« Exponentielle intégrale » : différence entre les versions
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:<math>\mathrm{E_1}\left(z\right)=-\gamma-\ln z+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1} z^k}{k\; k!} \qquad\left(\left|\arg z\right|<\pi\right).</math> |
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Cette [[série convergente]] peut théoriquement être utilisée pour calculer {{math|E{{ind|1}}(''x'')}} pour tout réel {{math|''x'' > 0}} mais avec les opérations à [[virgule flottante]], le résultat est inexact pour {{math|''x'' > 2,5}} à cause de la [[Erreur d'approximation|perte de précision relative]] quand on soustrait des nombres d'ordres de grandeur différents. |
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=== Pour x > 40 === |
=== Pour x > 40 === |
Version du 8 mai 2017 à 21:41
En mathématiques, la fonction exponentielle intégrale, habituellement notée Ei, est définie par :
Comme l'intégrale de la fonction inverse () diverge en 0, cette définition doit être comprise, si , comme une valeur principale de Cauchy.
Lien avec le logarithme intégral
La fonction Ei est liée à la fonction li (logarithme intégral) par :
.
Développement en série de Ei
L'exponentielle intégrale a pour développement en série :
où γ est la constante d'Euler-Mascheroni.
Elle est reliée à une autre fonction définie par :
Cette fonction étend l'exponentielle intégrale aux réels négatifs compte tenu de l'identité :
Les deux fonctions s'expriment en fonction de la fonction entière définie par :
En effet, on peut écrire :
et
Calcul de E1
Différentes méthodes peuvent être utilisées afin de calculer E1(x) en double précision.
Pour x compris entre 0 et 2,5
On a :
Cette série convergente peut théoriquement être utilisée pour calculer E1(x) pour tout réel x > 0 mais avec les opérations à virgule flottante, le résultat est inexact pour x > 2,5 à cause de la perte de précision relative quand on soustrait des nombres d'ordres de grandeur différents.
Pour x > 40
Il existe une série divergente permettant d'approcher E1 pour les grandes valeurs de Re(z), obtenue par intégration par parties[1], qui donne le développement asymptotique suivant :
Afin d'avoir une précision de 64 bit (double précision), il faut utiliser la valeur N = 40.[réf. souhaitée]
Références
- (en) Norman Bleistein et Richard A. Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, (ISBN 978-0-486-65082-1), p. 3.
(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 228-230