Inégalité de Hornich-Hlawka

En mathématiques, l'inégalité de Hornich-Hlawka, ou inégalité quadrilatérale , est une inégalité portant sur trois vecteurs d'un espace euclidien, se traduisant par une inégalité dans le quadrilatère. Elle a la particularité de ne pas être valable dans tout espace vectoriel normé, contrairement à l'inégalité triangulaire.

Énoncé

Étant donné trois vecteurs $x,y,z$ d'un espace vectoriel euclidien on a l'inégalité :

$\lVert x\rVert +\lVert y\rVert +\lVert z\rVert +\lVert x+y+z\rVert \geqslant \lVert x+y\rVert +\lVert y+z\rVert +\lVert z+x\rVert$.

Le cas d'égalité a lieu lorsque l'un des vecteurs est nul ou lorsque les trois vecteurs sont colinéaires de même sens.

Elle est même valable dans un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire, à savoir un espace préhilbertien.

Elle se traduit dans un espace affine euclidien par l'inégalité :

$AB+BC+CD+DA\geqslant AC+BD+2IJ$

où $A,B,C,D$ sont des points quelconques, et $I,J$ les milieux respectifs de $[AC]$ et $[BD]$ : dans un quadrilatère, la somme des longueurs des côtés est supérieure ou égale à la somme des longueurs des diagonales augmentée de la distance entre les milieux des diagonales.

Le cas d'égalité a lieu lorsque deux des quatre points sont confondus ou lorsque les points sont alignés dans l'ordre $A,B,C,D$ ou $B,C,D,A$ etc.

Dans le cas d'un parallélogramme $ABCD$, cette inégalité, qui s'écrit $AB+BC+CD+DA\geqslant AC+BD$, est une conséquence de l'inégalité triangulaire, mais ce n'est plus vrai dans le cas général.

Une de ses démonstrations utilise la relation d'Euler dans le quadrilatère :

$\lVert x\rVert ^{2}+\lVert y\rVert ^{2}+\lVert z\rVert ^{2}+\lVert x+y+z\rVert ^{2}=\lVert x+y\rVert ^{2}+\lVert y+z\rVert ^{2}+\lVert z+x\rVert ^{2}$ (forme vectorielle)

ou

$AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4IJ^{2}$ (forme affine)

Contre-exemple dans un autre espace vectoriel normé

Dans $\mathbb {R} ^{3}$ muni de la norme « infini » : $\lVert x\rVert _{\infty }=\max(|x_{1}|,|x_{2}|,|x_{3}|)$, les vecteurs $x=(1,1,-1),y=(1,-1,1),z=(-1,1,1)$ vérifient $\lVert x\rVert +\lVert y\rVert +\lVert z\rVert +\lVert x+y+z\rVert =1+1+1+1=4<\lVert x+y\rVert +\lVert y+z\rVert +\lVert z+x\rVert =2+2+2=6$.

Historique

L'histoire de cette inégalité commence en 1942 lorsque Hans Hornich la mentionne comme conséquence de son résultat principal, en signalant que Edmund Hlawka lui en a donné une démonstration purement algébrique.

Démonstrations

Voici une démonstration utilisant la relation d'Euler dans le quadrilatère .

Posant $a=\lVert x\rVert ,b=\lVert y\rVert ,c=\lVert z\rVert ,d=\lVert x+y+z\rVert ,\alpha =\lVert y+z\rVert ,\beta =\lVert z+x\rVert ,\gamma =\lVert x+y\rVert$, il faut démontrer que $X=a+b+c+d-(\alpha +\beta +\gamma )\geqslant 0$.

Un calcul donne : $(a+b+c+d-(\alpha +\beta +\gamma ))(a+b+c+d)=\overbrace {(a+b-\gamma )(d+c-\gamma )} ^{U}+\overbrace {(b+c-\alpha )(d+a-\alpha )} ^{V}+\overbrace {(c+a-\beta )(d+b-\beta )} ^{W}+a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})$.

Or $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}$, car $x^{2}+y^{2}+z^{2}+(x+y+z)^{2}=(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2}$ (il s'agit des carrés scalaires) : relation d'Euler dans le quadrilatère.

Donc $X(a+b+c+d)=U+V+W$.

Si l'un des trois vecteurs $x,y,z$ est nul, alors $X=0$, donc on peut supposer que l'un est non nul et alors $a+b+c>0$ et $X$ est du signe de $U+V+W$. Or $U,V,W$ sont $\geqslant 0$ d'après l'inégalité triangulaire appliquée 4 fois (par exemple, $\gamma =\lVert x+y\rVert =\lVert x+y+z-z\rVert \leqslant d+c$). On obtient bien $X\geqslant 0$.

Le cas d'égalité s'obtient pour $U=V=W=0$. ; il y a 8 cas de nullité des parenthèses à examiner qui équivalent tous au fait que les vecteurs $x,y,z$ sont colinéaires et de même sens.

Une autre démonstration algébrique se trouve dans .

Une démonstration géométrique utilisant une propriété de croisement d'un quadrilatère se trouve dans.

Voir aussi

• Quadrilatère
• Relation d'Euler dans le quadrilatère