Exponentielle intégrale

En mathématiques, l'exponentielle intégrale Ei(x) est définie par :

${\mbox{Ei}}(x)=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t\,=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t\,.$

Comme ${\tfrac {1}{t}}$ diverge pour t=0, cette intégrale doit être comprise en termes de valeur principale de Cauchy.

L'exponentielle intégrale de x

L'exponentielle intégrale a pour développement en série :

${\mbox{Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k\;k!}}$,

où $\gamma$ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Elle est reliée à une autre fonction définie par :

${\rm {E}}_{1}(x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t\,=-\int _{-\infty }^{-x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t\,$

Cette fonction étend l'exponentielle intégrale aux réels négatifs compte tenu de l'identité :

${\rm {Ei}}(-x)=-{\rm {E}}_{1}(x).\,$

Les deux fonctions s'expriment en fonction de la fonction entière définie par :

${\rm {Ein}}(x)=\int _{0}^{x}(1-e^{-t}){\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k\;k!}}$.

En effet, on peut écrire :

${\rm {E}}_{1}(x)\,=\,-\gamma -\ln x+{\rm {Ein}}(x)$

et

${\rm {Ei}}(x)\,=\,\gamma +\ln x-{\rm {Ein}}(-x)$.

Calcul de E1

Différentes méthodes peuvent être utilisées afin de calculer $\mathrm {E_{1}} (x)$ en double précision.

Pour x compris entre 0 et 2,5

On a :

$\mathrm {E_{1}} (z)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}\qquad (|\mathrm {Arg} (z)|<\pi )$

où $\gamma$ est la constante d'Euler-Mascheroni.

La somme est convergente pour tout x réel positif, mais avec les opérations à virgule flottantes, le résultat est inexact pour $x>2.5$ à cause de la perte de précision relative quand on soustrait des nombres d'ordres de grandeurs différents.

Pour x > 40

Il existe une série divergente permettant d'approcher $\mathrm {E_{1}}$ pour les grandes valeurs de $\mathrm {Re} (z)$, obtenu par intégration par parties :

$\mathrm {E_{1}} (z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}$

Afin d'avoir une précision de 64 bit (double précision), il faut utiliser la valeur $N=40$.

Pour x compris entre 2,5 et 40

L'agorithme suivant permet d'obtenir les valeurs de $\mathrm {E_{1}} (x)$ dans l'intervalle [2,5; 40] :

    Function MediumE1(ByVal x As Double) As Double
        If x < 2.5 Or x > 40 Then Return 0
        Dim result As Double = 1
        For n As Integer = 40 To 1 Step -1   '40 peut être changé pour ajuster la précision
            result = 2 - 1 / result + x / n
        Next
        Return (1 - 1 / result) / x * Math.Exp(-x)
    End Function

Voir aussi

• Cosinus intégral
• Logarithme intégral
• Sinus intégral

Bibliographie

• Abramowitz et Stegun, Handbook of Mathematical Functions.