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En [[mathématiques]], une '''structure différentielle à''' ''n'' [[dimension topologique|dimensions]] (ou '''structure différentiable''') sur un [[ensemble]] ''M'' transforme ''M'' en une [[variété différentielle]] à ''n'' dimensions, qui est une [[variété topologique]] avec une structure supplémentaire qui permet un calcul différentiel sur la variété. Si ''M'' est déjà une variété topologique, il est nécessaire que la nouvelle topologie soit identique à celle existante. |
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Pour un entier naturel ''n'' et un ''k'' qui peut être un entier non négatif ou l'infini, une '''structure différentielle ''C''<sup>''k''</sup> à ''n'' dimensions''' |
Pour un entier naturel ''n'' et un ''k'' qui peut être un entier non négatif ou l'infini, une '''structure différentielle ''C''<sup>''k''</sup> à ''n'' dimensions'''<ref>[[Morris Hirsch|Hirsch, Morris]], ''Differential Topology'', Springer (1997), {{ISBN|0-387-90148-5}}. for a general mathematical account of differential structures</ref> est définie à l'aide d'un '''''C''<sup>''k''</sup> - atlas''', qui est un ensemble de [[Bijection|bijections]] appelées '''cartes''' entre une collection de sous-ensembles de ''M'' (dont l'union est l'ensemble de ''M'' ), et un ensemble de sous-ensembles ouverts de <math>\mathbb{R}^{n}</math> : |
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: <math>\varphi_{i}:M\supset W_{i}\rightarrow U_{i}\subset\mathbb{R}^{n}</math> |
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Dernière version du 6 février 2024 à 23:32
En mathématiques, une structure différentielle à n dimensions (ou structure différentiable) sur un ensemble M transforme M en une variété différentielle à n dimensions, qui est une variété topologique avec une structure supplémentaire qui permet un calcul différentiel sur la variété. Si M est déjà une variété topologique, il est nécessaire que la nouvelle topologie soit identique à celle existante.
Pour un entier naturel n et un k qui peut être un entier non négatif ou l'infini, une structure différentielle Ck à n dimensions[1] est définie à l'aide d'un Ck - atlas, qui est un ensemble de bijections appelées cartes entre une collection de sous-ensembles de M (dont l'union est l'ensemble de M ), et un ensemble de sous-ensembles ouverts de :
qui sont Ck-compatibles (au sens défini ci-dessous):
Chacune de ces cartes fournit un moyen par lequel certains sous-ensembles du collecteur peuvent être considérés comme des sous-ensembles ouverts de mais l'utilité de cette notion dépend de la mesure dans laquelle ces notions concordent lorsque les domaines de deux de ces cartes se chevauchent.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Hirsch, Morris, Differential Topology, Springer (1997), (ISBN 0-387-90148-5). for a general mathematical account of differential structures