Groupe symétrique

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, le groupe symétrique d'un ensemble E est le groupe des permutations de E, c'est-à-dire des bijections de E sur lui-même.

Définition

Soit E un ensemble. On appelle groupe symétrique de E l'ensemble des applications bijectives de E sur E muni de la composition d'applications (la loi ∘). On le note S(E) ou ${\mathfrak {S}}(E)$ (ce caractère est un S gothique).

Un cas particulier courant est le cas où E est l'ensemble fini {1, 2, … , n}, n étant un entier naturel ; on note alors ${\mathfrak {S}}_{n}$ ou S_n le groupe symétrique de cet ensemble. Les éléments de ${\mathfrak {S}}_{n}$ sont appelés permutations et ${\mathfrak {S}}_{n}$ est appelé groupe des permutations de degré n ou groupe symétrique d'indice n (un sous-groupe du groupe symétrique est appelé un groupe de permutations).

Si deux ensembles sont équipotents alors leurs groupes symétriques sont isomorphes. En effet, si f est une bijection de E dans F, alors l'application de S(E) dans S(F) qui à σ associe f∘σ∘f⁻¹ est un isomorphisme. En particulier si E est un ensemble fini à n éléments, alors ${\mathfrak {S}}(E)$ est isomorphe à ${\mathfrak {S}}_{n}$. En conséquence, il suffit de connaître les propriétés du groupe ${\mathfrak {S}}_{n}$ pour en déduire celles du groupe ${\mathfrak {S}}(E)$. C'est pourquoi la suite de cet article ne portera que sur ${\mathfrak {S}}_{n}$.

Origine et importance

Historiquement, l'étude du groupe des permutations des racines d'un polynôme par Évariste Galois est à l'origine du concept de groupe.

Un théorème de Cayley assure que tout groupe est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe symétrique.

Propriétés

Le groupe ${\mathfrak {S}}_{n}$ est d'ordre n!.

Cette propriété peut être prouvée en dénombrant les permutations. Il est également possible de faire une démonstration par récurrence, en donnant ainsi un lien entre les groupes symétriques de degrés n – 1 et n.

Démonstration par récurrence sur n

${\mathfrak {S}}_{0}$ possède un seul élément.

Supposons que ${\mathfrak {S}}_{n-1}$ possède $(n-1)!$ éléments. Considérons l'application

$\varphi :\left\lbrace {\begin{array}{ccc}{\mathfrak {S}}_{n}&\to &\{1,\ldots ,n\}\times {\mathfrak {S}}_{n-1}\\\sigma &\mapsto &(\sigma (n),\sigma ')\end{array}}\right.$

où $\sigma '$ est la restriction à $\{1,\ldots ,n-1\}$ de la permutation $(n,\sigma (n))\sigma$. $\sigma '$ appartient bien à ${\mathfrak {S}}_{n-1}$ car $\sigma '(n)=n$ donc $\sigma '(i)<n$ pour tout $1\leq i<n$.

On montre la bijectivité de $\varphi$ en exhibant l'application réciproque. On en déduit que le cardinal de ${\mathfrak {S}}_{n}$ est égal à celui de $\{1,\ldots ,n\}\times {\mathfrak {S}}_{n-1}$ c'est-à-dire $n.(n-1)!=n!$.

Le groupe symétrique est isomorphe au groupe formé par les matrices de permutation muni de la loi produit : ce sont les matrices ayant un unique coefficient 1 dans chaque ligne et chaque colonne, tous les autres étant nuls.

Générateurs du groupe symétrique

Une transposition est un 2-cycle, c'est-à-dire une permutation qui échange deux éléments et laisse les autres inchangés. On note (i, j) la transposition qui échange l'élément i avec l'élément j.

Il existe un algorithme permettant de décomposer une permutation en produit de transpositions. Ainsi l'ensemble des transpositions forme un système de générateurs de ${\mathfrak {S}}_{n}$

On peut se limiter aux transpositions de la forme τ_i = (i, i + 1) puisque, pour i < j, il est possible de décomposer $(i,j)=(i,i+1)(i+1,i+2)\dots (j-2,j-1)(j-1,j)(j-2,j-1)\dots (i+1,i+2)(i,i+1).$

Ces n – 1 générateurs permettent de donner une présentation du groupe symétrique, avec les n(n + 1)/2 relations :

• ${\tau _{i}}^{2}=1,$
• $\tau _{i}\tau _{j}=\tau _{j}\tau _{i}\qquad {\mbox{si }}|j-i|>1,$
• ${(\tau _{i}\tau _{i+1}})^{3}=1.$

Il s'agit donc d'un cas particulier de groupe de Coxeter et même d'un groupe de réflexions (en) (ce qui, pour un groupe fini, est en fait équivalent).

Il est possible également de prendre n – 1 générateurs — les transpositions s_i = (i, n) pour i < n — et (n – 1)² relations :

$s_{i}^{2}=(s_{i}s_{i+1})^{3}=(s_{i}s_{i+1}s_{i}s_{j})^{2}=1\quad (1\leq i,j\leq n-1,\quad j\neq i,i+1,\quad s_{n}:=s_{1}).$

Enfin, on peut se contenter de 2 générateurs — la transposition τ₁ = (1, 2) et le cycle r = (1, 2, … , n) — et n + 1 relations :

$r^{n}=\tau _{1}^{2}=(r\tau _{1})^{n-1}=(\tau _{1}r^{-1}\tau _{1}r)^{3}=(\tau _{1}r^{-j}\tau _{1}r^{j})^{2}=1\quad (2\leq j\leq n-2).$

Signature

On suppose dans cette section que l'entier n est supérieur ou égal à 2.

Toute permutation se décompose en un produit de transpositions. Ce produit n'est pas unique, mais la parité du nombre de termes d'un tel produit ne dépend que de la permutation. On parle alors de permutation paire ou impaire.

La signature d'une permutation σ est l'application notée sgn ou ε et définie par :

$\operatorname {sgn} (\sigma )=\varepsilon (\sigma )=\left\{{\begin{array}{cl}+1&{\mbox{si }}\sigma {\mbox{ est paire }}\\-1&{\mbox{si }}\sigma {\mbox{ est impaire }}\end{array}}\right.$

Avec cette définition, la signature est un morphisme de groupes de $({\mathfrak {S}}_{n},\circ )$ dans ({–1, 1}, ×). Le noyau de ce morphisme, c’est-à-dire l'ensemble des permutations paires, est appelé le groupe alterné de degré n, noté ${\mathfrak {A}}_{n}$ (ce caractère est un A gothique). ${\mathfrak {A}}_{n}$ est donc un sous-groupe normal de ${\mathfrak {S}}_{n}$ et le groupe quotient ${\mathfrak {S}}_{n}/{\mathfrak {A}}_{n}$ est isomorphe à l'image {–1, 1} du morphisme signature. Par conséquent, ${\mathfrak {A}}_{n}$ est d'indice 2 dans ${\mathfrak {S}}_{n}$, donc d'ordre n!/2. (Ou plus concrètement : ${\mathfrak {A}}_{n}$ et son complémentaire dans ${\mathfrak {S}}_{n}$ sont de même cardinal car pour t transposition de ${\mathfrak {S}}_{n}$, l'application σ ↦ t∘σ est une bijection de ${\mathfrak {A}}_{n}$ dans son complémentaire.)

De plus, la suite exacte courte

$1\to {\mathfrak {A}}_{n}\to {\mathfrak {S}}_{n}\to \{-1,1\}\to 1$

est scindée à droite, donc ${\mathfrak {S}}_{n}$ est un produit semi-direct de ${\mathfrak {A}}_{n}$ par le groupe cyclique à deux éléments.

Classes de conjugaison

La classe de conjugaison d'une permutation σ est l'ensemble de ses conjuguées : $C(\sigma )=\{\tau \circ \sigma \circ \tau ^{-1}\mid \tau \in {\mathfrak {S}}_{n}\}.$

Les conjuguées de σ sont les permutations dont la décomposition en produit de cycles à supports disjoints a la même structure que celle de σ : même nombre de cycles de chaque longueur.

Démonstration

Soit $\sigma =c_{1}$…$c_{m}$ une permutation de ${\mathfrak {S}}_{n}$ décomposée en produit de cycles disjoints.

• Pour toute permutation $\tau$, la conjuguée $\sigma '=\tau \sigma \tau ^{-1}$ est le produit des $c'_{i}=\tau c_{i}\tau ^{-1}$, qui sont des cycles disjoints de mêmes longueurs que les $c_{i}$. En effet, pour tout cycle $c=(a_{1}~\dots ~a_{k})$, la permutation conjuguée $\tau c\tau ^{-1}$ n'est autre que le cycle $(\tau (a_{1})~\dots ~\tau (a_{k}))$.
• Réciproquement, soit $\sigma '=c'_{1}$…$c'_{m}$ une permutation décomposable en produit de cycles disjoints $c'_{i}$ de mêmes longueurs respectives que les $c_{i}$. Alors $\sigma '$ est conjuguée de $\sigma$, par n'importe quelle permutation $\tau$ qui envoie (en respectant l'ordre, à permutation circulaire près) le support de chaque $c_{i}$ sur celui de son homologue $c'_{i}$. Une telle permutation existe parce que les supports des $c_{i}$ sont disjoints.

Exemple

Si l'on considère dans ${\mathfrak {S}}_{5}$ les différentes classes de conjugaison, on trouve celle de l'identité, des transpositions (ab), les permutations composées de deux transpositions de supports disjoints (ab)(cd), les cycles d'ordre 3 (abc), les permutations composées d'un cycle d'ordre 3 et d'un d'ordre 2 : (abc)(de), puis les cycles d'ordres 4 : (abcd) et 5 : (abcde).

Les permutations (1 2 3)(4 5) et (1 3 4)(2 5) sont dans la même classe de conjugaison et la permutation (1 3)(2 5) non.

Le nombre de classes de conjugaisons est donc égal au nombre de « partages » de l'entier n, et si la décomposition d'une permutation contient k₁ « 1-cycles » (les points fixes), k₂ 2-cycles, … , k_m m-cycles, alors le nombre de ses conjuguées vaut :

${\frac {n!}{1^{k_{1}}k_{1}!\ldots m^{k_{m}}k_{m}!}}.$

(On voit apparaître un coefficient multinomial.)

Propriétés issues de l'étude du groupe alterné

Le résultat fondamental dans l'étude du groupe alterné ${\mathfrak {A}}_{n}$ est que celui-ci est un groupe simple pour n différent de 4.

D'autre part, le groupe dérivé de ${\mathfrak {S}}_{n}$ est ${\mathfrak {A}}_{n}$. Pour n ≥ 5, c'est là le seul sous-groupe distingué propre de ${\mathfrak {S}}_{n}$.

${\mathfrak {S}}_{n}$ est résoluble si et seulement si n ≤ 4, ce qui a d'importantes conséquences sur la résolubilité par radicaux des équations polynomiales.

Propriétés diverses

• ${\mathfrak {S}}_{6}$ est le seul groupe symétrique dont le groupe d'automorphismes extérieurs est non trivial.
• Tout sous-groupe d'indice n de ${\mathfrak {S}}_{n}$ est isomorphe à ${\mathfrak {S}}_{n-1}$. Si n est différent de 6, un tel sous-groupe est forcément le stabilisateur d'un élément de {1, … , n}.
• Par ailleurs, ${\mathfrak {S}}_{6}$ possède un sous-groupe d'indice 6 qui n'est pas le stabilisateur d'un point.

Démonstration

S₅ contient vingt-quatre 5-cycles, donc six sous-groupes d'ordre 5. L'action par conjugaison de S₅ sur ces sous-groupes fournit donc un morphisme de S₅ dans S₆. Ce morphisme est injectif car son noyau est un sous-groupe normal de S₅ distinct de S₅ et A₅ (car, par exemple, (123)(12345)(321) = (14523) n'est pas une puissance de 12345)). Enfin, d'après les théorèmes de Sylow, cette action est transitive donc ne fixe aucun point.

Voir aussi

Articles connexes

• Automorphismes des groupes symétriques et alternés (en)
• Groupe complet
• Groupe symétrique généralisé (en)
• Groupe de tresses
• Représentations du groupe symétrique
• Tableau de Young

Bibliographie

Daniel Perrin, Cours d'algèbre [détail des éditions]