« Exponentielle intégrale » : différence entre les versions

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Version du 8 mai 2017 à 20:24

En mathématiques, la fonction exponentielle intégrale, habituellement notée $Ei$ , est définie par :

{\mbox{Ei}}:{\begin{cases}\mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} \\x\mapsto {\mbox{Ei}}(x)=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t\,=\int _{-\infty }^{x}{\frac {{\rm {e}}^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t.\end{cases}}

Comme l'intégrale de la fonction inverse ( $t\mapsto {\frac {1}{t}}$ ) diverge en 0, cette définition doit être comprise, si $x>0$ , comme une valeur principale de Cauchy.

Représentation graphique de la fonction exponentielle intégrale.

Lien avec le logarithme intégral

La fonction Ei est liée à la fonction $li$ (logarithme intégral) par :

${\rm {Ei}}(x)=\operatorname {li} \left(\mathrm {e} ^{x}\right)$ .

Développement en série de Ei

L'exponentielle intégrale a pour développement en série :

{\mbox{Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k\;k!}},

où $γ$ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Elle est reliée à une autre fonction définie par :

{\rm {E}}_{1}(x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t=-\int _{-\infty }^{-x}{\frac {{\rm {e}}^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t.

Cette fonction étend l'exponentielle intégrale aux réels négatifs compte tenu de l'identité :

{\rm {Ei}}(-x)=-{\rm {E}}_{1}(x).

Les deux fonctions s'expriment en fonction de la fonction entière définie par :

{\rm {Ein}}(x)=\int _{0}^{x}(1-{\rm {e}}^{-t})\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k\;k!}}.

En effet, on peut écrire :

{\rm {E}}_{1}(x)=-\gamma -\ln x+{\rm {Ein}}(x)

et

{\rm {Ei}}(-x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ein}}(x).

Calcul de $E 1$

Différentes méthodes peuvent être utilisées afin de calculer $E 1 (x)$ en double précision.

Pour x compris entre 0 et 2,5

On a :

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikipedia.org/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{E_1}(z) =-\gamma-\ln z+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1} z^k}{k\; k!} \qquad (|\arg z| < \pi).}

La somme est convergente pour tout $x$ réel positif, mais avec les opérations à virgule flottante, le résultat est inexact pour $x > 2,5$ à cause de la perte de précision relative quand on soustrait des nombres d'ordres de grandeur différents.

Pour x > 40

Erreur relative de l'approximation asymtotique pour diverses valeurs du nombre N de termes de la somme partielle : N = 1 (rouge), 2 (vert), 3 (jaune), 4 (bleu) et 5 (rose)

Il existe une série divergente permettant d'approcher $E 1$ pour les grandes valeurs de $Re(z)$ , obtenue par intégration par parties^[1], qui donne le développement asymptotique suivant :

\mathrm {E_{1}} (z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}+o\left({\frac {\exp(-z)}{z^{N}}}\right).

Afin d'avoir une précision de 64 bit (double précision), il faut utiliser la valeur $N = 40$ .^{[réf. souhaitée]}

Références

↑ (en) Norman Bleistein et Richard A. Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, 1975 (ISBN 978-0-486-65082-1), p. 3.

(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 228-230

Voir aussi

Portail de l'analyse

[1] (en) Norman Bleistein et Richard A. Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, 1975 (ISBN 978-0-486-65082-1), p. 3.

[1]

@@ Ligne 3 : / Ligne 3 : @@
 :<math>\mbox{Ei}:\begin{cases}\R^*\to\R \\x\mapsto \mbox{Ei}(x)=-\int_{-x}^{\infty} \frac{{\rm e}^{-t}}t\,\mathrm dt\, = \int_{-\infty}^x\frac{{\rm e}^{t}}t\,\mathrm dt.\end{cases}</math>
+Comme l'[[intégration (mathématiques)|intégrale]] de la [[fonction inverse]] (<math>t \mapsto \frac1t</math>) diverge en 0, cette définition doit être comprise, si <math>x>0</math>, comme une [[valeur principale de Cauchy]].
+[[File:ExpIntegralEi.png|thumb|[[Représentation graphique d'une fonction mathématique|Représentation graphique de la fonction]] exponentielle intégrale.]]
-Comme l'[[intégration (mathématiques)|intégrale]] de la [[fonction inverse]] (<math>t \mapsto \frac{1}{t}</math>) diverge en 0, cette définition doit être comprise en termes de [[valeur principale de Cauchy]].
+== Lien avec le logarithme intégral==
-[[File:ExpIntegralEi.png|thumb|L'exponentielle intégrale de x]]
+La fonction Ei est liée à la fonction {{math|li}} ([[logarithme intégral]]) par :
+<math>{\rm Ei}(x)=\operatorname{li}\left(\mathrm e^x\right)</math>.
-== Lien avec Li(x) ==
-La fonction Ei(x) est liée à la fonction [[logarithme intégral]] notée Li(x) pour x ≠ 0 avec :
-<math>{\rm Ei}(x)={\rm li} (e^{x})</math>
-Le logarithme intégrale n'est pas la fonction réciproque de l'exponentielle intégrale.
 == Développement en série de Ei ==
-[[File:Exponential integral.svg|thumb|upright=1.5|[[Représentation graphique d'une fonction mathématique|Représentation graphique des fonctions]] {{math|E{{ind|1}}}} (en haut) et {{math|Ei}} (en bas).]]
+[[File:Exponential integral.svg|thumb|upright=1.5|Représentation graphique des fonctions {{math|E{{ind|1}}}} (en haut) et {{math|Ei}} (en bas).]]
 L'exponentielle intégrale a pour développement en [[série (mathématiques)|série]] :
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 On a :
-:<math>\mathrm{E_1}(z) =-\gamma-\ln z+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1} z^k}{k\; k!} \qquad (|\mathrm{Arg}(z)| < \pi).</math>
+:<math>\mathrm{E_1}(z) =-\gamma-\ln z+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1} z^k}{k\; k!} \qquad (|\arg z| < \pi).</math>
-La somme est convergente pour tout {{math|''x''}} réel positif, mais avec les opérations à virgule flottantes, le résultat est inexact pour {{math|''x'' > 2,5}} à cause de la perte de précision relative quand on soustrait des nombres d'ordres de grandeurs différents.
+La somme est convergente pour tout {{math|''x''}} réel positif, mais avec les opérations à virgule flottante, le résultat est inexact pour {{math|''x'' > 2,5}} à cause de la perte de précision relative quand on soustrait des nombres d'ordres de grandeur différents.
 === Pour x > 40 ===
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 == Voir aussi ==
-* [[Logarithme intégral]]
 * [[Cosinus intégral]]
 * [[Sinus intégral]]