Lemme des noyaux

En algèbre linéaire, le lemme des noyaux, aussi appelé théorème de décomposition des noyaux, est un résultat sur la réduction des endomorphismes. Dans un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, si un opérateur u de E est annulé par un polynôme P(X) à coefficients dans K, alors ce lemme prévoit une décomposition de E comme somme directe de sous-espaces vectoriels stables par u. Ces derniers se définissent comme noyaux de polynômes en u et les projecteurs associés sont eux-mêmes des polynômes en u.

La démonstration traduit l'identité de Bézout portant sur les polynômes à des sous-espaces vectoriels. Résultat fondamental, le lemme des noyaux conduit à la décomposition de Dunford puis à la décomposition de Jordan. Plus modestement, le lemme des noyaux montre qu'un opérateur u est diagonalisable si et seulement s'il est annulé par un polynôme scindé à racines simples.

Énoncé

Lemme des noyaux — Soient E un espace vectoriel sur un corps commutatif K et f un endomorphisme de E. Si $P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ (avec n entier strictement positif) sont premiers entre eux deux à deux, alors les sous-espaces vectoriels $V_{i}=\ker(P_{i}(f))$ (où 1 ≤ i ≤ n) sont en somme directe et

$\bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}=\ker \left[\left(\prod _{i=1}^{n}P_{i}\right)(f)\right].$

De plus, la projection de la somme directe $V$ sur $V_{i}$ parallèlement à $\bigoplus _{j\neq i}V_{j}$ est la restriction à $V$ d'un polynôme en $f$.

Applications

Le lemme des noyaux sert pour la réduction des endomorphismes. Par exemple :

Réduction à une forme diagonale par blocs — Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K, f un endomorphisme de E et $P\in K[X]$ un polynôme annulateur de f (par exemple son polynôme minimal, ou son polynôme caractéristique d'après le théorème de Cayley-Hamilton) et $\prod _{i=1}^{n}P_{i}^{m_{i}}$ la factorisation de P avec les polynômes P_i irréductibles et distincts. Alors il existe une base B de E et des matrices $A_{i}\in \mathbf {M} _{n_{i}}(K)$ telles que

$\mathrm {Mat} _{B}(f)={\begin{pmatrix}A_{1}&0&\dots &0\\0&A_{2}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &A_{n}\end{pmatrix}};$

où $n_{i}=\dim \ker P_{i}^{m_{i}}(f)$ (en fait la partie de B correspondant au bloc $A_{i}$ est une base de $\ker P_{i}^{m_{i}}(f)$), et $P_{i}^{m_{i}}(A_{i})=0$.

Démonstration

Par hypothèse $\ker P(f)=E$, donc, d'après le lemme des noyaux :

$E=\bigoplus _{i=1}^{n}\ker P_{i}^{m_{i}}(f).$

Chaque sous-espace $\ker P_{i}^{m_{i}}(f)$ est stable par f, donc la matrice de f dans n'importe quelle base de E adaptée à la décomposition précédente en sous-espaces stables, est diagonale par blocs comme souhaité.