Álxebra

A álxebra (do árabe: الجبر al-ŷabr ‘reintegración, recomposición e obtención de datos) é a rama da matemática que estuda a combinación de elementos de estruturas abstractas acorde a certas regras. Orixinalmente eses elementos podían ser interpretados como números ou cantidades, polo que a álxebra en certo xeito foi orixinalmente unha xeneralización e extensión da aritmética. Na álxebra moderna existen áreas da álxebra que de ningún xeito poden considerarse extensións da aritmética (álxebra abstracta, álxebra homolóxica, álxebra exterior etc.).

Al-Khwarizmi (século IX d. C.), considerado un dos «pais da álxebra»

A fórmula cuadrática expresa a solución da ecuación ax² + bx + c = 0, onde a é distinta de cero, en termos dos seus coeficientes a, b e c.

A álxebra elemental difire da aritmética no uso de abstraccións, como o emprego de letras para representar números que son descoñecidos ou que poden tomar moitos valores. Por exemplo, en $x+2=5$ a letra $x$ é unha incógnita, pero aplicando o oposto pódese revelar o seu valor: $x=3$. En $E=mc^{2}\,$, as letras $E$ e $m$ son variables, e a letra $c$ é unha constante, a velocidade da luz no baleiro. A álxebra proporciona métodos para escribir fórmulas e resolver ecuacións que son moito máis claras e fáciles que o antigo método de escribir todo con palabras.

A palabra álxebra tamén se utiliza en certas formas especializadas. Un tipo especial de obxecto matemático na álxebra abstracta chámase álxebra, e a palabra úsase, por exemplo, nas frases álxebra lineal e topoloxía alxébrica.

Notación nunha expresión alxébrica:
  1 – potencia (expoñente)
  2 – coeficiente
  3 – termo
  4 – operador
  5 – termo constante ou independente
  x y – variables/incógnitas

Xunto coa xeometría e a análise matemática, a álxebra constitúe unha das ramas principais da matemática.

Antigamente por álxebra entendíase a serie de coñecementos teóricos e de técnicas nas que se empregan as operacións elementais da aritmética para atopar valores numéricos que solucionen unha ecuación matemática, na que os números descoñecidos son representados por letras. Isto é o que hoxe en día se coñece como álxebra elemental, que inclúe tamén o estudo dos polinomios e o das súas raíces.

Co tempo a álxebra elemental deu lugar a desenvolvementos máis complexos no que se deu en chamar álxebra abstracta ou álxebra moderna. A xeneralización ven da man da definición de distintos tipos de estruturas alxébricas, isto son, conxuntos de elementos non necesariamente de tipo numérico, nos que se definen operacións con propiedades inspiradas nas das operacións elementais de números. Así pois, poderíase dicir que a álxebra é a rama da matemática que estuda as propiedades das estruturas.

Etimoloxía

O termo álxebra deriva da obra Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala ou Al-jabr wa 'l-muqābala, isto é, Compendio do cálculo mediante restitución e redución (ou "Ensaio da Computación de Transferencia e da Ecuación"), que foi traducido ao latín coma Liber algebrae et almucabala. O texto foi escrito no século IX polo matemático persa Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi. Os cristiáns introduciron este libro en Europa traducido ao latín no século XII. O termo álxebra é a tradución literal de restitución (transferencia da solución numérica no lugar das letras da ecuación) feita polos tradutores ao latín da obra.

Clasificación

Podemos dividir a álxebra en:

• Álxebra elemental: estuda as regras que gobernan as ecuacións nas que se empregan símbolos abstractos para denotar cantidades numéricas, e a resolución de problemas polo emprego destes símbolos e regras.
• Álxebra abstracta: tamén chamada álxebra moderna. Estuda estruturas alxébricas definidas axiomaticamente, como os grupos, aneis ou espazos vectoriais. Nela inclúense entre outras:
  • Álxebra lineal: estuda as propiedades dos espazos vectoriais e as matrices.
  • Álxebra universal: estuda as propiedades comúns a grandes familias de estruturas alxébricas.

Álxebra elemental

Na álxebra elemental, a adición, a subtracción, a multiplicación, e a división son utilizadas para encontrar números (valores dunha variable) nun problema de matemáticas (ecuación) cando non se coñecen.

Un exemplo sería encontrar o valor de $x$ (a variable) na ecuación: $x-5=2$.

Coa axuda da álxebra, pódese sumar cinco a ámbolos dous membros da ecuación ($x-5+5=2+5$), polo que a resposta é: $x=7$.

Noutras palabras:

No primeiro membro: $x-5+5$. O número -5 e o número 5 suman 0, deixando polo tanto só un "$x$".

No segundo membro: $2+5$. O 2 e o 5 suman 7.

Reescribindo a ecuación:

$x-0=7$,

e polo tanto a solución é $x=7$

$7-5=2$.

A álxebra pode ser utilizada para resolver problemas da vida real porque as regras da álxebra funcionan no mundo real e os números poden ser utilizados para representar fielmente os valores das cousas reais.

Por exemplo, se dou 5 moedas a un amigo e quédanme 10, cantas tiña antes? Como intentamos descubrir cantas moedas tiven antes, a esa cantidade chamámoslle x. As moedas que eu tiven antes menos as que eu lle dei ao meu amigo fan o total das que eu teño agora, logo $x-5=10$. Podemos sumar cinco en cada membro da ecuación para obter $x-5+5=10+5$; logo $x=15$. O x, o número de moedas que eu tiven é 15.

Notación na álxebra elemental

Na álxebra, a adición de z e y (ou z mais y) escríbese $y+z$. Na álxebra, a subtracción de z a y (ou y menos z) escríbese $y-z$.

Na álxebra, a multiplicación de y por z (ou y veces z) pódese escribir de 4 maneiras diferentes: y × z, y*z, y(z), ou yz, sendo esta última a forma máis común.

Cando multiplicamos un número por unha letra, o número escríbese diante da letra.

Cando o número é o 1, entón non se escribe porque 1 multiplicado por unha cousa calquera é esa mesma cousa.

En álxebra, a división: y dividido por z escríbese y */* z ou y/z. Esta última forma é a máis empregada.

Representacións gráficas na álxebra elemental

Na álxebra elemental tamén é útil o uso de gráficas, como a da fórmula básica da recta y=mx+b onde b é o valor no que a recta corta o eixo de ordenadas da gráfica e m é a pendente da recta. Esta fórmula verifícase para ás coordenadas do grafo ou pares ordenados (x,y).

Historia

A finais do século XVI, nas matemáticas, o significado de álxebra evolucionou tras a introdución por François Viète de símbolos (variables) para denotar números descoñecidos ou incompletamente especificados, e o uso resultante da notación matemática para ecuacións e fórmulas. Así, a álxebra converteuse esencialmente no estudo da acción de operacións sobre expresións que implican variables. Isto inclúe a teoría de ecuacións, pero non se limita a ela, xa en 1637, René Descartes publicou La Géométrie, creando a álxebra analítica e introducindo a notación moderna. A busca das solucións de ecuacións de grao superior a tres desenvolveu a idea de determinante, introducida de xeito independente por matemáticos xaponeses e por Gottfried Leibniz no século XVII. A resolución de ecuacións tamén foi a base para o desenvolvemento da teoría de permutacións por parte de Joseph Louis Lagrange e Paolo Ruffini.

A álxebra abstracta foi desenvolvida no século XIX, grazas ao estudo da teoría de Galois. Josiah Willard Gibbs desenvolveu a álxebra de vectores no espazo tridimensional e Arthur Cayley a álxebra de matrices, que non é conmutativa.

A principios do século XX, a álxebra evolucionou aínda máis ao considerar operacións que actuaban non só sobre números, senón tamén sobre elementos das chamadas estruturas matemáticas como grupos, campos e espazos vectoriais. Esta nova álxebra denominouse álxebra das operacións. Esta nova álxebra foi chamada Moderne Algebra (álxebra moderna) por van der Waerden no seu tratado homónimo, cuxo nome foi cambiado a Álxebra en edicións posteriores.

Historia antiga

Páxina da obra de Al-Khwarizmi Compendio do cálculo mediante restitución e redución (al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala)

As raíces da álxebra remóntanse os antigos babilonios, que desenvolveron un sistema de numeración posicional co que lograron realizar cálculos avanzados mediante algoritmos. Os babilonios desenvolveron fórmulas para calcular solucións a problemas que hoxe en día se resolven mediante ecuacións lineais, ecuacións cuadráticas e ecuacións lineais indeterminadas. Pola contra, a maioría dos exipcios desta época, así como os gregos e chinos do primeiro milenio a.C., adoitaban resolver tales ecuacións mediante métodos xeométricos, como os descritos no papiro matemático de Rhind, nos elementos de Euclides, e os nove capítulos sobre a arte matemática. Na época de Platón, as matemáticas gregas sufriron un cambio drástico. Os gregos crearon un álxebra xeométrica na que os termos se representaban mediante lados de obxectos xeométricos, normalmente liñas, que tiñan letras asociadas. Diofanto (século III d.C.) foi un matemático grego de Alexandría e autor dunha serie de libros chamados Arithmetica. Estes textos tratan da resolución de ecuacións alxébricas, e conduciron, en teoría de números, á noción moderna da ecuación diofantiana.

O traballo xeométrico dos gregos, tipificado nos Elementos, proporcionou o marco para a xeneralización de fórmulas máis aló da solución de problemas particulares en sistemas máis xerais de formulación e resolución de ecuacións, aínda que isto non se levaría a cabo ata as desenvolvidas no islam medieval.

A palabra deriva da palabra árabe al-jabr que aparece no título do tratado Compendio de cálculo por reintegración e comparación (do árabe: الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة, al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr wa-l-muqābala), escrito cara ao ano 820 polo persa Al-Khwarizmi, quen converteu a álxebra nunha disciplina independente da xeometría e da aritmética.

Al-jabr referíase a un método para transformar ecuacións restando termos semellantes de ambos os lados, ou pasando un termo dun lado ao outro, despois de cambiar o seu signo. Por tanto, álxebra referíase orixinalmente á manipulación de ecuacións e, por extensión, á teoría de ecuacións. Isto é aínda o que os historiadores das matemáticas xeralmente entenden polo termo álxebra.^[Cómpre referencia]

Os matemáticos helenístico Herón de Alexandría e Diofanto e os matemáticos indios como Brahmagupta, continuaron as tradicións de Exipto e Babilonia, aínda que a Arithmetica de Diofanto e a Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta atópanse nun nivel superior. Por exemplo, a primeira solución aritmética completa escrita con palabras no canto de símbolos, Brahmagupta describiu no seu libro Brahmasphutasiddhanta, publicado no ano 628 d.C., as solucións cero e negativas das ecuacións cuadráticas. Posteriormente, os matemáticos persas e árabes desenvolveron métodos alxébricos ata un grao de sofisticación moito maior. Aínda que Diofanto e os babilonios utilizaron sobre todo métodos especiais ad hoc para resolver ecuacións, a contribución da Al-Khwarizmi foi fundamental. Resolveu ecuacións lineais e cuadráticas sen simboloxía alxebrica, números negativos ou cero, polo que tivo que distinguir varios tipos de ecuacións.

No contexto no que a álxebra se identifica coa teoría de ecuacións, o matemático grego Diofanto foi coñecido tradicionalmente como o "pai da álxebra" e no contexto no que se identifica con regras para manipular e resolver ecuacións, o matemático persa Al-Khwarizmi é considerado como "o pai da álxebra". Pódese debater se Diofanto ou ao-Khwarizmi teñen máis dereito a ser coñecidos, en sentido xeral, como "o pai da álxebra". Os partidarios de Diofanto sinalan que o álxebra de Al-Jabr é algo máis elemental que a de Arithmetica e que Arithmetica é sincopada, mentres que Al-Jabr é totalmente retórica. Quen apoia á o-Khwarizmi sinalan que introduciu os métodos de "redución" e "equilibrado" (a transposición de termos restados alén dunha ecuación, é dicir, a cancelación de termos semellantes en lados opostos da ecuación) aos que orixinalmente se refería o termo al-jabr, e que deu unha explicación exhaustiva da resolución de ecuacións cuadráticas, apoiándose en probas xeométricas e tratando ao mesmo tempo o álxebra como unha disciplina independente por dereito propio.. Ademais, a súa álxebra xa non se ocupaba "dunha serie de problemas por resolver, senón dunha exposición que parte de termos primitivos cuxas combinacións deben dar todos os prototipos posibles de ecuacións, que en diante constitúen explicitamente o verdadeiro obxecto de estudo". Tamén estudou unha ecuación por si mesma e "de maneira xenérica, na medida en que non xorde simplemente no curso da resolución dun problema, senón que está chamada especificamente a definir unha clase infinita de problemas".

Segundo Jeffrey Oaks e Jean Christianidis, nin Diofanto nin Ao-Khwarizmi deberían chamarse "pai da álxebra". O álxebra premoderna foi desenvolvida e utilizada por comerciantes e agrimensores como parte do que Jens Høyrup denominou tradición "subcientífica". Diofanto utilizou este método de álxebra no seu libro, en particular para problemas indeterminados, mentres que Ao-Khwarizmi escribiu un dos primeiros libros en árabe sobre este método.

A outro matemático persa Omar Khayyam atribúeselle a identificación dos fundamentos da xeometría alxebrica e o achado da solución xeométrica xeral da ecuación cúbica. O seu libro Tratado sobre as demostracións dos problemas de álxebra (1070), que establece os principios do álxebra, forma parte do corpus das matemáticas persas que acabaron transmitíndose a Europa. Outro matemático persa, Sharaf al-Dīn al-Tūsī, atopou solucións alxébricas e numéricas a varios casos de ecuacións cúbicas. Tamén desenvolveu o concepto de función. Os matemáticos indios Mahavira e Bhaskara II, o matemático persa Al-Karaji, e o matemático chinés Zhu Shijie, resolveron varios casos de ecuacións cúbicas, cuártica, quintica e polinómicas de orde superior utilizando métodos numéricos. No século XIII, a solución dunha ecuación cúbica por Fibonacci é representativa do comezo dun renacemento do álxebra europea. Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī (1412-1486) deu "os primeiros pasos cara á introdución do simbolismo alxébrico". Tamén calculou Σn², Σn³ e utilizou o método de aproximación sucesiva para determinar as raíces cadradas.

O uso da palabra "álxebra" para designar unha parte das matemáticas data probablemente do século XVI. ^{[Cómpre referencia]}

Historia moderna

O matemático italiano Gerolamo Cardano publicou as solucións as ecuacións cúbica e á cuártica no seu libro de 1545 Ars magna.

Os traballos de François Viète sobre o álxebra nova a finais do século XVI constituíron un paso importante cara a álxebra moderna. En 1637, René Descartes publicou La Géométrie, inventando a xeometría analítica e introducindo a notación alxebrica moderna. Outro acontecemento clave no desenvolvemento posterior da álxebra foi a solución alxebrica xeral das ecuacións cúbicas e cuárticas, desenvolta a mediados do século XVI. A idea dun determinante foi desenvolta polo matemático xaponés Seki Kōwa no século XVII, seguida independentemente por Gottfried Leibniz dez anos máis tarde, co propósito de resolver sistemas de ecuacións lineais simultáneas utilizando matrices. Gabriel Cramer tamén realizou algúns traballos sobre matrices e determinantes no século XVIII. As permutacións foron estudadas por Joseph Louis Lagrange no seu traballo de 1770 "Réflexions sur la résolution algébrique des équations" dedicado ás solucións de ecuacións alxebricas, no que introduciu os resolventes de Lagrange. Paolo Ruffini foi o primeiro en desenvolver a teoría de grupo de permutacións, e como os seus predecesores, tamén no contexto da resolución de ecuacións alxebricas.

A álxebra abstracta desenvolveuse no século XIX, derivado do interese por resolver ecuacións, centrándose inicialmente no que hoxe se denomina teoría de Galois, e en cuestións de constructibilidade. George Peacock foi o fundador do pensamento axiomático en aritmética e álxebra. Augustus De Morgan descubriu a álxebra relacional no seu Syllabus of a Proposed System of Logic. Josiah Willard Gibbs desenvolveu unha álxebra de vectores no espazo tridimensional, e Arthur Cayley desenvolveu unha álxebra de matrices (trátase dunha álxebra non conmutativa).

Áreas das matemáticas coa palabra álxebra no seu nome

Álxebra lineal conferencia na Universidade de Aalto

Algunhas subáreas da álxebra levan a palabra álxebra no seu nome; álxebra lineal é un exemplo. Outras non: teoría de grupos, teoría de aneis e teoría de corpos son exemplos. Nesta sección, enumeramos algunhas áreas das matemáticas coa palabra "álxebra" no nome.

• Álxebra elemental, a parte da álxebra que adoita ensinarse nos cursos elementais de matemáticas.
• Álxebra abstracta, na que as estruturas alxébricas como grupos, aneis e corpos defínense e investiganse axiomáticamente.
• Álxebra lineal, na que se estudan as propiedades específicas das ecuacións lineais, os espazos vectoriais e as matrices.
• Álxebra de Boole, unha rama da álxebra que abstrae o cálculo cos valores da verdade falso e verdadeiro.
• Álxebra conmutativa, o estudo dos aneis conmutativos.
• Álxebra computacional, a implementación de métodos alxébricos como algoritmos e programas de computador.
• Álxebra homolóxica, o estudo das estruturas alxébricas fundamentais para o estudo dos espazos topolóxicos.
• Álxebra universal, na que se estudan propiedades comúns a todas as estruturas alxébricas.
• Teoría de números alxébricos, na que se estudan as propiedades dos números desde un punto de vista alxébrico.
• Xeometría alxébrica, unha rama da xeometría, que na súa forma primitiva especifica as curvas e superficies como solucións de ecuacións polinómicas.
• Combinatoria alxébrica, na que se utilizan métodos alxébricos para estudar cuestións combinatorias.
• Álxebra relacional: conxunto de relacións finitas que son pechadas baixo certos operadores.

Moitas estruturas matemáticas chámanse álxebras:

• Álxebra sobre un corpo ou máis xeralmente álxebra sobre un anel.
  Moitas clases de álxebras sobre un corpo ou sobre un anel teñen un nome específico:
  • Álxebra asociativa
  • Álxebra non asociativa
  • Álxebra de Lie
  • Álxebra de Hopf
  • C-álxebra
  • Álxebra simétrica
  • Álxebra exterior
  • Álxebra tensorial
• En teoría da medida,
  • σ-álxebra
  • Álxebra de conxuntos
• En teoría das categorías
  • Álxebra F e co-álxebra F
  • Álxebra T
• En lóxica,
  • Álxebra de relación, unha álxebra de Boole residual expandida cunha relación inversa.
  • Álxebra de Boole, caso particular dunha retícula distributiva.
  • Álxebra de Heyting

Notación alxébrica

Notación matemática de raíz cadrada de x

Consiste en que os números empréganse para representar cantidades coñecidas e determinadas. As letras empréganse para representar toda clase de cantidades, xa sexan coñecidas ou descoñecidas. As cantidades coñecidas exprésanse polas primeiras letras do alfabeto: a, b, c, d, … As cantidades descoñecidas represéntanse polas últimas letras do alfabeto: u, v, w, x, y, z.

Os signos empregados en álxebra son de tres clases: Signos de operación, signos de relación e signos de agrupación.

Signos de operación

En álxebra verifícanse coas cantidades as mesmas operacións que en aritmética: suma, resta, multiplicación, elevación a potencias e extracción de raíces, que se indican cos principais signos de aritmética excepto o signo de multiplicación. En lugar do signo × adoita empregarse un punto entre os factores e tamén se indica á multiplicación colocando os factores entre parénteses. Así a⋅b e (a)(b) equivale a a × b.

Véxase tamén

Bibliografía

• Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7. 
• Donald R. Hill, Islamic Science and Engineering (Edinburgh University Press, 1994).
• Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, e Borin Van Loon, Introducing Mathematics (Totem Books, 1999).
• George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Penguin Books, 2000).
• John J O'Connor e Edmund F Robertson, History Topics: Algebra Index. En MacTutor History of Mathematics archive (Universidade de St Andrews, 2005).
• I.N. Herstein: Topics in Algebra. ISBN 0-471-02371-X
• R.B.J.T. Allenby: Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6
• L. Euler: Elements of Algebra, ISBN 978-1-899618-73-6
• Asimov, Isaac (1961). Realm of Algebra. Houghton Mifflin. 

Ligazóns externas

• Khan Academy: Conceptual videos and worked examples
• Khan Academy: Origins of Algebra, free online micro lectures Arquivado 09 de maio de 2013 en Wayback Machine.
• Algebrarules.com: An open source resource for learning the fundamentals of Algebra
• 4000 Years of Algebra Arquivado 04 de outubro de 2007 en Wayback Machine., por Robin Wilson, en Gresham College, 17 de outubro de 2007 (dispoñible en MP3, MP4 e ficheiro de texto).