Ensemble simplicial

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En mathématiques, un ensemble simplicial X est un objet de nature combinatoire intervenant en topologie. Il est la donnée :

d'une famille (X_n) d'ensembles, indexée par les entiers naturels, les éléments de X_n étant pensés comme des simplexes de dimension n et
pour toute application croissante $f:\{0,\dots ,m\}\rightarrow \{0,\dots ,n\},$ d'une application $X(f):X_{n}\rightarrow X_{m},$

le tout tel que

X(f\circ g)=X(g)\circ X(f).

Autrement dit : X est un foncteur contravariant, de la catégorie simpliciale Δ dans la catégorie Set des ensembles, ou encore un foncteur covariant de la catégorie opposée Δ^op dans Set.

Exemple

À tout complexe simplicial abstrait (V, Σ) est associé naturellement l'ensemble simplicial X dont les n-simplexes sont les applications g de {0, … , n} dans V dont l'image appartient à Σ, avec X(f)(g) = g ∘ f.

Homologie

Soit K un anneau commutatif. À tout ensemble E est associé un K-module libre K[E] de base E donc par fonctorialité, à tout ensemble simplicial X est associé un K-module simplicial M = K[X]^[1] : pour tout entier n, le module M_n est le K-module libre K[X_n] et (en notant^[2] [n] l'ensemble totalement ordonné {0, 1, … , n}) pour toute application croissante f : [m] → [n], l'application linéaire M(f) : M_n → M_m est l'application K[X(f)] : K[X_n] → K[X_m] induite par X(f) : X_n → X_m.

Par ailleurs, à tout module simplicial M on associe naturellement un complexe de chaînes en posant, pour tout n : $\partial _{n}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}M(\delta _{i}^{n}):M_{n}\rightarrow M_{n-1},$ où δ_iⁿ : [n – 1] → [n] désigne la i^e coface, c'est-à-dire l'injection croissante de [n – 1] dans [n] dont l'image ne contient pas i.

L'homologie simpliciale (à coefficients dans K) de l'ensemble simplicial X est par définition^[1] l'homologie du complexe de chaînes associé au module simplicial K[X].

Elle ne dépend par construction que de la structure de module semi-simplicial déduite de K[X], donc de celle d'ensemble semi-simplicial (en) déduite de X, par oubli des dégénérescences.

Notes et références

(en) S. I. Gelfand et Yu. I. Manin, Methods of homological algebra, chap. 1.

↑ ^{a et b} (en) Jean-Louis Loday, Cyclic Homology, Springer, coll. « Grund. math. Wiss. » (n^o 301), 1998 (1^re éd. 1992), p. 457.
↑ (en) Alain Connes, Noncommutative Geometry, Academic Press, 1994, 661 p. (ISBN 978-0-12-185860-5, lire en ligne), Chap. 3, Appendix A.

Articles connexes

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[Loday-1] {a et b} (en) Jean-Louis Loday, Cyclic Homology, Springer, coll. « Grund. math. Wiss. » (n^o 301), 1998 (1^re éd. 1992), p. 457.

[2] (en) Alain Connes, Noncommutative Geometry, Academic Press, 1994, 661 p. (ISBN 978-0-12-185860-5, lire en ligne), Chap. 3, Appendix A.

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