Représentation irréductible

En mathématiques, une représentation irréductible est un concept utilisé dans le cadre de la théorie des représentation d'un groupe. C'est une représentation qui n'admet qu'elle-même et la représentation nulle comme sous-représentation. Le théorème de Maschke démontre que, dans de nombreux cas, une représentation est somme directe de représentations irréductibles.

Définitions et exemples

Définitions

Dans toute la suite de l'article, G désigne un groupe et (V, ρ) une représentation linéaire de G sur un corps commutatif K.

Une représentation (V, ρ) est dite irréductible si et seulement si les seuls sous-espaces stables sont V et le vecteur nul.

Un caractère d'une représentation est dit irréductible si et seulement si la représentation associée l'est.

La théorie des représentations s'exprime aussi en termes de G module. V dispose naturellement d'une structure de G module, dans ce contexte, la définition prend la forme suivante :

Une représentation (V, ρ) est dite irréductible si et seulement si V est simple en tant que G module.

Une représentation (V, ρ) est dite isotypique si et seulement si les seuls sous-espaces irréductibles stables différents de la représentation nulle sont isomorphes deux à deux.

Exemples

Toute représentation de dimension un est irréductible.

Il n'existe qu'une représentation irréductible et fidèle du Groupe symétrique d'indice trois. Les articles Représentations du groupe symétrique d'indice trois et Représentations du groupe symétrique d'indice quatre contiennent une analyse exhaustive des représentations irréductibles de ces groupes.

Si V désigne un espace vectoriel réel de dimension deux et G le groupe des isométries linéaires de V, alors l'identité de G est une représentation irréductible.

Théorème de Maschke

Article détaillé : théorème de Maschke.

Le théorème de Maschke indique que tout sous-espace irréductible de la représentation (V, ρ) est facteur direct, c'est-à-dire qu'il possède un sous-espace supplémentaire stable.

Ce théorème s'applique au moins dans deux cas importants :

Si le groupe est fini et si la caractéristique de K est soit nulle soit première avec l'ordre du groupe.
Si le groupe est topologique et dispose d'une mesure de Haar.

Dans ce cas, V dispose d'une structure de module semi-simple. Toute représentation de degré fini de G est alors somme directe de représentations irréductible.

Des démonstrations sont données dans l'article associé.

Cas d'un groupe fini

On suppose dans ce paragraphe que G est un groupe fini g et que la caractéristique de K est soit nulle soit première avec l'ordre du groupe. Le théorème de Maschke s'applique alors. (W, σ) désigne ici une représentation irréductible de G de degré d. On suppose enfin que le polynôme X^g - 1 est scindé dans K.

Caractère

Article détaillé : caractère d'une représentation d'un groupe fini.

Les caractères des représentations disposent, dans ce contexte, d'un produit hermitien canonique, il fournit une condition nécessaire et suffisante commode pour déterminer l'irréductibilité d'une représentation.

Un caractère est irréductible si et seulement si sa norme par le produit hermitien canonique est égal à un.

Une démonstration est donnée dans l'article associé.

Représentation régulière

Article détaillé : représentation régulière.

Soit (V, ρ) la représentation régulière de G. Elle contient toutes les représentations irréductibles de G à un isomorphisme près, plus précisément :

Il existe exactement d sous-espaces invariants W_i de V, d'intersection nulle deux à deux, tel que la restriction de ρ, la représentation régulière, à W_i soit isomorphe à (W, σ).

Cette décomposition n'est pas unique. Le nombre de sous-espaces isomorphes à W de V est en général supérieur à d, mais ils ne sont pas en somme directe. Il existe néanmoins une unique décomposition de la représentation régulière.

Il existe un unique sous-espace maximal S_W de V contentant tous les sous-espaces isomorphe à W. Il est appelé composante isotypique de W dans V.

Cette décomposition en composantes isotypiques est unique pour toute représentation de G, elle est appelée décomposition canonique.

Des démonstrations sont données dans l'article associé.

Fonction centrale

Article détaillé : fonction centrale d'un groupe fini.

La notion de fonction centrale, c'est-à-dire de fonction du groupe G constante sur chaque classe de conjugaison permet de déterminer exactement le nombre de représentations irréductibles :

Il existe autant de représentations irréductibles distinctes que de classes de conjugaison dans le groupe.

Une démonstration est donnée dans l'article associé.

Algèbre du groupe

Article détaillé : algèbre d'un groupe fini.

L'algèbre K[G] correspond à un enrichissement de la structure algébrique de la représentation régulière. Le centre de l'algèbre est un anneau commutatif, sur lequel il est possible d'utiliser des théorèmes d'arithmétique. Ils permettent, par exemple de démontrer les propriétés suivantes :

Le degré d'une représentation irréductible divise l'ordre du groupe.

Une démonstration est donnée dans l'article associé.

Produit tensoriel

Article détaillé : produit tensoriel et représentations de groupes finis.

Le produit tensoriel introduit une bijection entre les représentations de deux groupes G₁ et G₂ et le produit direct G de G₁ et G₂ :

Si (W, σ) est une représentation irréductible de G, le groupe produit direct de G₁ et G₂, alors il existe une représentation irréductible (W₁, σ¹) de G₁ et une (W₂, σ²) de G₂ tel que (W, σ) est isomorphe au produit tensoriel des deux représentations précédentes. Réciproquement, tout produit tensoriel de deux représentations irréductibles de G₁ et G₂ est une représentation irréductible de G.

Une démonstration est donnée dans l'article associé.

Représentation induite

Article détaillé : représentation induite d'un groupe fini.

Dans le cas où N est un sous-groupe normal normal de G, les représentations induites permettent d'établir une relation entre (W, σ) et la restriction de σ à N :

Soit il existe un sous-groupe H de G contenant N et différent G tel que (W, σ) est la représentation induite par une représentation irréductible (W₁, θ), soit la restriction de σ à N est isotypique.

On en déduit le corollaire suivant :

Si N est un sous-groupe normal abélien de G, alors le degré d'une représentation irréductible divise l'ordre du groupe quotient G/N.

Il est de plus à noter que le critère d'irréductibilité de Mackey fournit une condition nécessaire et suffisante pour une représentation induite soit irréductible.

Démonstrations

Soit il existe un sous-groupe H de G contenant N et différent G tel que (W, σ) est la représentation induite par une représentation irréductible (W₁, θ), soit la restriction de σ à N est isotypique.

Soit W_i, où i varie de 1 à n, la décomposition canonique de la restriction de σ à N en composantes isotypiques. On dispose alors de l'égalité :

W=\bigoplus _{i=1}^{n}W_{i}

Si s est un élément de G et si i est un entier compris entre 1 et n, alors σ(s)W_i est encore une composante isotypique. On remarque que, comme W est une représentation irréductible de G l'action du groupe σ(G) est transitive sur la famille des W_i.

Si n est égal à 1, c'est-à-dire que W₁ est égal à W, alors la restriction de σ à N est une représentation isotypique.

Dans le cas contraire, considérons le sous-groupe H de G formé des éléments laissant globalement invariant W₁. Soit θ' la restriction de σ à H et θ la représentation de H sur l'espace W₁ égal à θ' sur W₁. Alors (W, σ) est la représentation induite par une représentation irréductible (W₁, θ).

Pour démontrer la proposition suivante, un lemme est nécessaire :

Si C est le centre du groupe G, alors le degré d d'une représentation irréductible divise l'ordre du groupe quotient G/C.

Notons c l'ordre du sous-groupe C de G, et (W, σ) une représentation irréductible de G. Si z est un élément de G, alors σ(z) commute avec tous les éléments σ(s) si s parcourt G. Le lemme de Schur permet de conclure que σ(z) est une homothétie, notons λ(z) son rapport. On remarque que l'application λ est un morphisme de groupe de C dans K^*.

Considérons alors un entier strictement positif m et la représentation σ^m produit tensoriel m fois de la représentation σ à valeur dans W $\otimes \cdots \otimes$ W. Si z₁, … , z_m est un élément de C^m, alors l'image de z₁ $\otimes \cdots \otimes$ z_m par σ^m est une homothétie de rapport λ(z₁ … z_m).

Notons H le sous-groupe de G^m formé des éléments (z₁ , … , z_m) tel que le produit de toutes les coordonnées soit égal à un. C'est un sous-groupe du centre de G^m, il est donc normal. Par passage au quotient, on obtient une représentation irréductible de G^m/H. Le degré d ^m de la représentation σ^m est donc un diviseur de g^m/c^m-1. Cette relation est vraie pour tout m, ce qui démontre le lemme.

Si N est un sous-groupe normal abélien de G, alors le degré d'une représentation irréductible divise l'ordre du groupe quotient G/N.

Démontrons cette proposition par récurrence. La représentation irréductible de G est ici notée (W, σ).

Si la restriction de σ à N est isotypique, alors, comme N est abélien et que les seules représentation irréductibles d'un groupe abélien fini sont de degré un, l'image de N par σ est composée d'homothéties. Notons G' et N' les images de G et N par σ. Considérons la représentation identité de G' à valeur dans GL(W). Le lemme précédent montre que le degré de cette représentation divise l'ordre du groupe quotient de G' par son centre. Or son centre contient N' car ce sous-groupe est composé d'homothéties. Le degré de σ, c'est-à-dire la dimension de W est donc un diviseur de l'ordre de G' /N' . Enfin l'application canonique de G/N dans G' /N' est surjective donc l'ordre de G' /N' est un diviseur de celui de G/N, ce qui termine la démonstration dans ce cas.

Si la restriction de σ à N n'est pas isotypique, alors il existe un groupe H distinct de G et contenant N, tel que la représentation (W, σ) soit induite par une représentation irréductible (W₁, θ) de H. Alors le degré de la représentation θ divise l'indice [H:N] par hypothèse de récurrence. Le degré de σ est égal à celui de θ que multiplie l'indice [G:H] et donc est un diviseur de [G:H].[H:N] et donc de [G:N].