Exponentielle intégrale

En mathématiques, l'exponentielle intégrale Ei(x) est définie par :

${\mbox{Ei}}(x)=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t\,=\int _{-\infty }^{x}{\frac {{\rm {e}}^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t.$

Comme l'intégrale de 1/t diverge en 0, cette définition doit être comprise en termes de valeur principale de Cauchy.

L'exponentielle intégrale de x

Représentation graphique des fonctions E₁ (en haut) et Ei (en bas)

L'exponentielle intégrale a pour développement en série :

${\mbox{Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k\;k!}},$

où γ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Elle est reliée à une autre fonction définie par :

${\rm {E}}_{1}(x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t=-\int _{-\infty }^{-x}{\frac {{\rm {e}}^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t.$

Cette fonction étend l'exponentielle intégrale aux réels négatifs compte tenu de l'identité :

${\rm {Ei}}(-x)=-{\rm {E}}_{1}(x).$

Les deux fonctions s'expriment en fonction de la fonction entière définie par :

${\rm {Ein}}(x)=\int _{0}^{x}(1-{\rm {e}}^{-t})\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k\;k!}}.$

En effet, on peut écrire :

${\rm {E}}_{1}(x)=-\gamma -\ln x+{\rm {Ein}}(x)$

et

${\rm {Ei}}(-x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ein}}(x).$

Calcul de $\mathrm {E_{1}} (z)$

Différentes méthodes peuvent être utilisées afin de calculer E₁(x) en double précision.

Pour x compris entre 0 et 2,5

On a :

$\mathrm {E_{1}} (z)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}\qquad (|\mathrm {Arg} (z)|<\pi ).$

La somme est convergente pour tout x réel positif, mais avec les opérations à virgule flottantes, le résultat est inexact pour x > 2,5 à cause de la perte de précision relative quand on soustrait des nombres d'ordres de grandeurs différents.

Pour x > 40

Erreur relative de l'approximation asymtotique pour diverses valeurs du nombre N de termes de la somme partielle : N = 1 (rouge), 2 (vert), 3 (jaune), 4 (bleu) et 5 (rose)

Il existe une série divergente permettant d'approcher E₁ pour les grandes valeurs de Re(z), obtenue par intégration par parties, qui donne le développement asymptotique suivant :

$\mathrm {E_{1}} (z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}+o\left({\frac {\exp(-z)}{z^{N}}}\right).$

Afin d'avoir une précision de 64 bit (double précision), il faut utiliser la valeur N = 40.^{[réf. souhaitée]}

Pour x compris entre 2,5 et 40

L'algorithme suivant permet d'obtenir les valeurs de E₁(x) dans l'intervalle [2,5; 40] :

    Function MediumE1(ByVal x As Double) As Double
        If x < 2.5 Or x > 40 Then Return 0
        Dim result As Double = 1
        For n As Integer = 40 To 1 Step -1   '40 peut être changé pour ajuster la précision
            result = 2 - 1 / result + x / n
        Next
        Return (1 - 1 / result) / x * Math.Exp(-x)
    End Function

Références

(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 228-230

Voir aussi

• Logarithme intégral
• Cosinus intégral
• Sinus intégral
• Fonction gamma incomplète