Exponentielle intégrale

En mathématiques, la fonction exponentielle intégrale, habituellement notée Ei, est définie par :

${\mbox{Ei}}:{\begin{cases}\mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} \\x\mapsto {\mbox{Ei}}(x)=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t\,=\int _{-\infty }^{x}{\frac {{\rm {e}}^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t.\end{cases}}$

Comme l'intégrale de la fonction inverse ($t\mapsto {\frac {1}{t}}$) diverge en 0, cette définition doit être comprise, si $x>0$, comme une valeur principale de Cauchy.

Représentation graphique de la fonction exponentielle intégrale.

Lien avec le logarithme intégral

La fonction Ei est liée à la fonction li (logarithme intégral) par :

${\rm {Ei}}(x)=\operatorname {li} \left(\mathrm {e} ^{x}\right)$.

Développement en série de Ei

Représentation graphique des fonctions E₁ (en haut) et Ei (en bas).

L'exponentielle intégrale a pour développement en série :

${\mbox{Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k\;k!}},$

où γ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Elle est reliée à une autre fonction définie par :

${\rm {E}}_{1}(x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t=-\int _{-\infty }^{-x}{\frac {{\rm {e}}^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t.$

Cette fonction étend l'exponentielle intégrale aux réels négatifs compte tenu de l'identité :

${\rm {Ei}}(-x)=-{\rm {E}}_{1}(x).$

Les deux fonctions s'expriment en fonction de la fonction entière définie par :

${\rm {Ein}}(x)=\int _{0}^{x}(1-{\rm {e}}^{-t})\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k\;k!}}.$

En effet, on peut écrire :

${\rm {E}}_{1}(x)=-\gamma -\ln x+{\rm {Ein}}(x)$

et

${\rm {Ei}}(-x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ein}}(x).$

Calcul de E₁

La fonction E₁ ne possède pas d’expression à l’aide des fonctions élémentaires usuelles, d’après un théorème dû à Liouville. Différentes méthodes peuvent être utilisées afin de calculer E₁(x) en double précision.

Pour x compris entre 0 et 2,5

On a :

$\mathrm {E_{1}} \left(z\right)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}\qquad \left(\left|\arg z\right|<\pi \right).$

Cette série convergente peut théoriquement être utilisée pour calculer E₁(x) pour tout réel x > 0 mais avec les opérations à virgule flottante, le résultat est inexact pour x > 2,5 à cause de la perte de précision relative quand on soustrait des nombres d'ordres de grandeur différents.

Pour x > 40

Erreur relative de l'approximation asymtotique pour diverses valeurs du nombre N de termes de la somme partielle : N = 1 (rouge), 2 (vert), 3 (jaune), 4 (bleu) et 5 (rose)

Il existe une série divergente permettant d'approcher E₁ pour les grandes valeurs de Re(z), obtenue par intégration par parties, qui donne le développement asymptotique suivant :

$\mathrm {E_{1}} (z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}+o\left({\frac {\exp(-z)}{z^{N}}}\right).$

Afin d'avoir une précision de 64 bit (double précision), il faut utiliser la valeur N = 40.^{[réf. souhaitée]}

Références

(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 228-230

Voir aussi

• Cosinus intégral
• Sinus intégral
• Fonction gamma incomplète
• Fonction de Bickley-Naylor