n-1)'' chiffres.

Les '''coordonnées des sommets''' d'un hyperoctaèdre centré à l'origine sont obtenues en permutant les coordonnées (±1,0,0,0,...,0,0).

{| class="wikitable centre"
|+Les premiers hyperoctaèdres
|-
| Hyperoctaèdre
! Carré
! Octaèdre
! Hexadécachore ou 16-cellules
! 5-octaèdre
|-
| width="20%" | Dimension
| width="20%" | 2
| width="20%" | 3
| width="20%" | 4
| width="20%" | 5
|-
| width="20%" | Sommets
| width="20%" | 4
| width="20%" | 6
| width="20%" | 8
| width="20%" | 10
|-
| width="20%" | Représentation
| width="20%" | [[Fichier:Cross graph 2.svg|150px]]
| width="20%" | [[Fichier:Octahedron.svg|150px]]
| width="20%" | [[Fichier:16-cell.gif|150px]]
| width="20%" | [[Fichier:Cross graph 5.svg|150px]]
|}

=== Hypervolume d'un hyperoctaèdre régulier ===
L''''hypervolume''' d'un polytope est le contenu n-dimensionnel de ce polytope. Soit ''a'' son arête.

Pour construire un '''(n+1)-octaèdre''', on relie les ''2n'' sommets d'un n-octaèdre à un nouveau point au-dessus et à un nouveau point au-dessous.
* Ainsi, un segment dont les extrémités sont reliées à un point au-dessus et à un point au-dessous donne un carré (on supposera que les points ont été placés de sorte à donner un hyperoctaèdre régulier).
* Un carré dont les sommets sont reliés à un point au-dessus et à un point au-dessous donne un octaèdre.
* Un octaèdre dont les sommets sont reliés à un point au-dessus et à un point en dessous (situés dans une autre dimension) donne bien un hexadécachore.

L'hyperoctaèdre est donc une double [[Pyramide#Généralisation aux dimensions supérieures|hyperpyramide]] (à base hyperoctaédrique de dimension inférieure). Etant régulier dans le cas étudié, ses sommets sont tous sur une n-sphère circonscrite. Cette n-sphère circonscrite est également celle de ses faces hyperoctaèdriques de dimensions inférieures, car tous les sommets de l'hyperoctaèdre régulier sont dessus. Le rayon du centre de cette n-sphère aux sommets est donc le même pour toute dimension n : <math>R_n = \frac{a\sqrt{2}}{2}</math>

L'hypervolume est celui de deux hyper-pyramides de hauteur <math>R_n</math>. On en déduit donc que l'hypervolume (le n-contenu) d'un n-octaèdre régulier d'arête ''a'' vaut :

<math>V_n = \frac{V_{n-1} \times R_n}{n} \times 2 = \frac{(a\sqrt{2})^n}{n!}</math>

Exemples :
* Aire du [[carré]] : <math>V_2 = \frac{(a\sqrt{2})^2}{1 \times 2} = a^2</math>
* Volume de l''''octaèdre régulier''' : <math>V_3 = \frac{(a\sqrt{2})^3}{1 \times 2 \times 3} = \frac{a^3 \sqrt{2}}{3}</math>
* Hypervolume de l''''hexadécachore''' : <math>V_4 = \frac{(a\sqrt{2})^4}{1 \times 2 \times 3 \times 4} = \frac{a^4}{6}</math>
...

(On suppose dans cette formule que le seul n-octaèdre à ne pas avoir une longueur d'arête égale à ''a'' est le segment (1-octaèdre), qui a dans ce cas pour longueur <math>a\sqrt{2}</math> (diagonale d'un carré) pour donner bien un carré de côté ''a'' avec la méthode de construction donnée)


== L'octaèdre articulé ==
== L'octaèdre articulé ==
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</ref>.
</ref>.


== Annexes ==
== Notes et références ==
{{Références|taille= }}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
=== Bibliographie ===
*{{Ouvrage|langue= anglais |prénom1= H. S. M. |nom1= Coxeter |lien auteur1= H. S. M. Coxeter |lien auteur= H. S. M. Coxeter |titre= Regular Polytopes |sous-titre=|lien titre=|numéro d'édition= 3 |lien éditeur= Dover Publications |éditeur= Dover Publications |lieu= New York |année= 1973 |tome=|volume=|pages totales=|isbn= 978-0-486-61480-9 |lccn= 73084364 |passage= 121–122 |lire en ligne=|consulté le=}} p.296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5)
*{{Ouvrage|langue=en|prénom1=H. S. M.|nom1=Coxeter|lien auteur1=H. S. M. Coxeter|titre=Regular Polytopes|lieu=New York|éditeur=[[Dover Publications]]|année=1973|numéro d'édition=3|pages totales=321|passage=121–122|isbn=978-0-486-61480-9|lccn=73084364|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=iWvXsVInpgMC&printsec=frontcover}} p.296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5)


=== Notes et références ===
=== Articles connexes ===
* A sept ou neuf faces
{{Références}}
** [[heptaèdre]]
** [[ennéaèdre]]


== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* L'octaèdre régulier est un :
* L'octaèdre régulier est un :
** [[polyèdre]]
** [[polyèdre]]
Ligne 117 : Ligne 41 :
** [[Hypercube]], dual de l'hyperoctaèdre
** [[Hypercube]], dual de l'hyperoctaèdre
** n-[[simplexe]]
** n-[[simplexe]]
** [[Cuboctaèdre]]


=== Liens externes ===
=== Liens externes ===
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** [http://mathworld.wolfram.com/16-Cell.html L'hexadécachore ou 16-cellules]
** [http://mathworld.wolfram.com/16-Cell.html L'hexadécachore ou 16-cellules]


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[[en:Octahedron]]
[[eo:Okedro]]
[[es:Octaedro]]
[[et:Korrapärane oktaeeder]]
[[eu:Oktaedro]]
[[fa:هشت‌وجهی]]
[[fi:Oktaedri]]
[[he:תמניון]]
[[hr:Oktaedar]]
[[is:Áttflötungur]]
[[it:Ottaedro]]
[[ja:正八面体]]
[[ko:정팔면체]]
[[la:Octahedron]]
[[lv:Oktaedrs]]
[[nl:Octaëder]]
[[nn:Oktaeder]]
[[no:Oktaeder]]
[[pl:Ośmiościan foremny]]
[[pt:Octaedro]]
[[ru:Октаэдр]]
[[sh:Oktaedar]]
[[simple:Octahedron]]
[[sl:Oktaeder]]
[[sq:Oktaedri i rregullt]]
[[sr:Октаедар]]
[[sv:Oktaeder]]
[[ta:எண்முக முக்கோணகம்]]
[[th:ทรงแปดหน้า]]
[[tr:Sekiz yüzlü]]
[[uk:Октаедр]]
[[zh:正八面體]]

Dernière version du 19 avril 2021 à 06:26

Octaèdre régulier 3D

En géométrie, un octaèdre (du grec oktô, huit et hedra, face) est un polyèdre à huit faces.

Présentation

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Certains octaèdres satisfont des conditions de symétrie ou de régularité des faces :

Un octaèdre dont toutes les faces sont triangulaires possède douze arêtes et six sommets.

  • Octaèdre régulier
    Octaèdre régulier
  • Prisme hexagonal
    Prisme hexagonal
  • Tétraèdre tronqué
    Tétraèdre tronqué
  • Trapézoèdre tétragonal
    Trapézoèdre tétragonal

L'octaèdre articulé

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Il existe des octaèdres flexibles, ce sont les polyèdres déformables de taille minimale. Comme l'a prouvé Cauchy, ils ne peuvent pas être convexes[1].

Notes et références

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  1. ↑ Voir Bricard R. Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé, in Journal de Mathématiques pures et appliquées, Liouville, tome 3:113-148, 1897

Voir aussi

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Bibliographie

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Articles connexes

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Liens externes

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v · m
1–10 faces
11–20 faces
Autres
Description
Voir aussi
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