Union (mathématiques)

Dans la théorie des ensembles, l'union ou réunion est une opération ensembliste de base. En algèbre booléenne, l'union est associée à l'opérateur logique « ou inclusif » et est notée ∪.

L'union des ensembles A et B est représentée dans ce diagramme de Venn par l'ensemble de la zone colorée en violet.

Union de deux ensembles

L'union de deux ensembles A et B est l'ensemble qui contient tous les éléments qui appartiennent à A ou appartiennent à B. On la note A ∪ B et on la dit « A union B »

Formellement :

$x\in A\cup B\Leftrightarrow \left(x\in A\lor x\in B\right)$.

Par exemple l'union des ensembles A = {1, 2, 3} et B = {2, 3, 4} est l'ensemble {1, 2, 3, 4}.

Propriétés algébriques

• L'union est associative, c'est-à-dire que, pour des ensembles A, B et C quelconques, on a :
  (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
• L'union est commutative, c'est-à-dire que, pour des ensembles A et B quelconques, on a :
  A ∪ B = B ∪ A.
• L'intersection est distributive sur l'union, c'est-à-dire que, pour des ensembles A, B et C quelconques, on a :
  A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
• L'union est distributive sur l'intersection, c'est-à-dire que, pour des ensembles A, B et C quelconques, on a :
  A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩(A ∪ C).

Union d'une famille d'ensembles

On généralise ce concept à un ensemble quelconque $X$ d'ensembles (non nécessairement réduit à une paire, ni même fini) : sa réunion, notée $\bigcup X$, a pour éléments tous les $x$ pour lesquels il existe un $E\in X$ tel que $x\in E$ (si X est l'ensemble vide, cette réunion est donc vide). L'axiome de la réunion est l'affirmation que $\bigcup X$ est un ensemble.

On peut alors définir la réunion d'une famille quelconque d'ensembles $(E_{i})_{i\in I}$ : c'est la réunion de l'ensemble $X=\{E_{i}|i\in I\}$. Cette réunion notée $\bigcup _{i\in I}E_{i}$ est donc l'ensemble des éléments $x$ pour lesquels il existe un $i\in I$ tel que $x\in E_{i}$. Formellement :

$x\in \bigcup _{i\in I}E_{i}\Leftrightarrow (\exists i\in I,\ x\in E_{i})$.

La distributivité de l'intersection ci-dessus s'étend aux familles :

$A\cap \left(\bigcup _{i\in I}E_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}(A\cap E_{i})$.

Articles connexes

• Union disjointe
• Algèbre des parties d'un ensemble
• Diagramme de Venn
• L'axiome de la réunion en théorie des ensembles