Xeometría

Hexaedro

Unha ilustración do teorema de Desargues, un resultado importante nas xeometrías euclidiana e proxectiva.

A xeometría (do grego γεωμετρία; palabra composta de γῆ ,geo, "terra", e μέτρον ,metron, "medida") é a rama das matemáticas concernente con cuestións de forma, tamaño, posición relativa de figuras, e coas propiedades do espazo. Os matemáticos que traballan no campo da xeometría chámanse xeómetras.

A xeometría desenvolveuse independentemente nun gran número de civilizacións antigas como un corpo de coñecemento práctico relacionado con lonxitudes, áreas e volumes, con elementos de ciencia matemática formal, polo menos a partir do século VI a.C. con Tales de Mileto. No século III a.C., Euclides axiomatizou a xeometría, este modelo coñecido como xeometría euclidiana estivo vixente durante moitos séculos.. Arquimedes ideou técnicas enxeñosas para calcular áreas e volumes que anticipaban en moitos puntos o cálculo integral moderno.

Durante o milenio e medio seguinte, a astronomía foi unha importante fonte de problemas xeométricos que contribuíron ao seu desenvolvemento, especialmente o establecemento da posición das estrelas e os planetas na esfera celeste e a descrición das relacións entre os movementos dos corpos celestes. Tanto a xeometría como a astronomía formaban parte do Quadrivium do mundo clásico, catro das sete artes liberais consideradas esenciais para a formación de cidadáns libres.

A introdución das coordenadas por René Descartes e o desenvolvemento concorrente da álxebra, marcan un novo estadio da xeometría no que as figuras xeométricas, como as curvas planas, podían representarse agora dun xeito analítico, é dicir, con funcións e ecuacións. Isto xogou un papel fundamental no nacemento do cálculo infinitesimal no século XVII. Ademais, a teoría da perspectiva mostrou que estaba máis relacionada coa xeometría que coas propiedades métricas das figuras, de feito, a perspectiva é a orixe da xeometría proxectiva. A disciplina da xeometría foi posteriormente enriquecida polo estudo da estrutura intrínseca dos obxectos xeométricos iniciado por Euler e Gauss e que levou á creación da topoloxía e a xeometría diferencial.

No tempo de Euclides non estaba clara a distinción entre o espazo físico e o espazo xeométrico. Desde o descubrimento no século XIX de xeometrías non euclidianas, o concepto de espazo sufriu transformacións radicais e xurdiu unha pregunta clave: cales son os espazos xeométricos que mellor se axustan ao espazo físico? Coa irrupción das matemáticas formais no século XX, mesmo o concepto de espazo (e punto, liña, plano) perdeu o seu contido intuitivo, de xeito que hoxe en día débese distinguir entre espazo físico, espazos xeométricos (nos que os conceptos de espazo, punto etc. aínda conservan o seu significado intuitivo) e espazos abstractos. A xeometría contemporánea considera variedades, espazos que son considerabelmente máis abstractos cos familiares espazos euclidianos, aos que só se asemellan a pequenas escalas. Estes espazos deben ser provistos con estruturas adicionais que permitan falar de lonxitude. A xeometría moderna está estreitamente relacionada coa física, exemplificada polos lazos existentes entre as variedades pseudoriemannianas e a teoría xeral da relatividade. Unha das máis novas teorías físicas, a teoría de cordas, ten tamén unha esencia moi xeométrica.

Mentres que a natureza visual da xeometría faina inicialmente máis accesíbel ca outras partes das matemáticas, tales como a álxebra e a teoría de números, a linguaxe xeométrica úsase tamén en contextos afastados da súa tradicional orixe euclidiana, como, por exemplo, na xeometría fractal e na xeometría alxébrica.

Visión de conxunto

Demostración visual do Teorema de Pitágoras para o triángulo de lados 3, 4 e 5, tal como aparece no Chou Pei Suan Ching 500–200 a.C.

O desenvolvemento da xeometría está rexistrado durante máis de dous milenios. Sorprenden enormemente as diferentes percepcións do que é xeometría ao longo de todo este tempo.

Xeometría práctica

A orixe da xeometría como unha ciencia práctica ten que ver coa topografía, as medidas, áreas e volumes. Entre os logros notábeis áchanse fórmulas para calcular lonxitudes, áreas e volumes, tales como o teorema de Pitágoras, a lonxitude da circunferencia, as áreas dun círculo ou dun triángulo, os volumes dun cilindro, unha esfera ou unha pirámide... Un método para calcular certas distancias inaccesíbeis ou alturas baseado na semellanza de figuras xeométricas atribúeselle a Tales. O desenvolvemento da astronomía levou ao nacemento da trigonometría (plana e esférica), xunto coas concorrentes técnicas de contabilización,

Xeometría axiomática

Unha ilustración do postulado das paralelas de Euclides.

Véxase tamén: Xeometría euclidiana.

Euclides fixo unha aproximación máis abstracta á xeometría nos seus Elementos, un dos libros máis influentes xamais escritos. Euclides introduciu certos axiomas, ou postulados, que expresan propiedades primarias ou autoevidentes de puntos, liñas, e planos. Procedeu a deducir rigorosamente outras propiedades mediante o razoamento matemático. O aspecto característico da aproximación de Euclides á xeometría foi o seu rigor, e o seu método chegou a coñecerse como xeometría axiomática ou sintética. A comezos do século XIX o descubrimento das xeometrías non euclidianas por Gauss, Lobachevsky, Bolyai, e outros levou a un renacemento do interese pola xeometría axiomática, e no século XX David Hilbert empregou o razoamento axiomático nun intento de dotar á xeometría duns fundamentos modernos.

Leccións de xeometría no século XX.

Construcións xeométricas

Artigo principal: Construcións con regra e compás.

Os xeómetras clásicos prestaban especial atención á construción de obxectos xeométricos definidos dalgunha outra forma. Os únicos instrumentos permitidos no mundo clásico eran o compás e a regra sen graduar. Amais, cada construción tiña que ser completada nun número finito de pasos. Porén, fíxose evidente nalgúns destes problemas a dificultade ou imposibilidade da súa solución, e acháronse enxeñosas construcións usando parábolas e outras curvas, ademais de recursos mecánicos.

Números en xeometría

Os pitagóricos descubriron que os lados dun triángulo poden ter lonxitudes inconmensurábeis.

Na antiga Grecia os pitagóricos consideraron o papel dos números en xeometría. Porén, o descubrimento de lonxitudes inconmensurábeis, que contradicían os puntos de vista filosóficos, fixo que abandonaran os números abstractos en favor das cantidades xeométricas concretas, como a lonxitude e a área de figuras. Os números foron reintroducidos na xeometría en forma de coordenadas por Descartes, quen se deu conta de que o estudo das formas xeométricas podía facilitarse pola súa representación alxébrica. Posteriormente na súa honra nomeouse ao plano con coordenadas, plano cartesiano. A xeometría analítica aplica métodos da álxebra a cuestións xeométricas, relacionando frecuentemente curvas xeométricas e ecuacións alxébricas. Estas ideas xogaron un papel fundamental no desenvolvemento do cálculo infinitesimal no século XVII e levaron ao descubrimento de moitas propiedades das curvas planas. A moderna xeometría alxébrica considera cuestións similares a un nivel moito máis abstracto.

Xeometría de posición

Artigos principais: Xeometría proxectiva e Topoloxía.

Mesmo nos tempos antigos, os xeómetras trataron cuestións de posicións relativas ou relacións espaciais de figuras e formas xeométricas. Algúns exemplos veñen dados polas circunferencias inscritas e circunscritas aos polígonos, as rectas tanxentes e secantes ás seccións cónicas, as configuracións de Pappus e Menelao de puntos e rectas. Na Idade Media consideráronse cuestións deste tipo máis complicadas: Cal é o número máximo de esferas que simultaneamente tocan a outra esfera do mesmo radio (número de osculación)? Cal é o empaquetado máis denso de esferas de igual tamaño que se pode conseguir no espazo (conxectura de Kepler)? A maioría destas cuestións tratan con formas xeométricas "ríxidas", como liñas ou esferas. As xeometrías proxectiva, convexa e discreta son tres subdisciplinas da xeometría actual que tratan con estas e outras cuestións relacionadas.

Estudando problemas como o das sete pontes de Königsberg, Leonhard Euler considerou que as propiedades máis fundamentais das figuras xeométricas se basean só na forma, independentemente das súas propiedades métricas. Euler chamou a esta nova rama da xeometría xeometría situs (xeometría de lugar), mais hoxe en día é coñecida como topoloxía. A topoloxía medrou ata tal punto que se converteu nunha disciplina independente. Dous obxectos tales que deformacións continuas dun deles permiten obter o outro, son topoloxicamente equivalentes. Os obxectos poden non obstante conservar algunha xeometría, como no caso dos nós hiperbólicos.

Xeometría despois de Euclides

A xeometría diferencial usa ferramentas do cálculo infinitesimal para estudar problemas en xeometría.

Durante preto de dous mil anos desde Euclides, mentres se ampliaba inevitabelmente o número de cuestións xeométricas propostas e resoltas, a concepción básica de espazo permaneceu en esencia inalterábel. Immanuel Kant argüíu que hai soamente unha xeometría absoluta, a cal e recoñecida como verdadeira a priori por unha facultade interior da mente: a xeometría euclidiana era sintética a priori. Esta opinión dominante cambiou a partir do descubrimento revolucionario da xeometría non euclidiana nos traballos de Carl Friedrich Gauss (quen nunca publicou a súa teoría), Bolyai e Lobachevsky, os cales demostraron que o espazo euclidiano ordinario é só unha das posibilidades de desenvolvemento da xeometría. Unha ampla visión da materia da xeometría foi daquela expresada por Riemann na súa lección inaugural de 1867 Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sobre as hipóteses nas que se basea a xeometría), publicado soamente despois da súa morte. A nova idea de espazo de Riemann foi crucial en dous dos piares da xeometría moderna, a teoría da relatividade xeral de Einstein e a xeometría riemanniana, que consideran espazos máis xerais nos que se define a noción de lonxitude.

Dimensión

Onde a xeometría tradicional permitía dimensións 1 (xeometría da recta), 2 (xeometría plana) e 3 (o mundo que nos rodea concibido como un espazo tridimensional: xeometría do espazo), os matemáticos levan usando dimensións superiores durante case dous séculos. A dimensión pasou de ser un número natural calquera n, posibelmente infinito coa introdución do espazo de Hilbert, a poder ser calquera número real positivo na xeometría fractal. A teoría da dimensión é unha área técnica, inicialmente dentro da topoloxía xeral, que discute definicións; a dimensión é agora definida máis como unha intuición, como a maioría das ideas matemáticas. As variedades topolóxicas conectadas teñen unha dimensión ben definida; isto é, máis que nada a priori, un teorema (invarianza do dominio).

O asunto da dimensión aínda importa á xeometría, na ausencia de respostas completas ás preguntas clásicas. Dimensións 3 do espazo e 4 do espazo-tempo son casos especiais en topoloxía xeométrica. Dimensión 10 ou 11 é un número clave na teoría de cordas. A investigación debe traer unha razón xeométrica satisfactoria ao significado das dimensións 10 e 11.

Simetría

Unha teselación no plano hiperbólico.

O tema da simetría na xeometría é case tan antigo como a propia xeometría. As formas simétricas como o círculo, os polígonos regulares e os sólidos platónicos tiveron un profundo significado para moitos dos filósofos da antigüidade e foron investigados con detalle antes da época de Euclides.

Os patróns simétricos aparecen con asiduidade na natureza e foron usados artisticamente en multitude de formas, incluídas as obras de M. C. Escher. Porén, non foi ata a segunda metade do século XIX que foi recoñecido o rol unificador da simetría nos fundamentos da xeometría. O programa de Erlangen de Felix Klein proclamaba que, nun sentido moi preciso, a simetría, expresada a través da noción dun grupo de transformación, determina que é xeometría. A simetría na xeometría euclidiana clásica represéntase por congruencias e movementos ríxidos, mentres que na xeometría proxectiva un rol análogo xógano as colineacións, transformacións xeométricas que aplican rectas en rectas. Porén foi nas novas xeometrías de Bolyai e Lobachevsky, Riemann, Clifford e Klein, e Sophus Lie, que a idea de Klein de "definir unha xeometría por medio dun grupo de simetría" demostrou ter maior influencia. Tanto a simetría discreta como a continua teñen roles prominentes en xeometría, a primeira en topoloxía e na teoría xeométrica de grupos, a segunda na teoría de Lie e na xeometría riemanniana.

Un tipo diferente de simetría é o principio de dualidade na xeometría proxectiva entre outros campos. Este metafenómeno pode ser descrito a grandes trazos como segue: se en calquera teorema se cambia "punto" por "plano", "unir" por "xuntar" e "xacer" por "conter", obtense outro teorema igualmente certo. Unha forma de dualidade similar e moi relacionada é a existente entre un espazo vectorial e o seu espazo dual.

Historia da xeometría

Artigo principal: Historia da xeometría.

Un europeo e un árabe practicando xeometría no século XV.

frontispicio da primeira versión inglesa dos Elementos de Euclides de Sir Henry Billingsley, 1570.

Os primeiros rexistros da xeometría remóntanse ao segundo milenio antes de Cristo en Mesopotamia e no Antigo Exipto. A xeometría desta época era unha colección de principios descubertos empiricamente relativos a lonxitudes, ángulos, áreas e volumes, que foron desenvolvidos para a súa aplicación práctica en topografía, construción, astronomía e outros campos. Os textos de xeometría máis antigos que se coñecen son o Papiro de Rhind (2000–1800 a.C.) e o Papiro de Moscova (c. 1890 a.C.) exipcios; e as táboas de arxila babilonias, como a Plimpton 322 (1900 a.C.). Por exemplo, o Papiro de Moscova proporciona unha fórmula para calcular o volume dunha pirámide truncada. Ao sur de Exipto, os antigos nubios estableceron un sistema xeométrico que incluía versións temperás de reloxos de sol.

No século VII a.C., o matemático grego Tales de Mileto usou a xeometría para resolver problemas tales como o cálculo da altura de pirámides ou a distancia dun barco da costa. Atribúeselle o primeiro uso do razoamento dedutivo aplicado á xeometría, ao derivar catro corolarios do Teorema de Tales. Pitágoras estableceu a Escola pitagórica, da que se acredita ser a primeira en demostrar o Teorema de Pitágoras, aínda que o estado do teorema ten unha longa historia. Eudoxo (408–c.355 a.C.) desenvolveu o método exhaustivo, que permitía o cálculo de áreas e volumes de figuras curvilíneas, así como unha teoría de proporcións que evitaban o problema das magnitudes inconmensurábeis, e que fixo posíbeis os significativos avances dos xeómetras subsecuentes. Arredor do 300 a.C., Euclides revolucionou a xeometría cos seus Elementos, amplamente considerado como o libro de texto de máis éxito e máis influente de todos os tempos, e que introducía o rigor matemático mediante o método axiomático, un exemplo temperán do formato que mesmo hoxe se usa en matemáticas, cos conceptos de definición, axioma, teorema e demostración. Se ben a maioría dos contidos dos Elementos xa eran coñecidos, Euclides expúxoos nun marco sinxelo e con coherencia lóxica. Os Elementos eran coñecidos pola xente educada do mundo occidental ata mediados do século XX, e os seus contidos aínda se ensinan hoxe nas clases de xeometría. Arquimedes de Siracusa (c.287–212 a.C.) usou o método exhaustivo para calcular a área comprendida entre unha parábola e unha recta perpendicular ao seu eixe, mediante a suma dunha serie infinita; e deu unha aproximación notábel do número Pi. Tamén estudou as espirais que levan o seu nome e obtivo fórmulas para o volume de superficies de revolución.

Muller ensinando xeometría. Ilustración nunha tradución medieval dos Elementos de Euclides, (c.1310).

As matemáticas do islam contribuíron na Idade Media ao desenvolvemento da xeometría, especialmente da xeometría alxébrica e a álxebra xeométrica. Al-Mahani (n. 853) concibía a idea de reducir os problemas xeométricos, tales como a duplicación do cubo, a problemas alxébricos. Thābit ibn Qurra (coñecido como Thebit en latín) (836–901) traballou con operacións aritméticas aplicadas ás razóns de cantidades xeométricas, e contribuíu ao desenvolvemento da xeometría analítica. Omar Khayyam (1048–1131) achou solucións xeométricas para as ecuacións cúbicas. Os teoremas de Ibn al-Haytham (Alhazen), Omar Khayyam e Nasir al-Din al-Tusi sobre cuadriláteros, incluídos os cuadriláteros de Lambert e de Saccheri, foron resultados temperáns da xeometría hiperbólica; e xunto cos seus postulados alternativos, como o Axioma de Playfair, tiveron unha considerable influencia no desenvolvemento da xeometría non euclidiana entre os xeómetras europeos posteriores: Witelo (c.1230–c.1314), Gersonides (1288–1344), Alfonso de Valladolid, John Wallis, e Giovanni Girolamo Saccheri.

A comezos do século XVII houbo dous desenvolvementos importantes na xeometría. O primeiro é a creación da xeometría analítica, ou xeometría con coordenadas e ecuacións, por René Descartes (1596–1650) e Pierre de Fermat (1601–1665). Isto foi un precursor necesario da análise matemática e da física como ciencia cuantitativa precisa. O segundo feito foi o estudo sistemático da xeometría proxectiva por Girard Desargues (1591–1661). A xeometría proxectiva é unha xeometría sen medida ou liñas paralelas, só estuda como están relacionados entre si os puntos.

No século XIX dous feitos cambiaron o modo de estudo que viña sendo usado ata entón. Foron o descubrimento das xeometrías non euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856), János Bolyai (1802–1860) e Carl Friedrich Gauss (1777–1855); e a formulación da simetría como unha consideración central no Programa de Erlangen de Felix Klein (que xeneralizou as xeometrías euclidianas e non euclidianas). Dous dos máis grandes xeómetras da época foron Bernhard Riemann (1826–1866), quen traballou inicialmente con ferramentas da análise matemática e introduciu a superficie de Riemann, e Henri Poincaré, o fundador da topoloxía alxébrica e a teoría xeométrica dos sistemas dinámicos. Como consecuencia destes cambios na concepción da xeometría, o concepto de espazo tornouse máis rico e variado, e fixo dela o escenario natural de teorías tan diferentes como a análise complexa e a mecánica clásica.

Xeometría contemporánea

Xeometría euclidiana

O politopo 4₂₁ proxectado ortogonalmente no grupo de Lie E₈ do plano de Coxeter.

A xeometría euclidiana foise relacionando intimamente coa xeometría computacional, a computación gráfica, a xeometría convexa, a xeometría discreta, e algunhas áreas da combinatoria. O impulso a traballos posteriores de xeometría euclidiana e grupos euclidianos foi dado pola cristalografía e o traballo de H. S. M. Coxeter e o resultado pode verse nas teorías dos grupos de Coxeter e os politopos. A teoría de grupos xeométricos é unha extensión da máis xeral teoría de grupos discretos, avanzando modelos xeométricos e técnicas alxébricas.

Xeometría diferencial

A xeometría diferencial ten incrementado a súa importancia na física matemática debido á teoría xeral da relatividade de Einstein, a cal postula que o universo é curvo. A xeometría diferencial contemporánea é intrínseca, o cal significa que os espazos que considera son variedades diferenciábeis cuxa estrutura xeométrica é gobernada por unha métrica de Riemann, a cal determina como se miden distancias nas proximidades de cada punto

Topoloxía e xeometría

Un espesamento dun nó de trevo.

O campo da topoloxía, que tivo un gran crecemento no século XX, é, nun sentido técnico, un tipo de transformación xeométrica na que as transformacións son homeomorfismos. Isto ten sido expresado frecuentemente coa frase "a topoloxía é unha xeometría de goma de borrar". A maioría dos matemáticos considerarían como partes da xeometría ás contemporáneas xeometría topolóxica e topoloxía diferencial, e subcampos particulares como a teoría de Morse. A topoloxía alxébrica e a topoloxía xeral seguiron os seus propios camiños.

Xeometría alxébrica

Variedade de Calabi–Yau de dimensión 5.

O campo da xeometría alxébrica é a versión moderna da xeometría cartesiana de coordenadas. Desde finais dos anos 50 ata mediados dos 70 do século XX sufriu un desenvolvemento esencial dos seus fundamentos, debido principalmente aos traballos de Jean-Pierre Serre e Alexander Grothendieck. Isto levou á introdución de esquemas e a unha maior énfase nos métodos topolóxicos, incluíndo varias teorías cohomolóxicas. Un dos sete Problemas do Milenio, a conxectura de Hodge, é unha cuestión de xeometría alxébrica.

O estudo de variedades alxébricas de baixa dimensión, curvas alxébricas, superficies alxébricas e variedades alxébricas de dimensión 3, avanzou moito. A teoría das bases de Gröbner e a xeometría alxébrica real están entre os subcampos de máis aplicación da moderna xeometría alxébrica. A xeometría aritmética é unha activa rama que combina a xeometría alxébrica e a teoría de números. Outras liñas de investigación atinxen aos espazos de módulos e á xeometría complexa. Os métodos alxébrico-xeométricos aplícanse comunmente nas teorías de cordas e de branas.

Véxase tamén

Bibliografía

• Boyer, Carl B. (1986) [1968]. Alianza Editorial, ed. A History of Mathematics [Historia de la Matemática] (en castelán). Madrid. ISBN 84-206-8094-X. 
• Lobachevsky, Nikolai I. (2010). European Mathematical Society, A. Papadopoulos, ed. Pangeometry. Heritage of European Mathematics (en inglés) 4. 
• Mlodinow, M. (1992). Allen Lane, ed. Euclid's window (the story of geometry from parallel lines to hyperspace) (en inglés). 

Outros artigos

• Fractal
• Simetría
• Xeometría alxébrica
• Xeometría analítica
• Xeometría descritiva
• Xeometría diferencial
• Xeometría euclidiana
• Xeometría proxectiva